《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

1、數(shù)學(xué)分析考試大綱1.函數(shù)1.1 掌握實(shí)數(shù)概念及其基本性質(zhì)。掌握實(shí)數(shù)絕對(duì)值的概念和有關(guān)的不等式。1.2 掌握鄰域概念, 掌握確界定理。1.3 掌握函數(shù)的概念及各種表示方法,掌握復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)的概念。1.4 掌握有界函數(shù)與無(wú)界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、奇函數(shù)和偶函數(shù)、周期函數(shù)等概念。1.5 掌握六類基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì)。1.6 掌握常用的幾個(gè)非初等函數(shù)，如符號(hào)函數(shù)，狄利克雷函數(shù)等。2. 數(shù)列極限2.1 掌握數(shù)列極限的的定義, 會(huì)使用“語(yǔ)言”證明數(shù)列的極限。2.2 正確理解和掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。2.3 掌握單調(diào)有界原理,致密性定理及Cauchy收斂準(zhǔn)則。3. 函數(shù)極限3.1 掌握函數(shù)極限的和定義。3.2

2、 掌握函數(shù)極限的性質(zhì)。3.3 掌握函數(shù)極限存在的條件, 掌握歸結(jié)原則及柯西準(zhǔn)則。3.4 掌握重要極限 和 及其應(yīng)用。3.5 正確理解和掌握無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念及無(wú)窮小的階。4. 函數(shù)的連續(xù)性4.1 掌握連續(xù)函數(shù)的概念, 掌握間斷點(diǎn)及其分類。4.2 掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì),掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。4.3 掌握反函數(shù)的連續(xù)性,掌握函數(shù)的一致連續(xù)性。4.4 掌握初等函數(shù)在其定義域上的連續(xù)性。5. 導(dǎo)數(shù)與微分5.1 掌握導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義。5.2 掌握求導(dǎo)法則,掌握參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則, 掌握高階導(dǎo)數(shù)的求法。 5.3 掌握微分的概念及其幾何意義。5.4 掌握微分的運(yùn)算法則,了解高階微分,了解微

3、分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。6. 微分中值定理及其應(yīng)用 6.1 熟練掌握中值定理的條件、結(jié)論和證明方法。6.2 掌握不定式極限的求法,熟練掌握洛必達(dá)法則及其應(yīng)用。6.3 掌握泰勒公式，掌握用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的思想。6.4 會(huì)分析函數(shù)的性態(tài),會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，會(huì)判斷函數(shù)的凸性和拐點(diǎn),會(huì)較完善地作出函數(shù)的圖形。7. 實(shí)數(shù)的完備性7.1 理解區(qū)間套概念，能熟練使用區(qū)間套定理。7.2 掌握聚點(diǎn)概念及各種等價(jià)定義，能熟練使用聚點(diǎn)定理。7.3 理解（開）覆蓋的定義并且會(huì)用集合術(shù)語(yǔ)表達(dá)，體會(huì)如何構(gòu)造開覆蓋并且會(huì)用開覆蓋定理。7.4 知曉實(shí)數(shù)完備性的六種等價(jià)說(shuō)法及其證明。8. 原函數(shù)與不定積分8.1 掌握原函

4、數(shù)定義及唯一性（不計(jì)常數(shù)）。8.2 掌握不定積分的定義、性質(zhì)。8.3 熟練使用換元公式和分部積分公式。8.4 了解有理函數(shù)不定積分的計(jì)算方法。8.5 了解某些其它類型不定積分的計(jì)算方法。9. 定積分（Riemann積分）9.1 深入理解定積分概念及其產(chǎn)生背景。9.2 熟練掌握可積性的判別準(zhǔn)則及可積函數(shù)類。9.3 熟練掌握定積分的性質(zhì)及積分中值定理。9.4 重點(diǎn)掌握微積分學(xué)基本定理和Newton-Leibniz公式。9.5 熟練使用定積分工具解決幾何、物理和學(xué)科的問(wèn)題。10. 反常積分10.1 深入理解反常積分概念及其產(chǎn)生背景。10.2 熟練使用反常積分的收斂判別法。11. 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)11.1 深

5、入理解數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及其產(chǎn)生背景。11.2 直觀理解絕對(duì)收斂和條件收斂概念。11.3 熟練使用正項(xiàng)級(jí)數(shù)和一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法。12. 函數(shù)列、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)12.1 深入理解逐點(diǎn)收斂和一致收斂概念，重點(diǎn)在一致收斂。12.2 熟練使用一致收斂的Cauchy準(zhǔn)則及收斂判別法。12.3 掌握一致收斂函數(shù)列（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）之極限函數(shù)（和函數(shù)）的分析性質(zhì)，即連續(xù)性、可積性、可微性。12.4 能熟練求出一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域。12.5 熟知冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間上的性質(zhì)(內(nèi)閉一致收斂性、連續(xù)性、逐項(xiàng)可積和逐項(xiàng)可導(dǎo)性）。12.6 掌握將光滑函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的基本方法。13. 傅里葉（Fouri

6、er）級(jí)數(shù)13.1 深入理解傅里葉級(jí)數(shù)及其產(chǎn)生的物理背景。13.2 會(huì)做一個(gè)可積函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)。13.2 掌握三角函數(shù)系的正交性、Bessel不等式和Riemann-Lebesgue引理。13.4 了解有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的一些結(jié)果。14. 多元函數(shù)微分學(xué)14.1掌握平面點(diǎn)集的一些概念: 鄰域、內(nèi)點(diǎn)、界點(diǎn)、聚點(diǎn)、區(qū)域、閉區(qū)域、有界 區(qū)域、無(wú)界區(qū)域等。14.2掌握二元函數(shù)和二元函數(shù)極限的定義,弄清二重極限與累次極限的區(qū)別及其 聯(lián)系。14.3 掌握二元連續(xù)函數(shù)的定義以及性質(zhì)。14.4 理解可微性的條件、幾何意義及應(yīng)用。14.5 熟練計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)和高階偏導(dǎo)數(shù)。14.6 了解方向?qū)?shù)與梯度的定義。14

7、.7 會(huì)運(yùn)用泰勒公式解決極值問(wèn)題。15. 隱函數(shù)15.1 理解隱函數(shù)的概念及存在性的條件。15.2了解隱函數(shù)組的概念及定理并掌握幾何運(yùn)用。15.3掌握條件極值的求法。16.含參變量的積分16.1 掌握含參量正常積分及反正常積分。16.2 掌握一致收斂的判別法。16.3 理解歐拉積分并會(huì)應(yīng)用。17. 重積分17.1 掌握二重積分的概念，理解二重積分的可積函數(shù)類與性質(zhì)。17.2 掌握二重積分的計(jì)算，掌握二重積分的變量變換和二重積分的應(yīng)用。17.3 掌握三重積分的概念。17.4 掌握三重積分的計(jì)算，掌握三重積分的變量變換和應(yīng)用。18. 曲線積分與曲面積分18.1 正確理解第一型曲線積分和第二型曲線積

8、分的概念。18.2 掌握第一型曲線積分和第二型曲線積分的計(jì)算。18.3 會(huì)運(yùn)用格林公式和積分與路徑無(wú)關(guān)的條件解決問(wèn)題。18.4 正確理解第一型曲面積分和第二型曲面積分的概念。18.5 掌握第一型曲面積分和第二型曲面積分的計(jì)算。18.6 會(huì)運(yùn)用高斯公式和斯托克斯公式。18.7 了解場(chǎng)的概念和各種場(chǎng)。高等代數(shù)考試大綱1. 行列式1.1了解排列的概念及性質(zhì)。1.2 熟練掌握行列式的概念、性質(zhì)。1.3 掌握行列式的計(jì)算方法。1.4 熟悉克拉姆法則。1.5 對(duì)矩陣及矩陣的初等變換有初步的了解。2. 線性方程組2.1 掌握維向量及維向量空間的概念，熟練掌握向量的運(yùn)算。2.2 熟練掌握向量組的線性相關(guān)性，理

9、解向量組的極大無(wú)關(guān)組。2.3 深刻理解向量組的秩和矩陣的秩的定義，掌握矩陣秩的計(jì)算方法。2.4 熟練掌握線性方程組的有解判別定理。 2.5 正確理解和掌握齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念和計(jì)算方法，熟練掌握線 性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)求解線性方程組。3. 矩陣3.1 了解矩陣概念的一些背景。3.2 熟練掌握矩陣的運(yùn)算及運(yùn)算律。3.3 掌握矩陣乘積的行列式定理，矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系。3.4 深入理解矩陣可逆、逆矩陣、伴隨矩陣等概念，掌握方陣可逆的充要條，會(huì) 用件公式法求矩陣的逆矩陣。 3.5 理解分塊矩陣的意義，掌握分塊矩陣的運(yùn)算及性質(zhì)。3.6 正確理解和掌握初等矩陣、初等變換的概念

10、及它們的關(guān)系，熟練掌握利用初等變換方法求矩陣的逆矩陣。3.7 了解分塊乘法的初等變換，會(huì)將矩陣分塊與初等變換結(jié)合進(jìn)行矩陣運(yùn)算。4. 二次型4.1正確理解二次型非退化線性替換的概念，掌握二次型的矩陣表示，掌握矩陣合同的概念與性質(zhì)。4.2 掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。4.3 深刻理解對(duì)稱矩陣與二次型的關(guān)系，掌握對(duì)稱矩陣的性質(zhì)。4.4 掌握慣性定理，熟練掌握正定二次型的等價(jià)條件。4.5 掌握半正定二次型的等價(jià)條件。5. 線性空間5.1 掌握集合與映射的相關(guān)概念。5.2 熟練掌握線性空間及其基于維數(shù)等相關(guān)概念。5.3 會(huì)求線性空間的基與維數(shù)。5.4 掌握基變換與坐標(biāo)變換的公式，。5.5 熟練掌握線性子

11、空間的概念及其判定方法。5.6 掌握子空間的交與和的定義及性質(zhì)，熟練掌握維數(shù)公式。5.7 深刻理解子空間的直和的概念，掌握判定直和的充要條件。5.8 理解并掌握線性空間同構(gòu)的定義、性質(zhì)及有限維空間同構(gòu)的充要條件。6. 線性變換6.1 理解并掌握線性變換的定義及性質(zhì)。6.2 掌握線性變換的運(yùn)算及運(yùn)算律，理解線性變換的多項(xiàng)式。6.3 掌握線性變換與矩陣的關(guān)系，掌握矩陣相似的概念及性質(zhì)。6.4 理解并掌握矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量，掌握哈密爾頓-凱萊定理。 6.5 掌握線性變換的值域與核的概念及相關(guān)理論。6.6 了解不變子空間與線性變換矩陣化簡(jiǎn)之間的關(guān)

12、系。7. 歐幾里得空間7.1 深刻理解并掌握歐幾里得空間的基本概念和理論。7.2 掌握向量的內(nèi)積和向量的度量性質(zhì)。7.3 正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化方法。7.4 理解并掌握正交變換的概念與等價(jià)條件，掌握正交變換與向量長(zhǎng)度、標(biāo)準(zhǔn)正交基以及正交矩陣的關(guān)系。 7.5 理解兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系。7.6 熟練掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的進(jìn)一步性質(zhì)。8. 多項(xiàng)式8.1 了解多項(xiàng)式的定義與基本運(yùn)算。8.2 掌握多項(xiàng)式整除的概念、性質(zhì)與帶余除法。8.3 掌握最大公因式的概念、存在性與求法,掌握多項(xiàng)式互素的概念與相關(guān)性質(zhì)。8.4 掌握不可約多項(xiàng)式的概念、性質(zhì)。8.5 了解因

13、式分解定理以及復(fù)系數(shù)與實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理。8.6 了解重因式的概念以及多項(xiàng)式有重因式的充要條件。8.7 了解多項(xiàng)式函數(shù)的概念、余數(shù)定理、代數(shù)基本定理。8.8 掌握求有理系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根的方法以及Eisenstein判別法。9. 矩陣9.1 了解矩陣的定義、矩陣的初等變換、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形以及矩陣的行列式因子、不變因子等概念，了解矩陣等價(jià)的充要條件,掌握用初等變換將矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法。9.2 掌握矩陣初等因子的概念、求法以及數(shù)字矩陣相似的充要條件。9.3 了解矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形以及有理標(biāo)準(zhǔn)形的概念，掌握矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn) 形的求法，了解矩陣有理標(biāo)準(zhǔn)形的求法。常微分方程考試大

14、綱1. 初等積分法1.1 掌握微分方程與解的基本定義，認(rèn)識(shí)常微分方程課程的整體結(jié)構(gòu)。1.2 掌握分離變量法，會(huì)用該方法求解變量可分離方程。1.3 掌握兩類可轉(zhuǎn)化為可分離變量形式微分方程的解法，重點(diǎn)掌握齊次方程解法。1.4 掌握一階線性常微分方程的解法常數(shù)變易法，會(huì)用該方法求解非齊次方程。1.5 掌握全微分方程及積分因子的基本概念，掌握全微分方程求解法，會(huì)用積分因子法將非全微分方程轉(zhuǎn)化為全微分方程。1.6 掌握參數(shù)法求解一階隱式微分方程，具體會(huì)解 4種形式的一階隱式微分方程。1.7 掌握幾種可降階的高階方程的解法。1.8 介紹一階微分方程應(yīng)用舉例 1.等角軌線；2.在動(dòng)力學(xué)中的應(yīng)用。2. 基本定

15、理2.1 了解微分方程定性理論的發(fā)展背景，掌握微分方程解的幾何意義。2.2 重點(diǎn)掌握解的存在性與唯一性定理，理解定理?xiàng)l件。2.3 掌握可延展解與不可延展解的定義，掌握不可延展解的存在定理和性質(zhì)。2.4 掌握奇解概念及求解奇解的方法。掌握包絡(luò)的概念及求解包絡(luò)的方法。掌握克萊洛方程的類型及求解方法。 2.5 掌握解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和解對(duì)初值的可微性。3. 一階線性微分方程組3.1 掌握線性微分方程組的一般理論及微分方程組所有解的代數(shù)結(jié)構(gòu)。3.2 掌握齊線性微分方程組的基解矩陣。3.3 掌握非齊方程組的常數(shù)變易法。3.4 掌握運(yùn)用特征根求解常系數(shù)齊線性微分方程組的基解矩陣。常系數(shù)非齊次線性微分方程

16、組的通解公式。3.5 掌握常系數(shù)齊次線性微分方程組的基解矩陣為。4n階線性微分方程 4.1 掌握n階線性齊次方程的一般理論，包括通解結(jié)構(gòu)、基本解組的概念；掌握非齊次線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)，已知齊次方程通解會(huì)運(yùn)用常數(shù)變易法求非齊方程通解。4.2 重點(diǎn)n階常系數(shù)線性齊次方程解法，即運(yùn)用特征方程的特征根求解n階常系數(shù)齊線性方程的通解。4.3 掌握系數(shù)比較法求解n階常系數(shù)線性非齊次方程的運(yùn)算技巧。4.4 理解二階常系數(shù)線性方程與振動(dòng)現(xiàn)象的關(guān)系。4.5 了解拉普拉斯變換。5.常微分方程解的穩(wěn)定性介紹5.1 掌握常微分方程解穩(wěn)定性概念,及穩(wěn)定性的判定方法。5.2 掌握李雅普諾夫第二方法。5.3 了解平面自

17、治系統(tǒng)基本概念，了解某些平面定性理論。復(fù)變函數(shù)考試大綱1. 復(fù)數(shù)及其幾何表示1.1 掌握復(fù)數(shù)及其運(yùn)算，掌握復(fù)數(shù)域概念。1.2 掌握復(fù)數(shù)的幾種表示方法。1.3 掌握復(fù)數(shù)的球極射影、復(fù)球面、無(wú)窮大及擴(kuò)充的復(fù)平面等概念。1.4 掌握內(nèi)點(diǎn)、聚點(diǎn)、邊界點(diǎn)、開集、閉集及緊集等復(fù)平面拓?fù)涓拍睢?.5 掌握簡(jiǎn)單曲線及光滑曲線概念,掌握若爾當(dāng)定理。2. 復(fù)變函數(shù)2.1 掌握復(fù)變函數(shù)以及復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)、可微和解析等概念。2.2 熟練掌握柯西黎曼條件。2.3 掌握輻角函數(shù),了解多值函數(shù)。2.4 掌握支點(diǎn)概念，掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)等初等函數(shù)。3. 復(fù)變函數(shù)的積分 3.1 掌握復(fù)變函數(shù)積分的定

18、義及性質(zhì)。3.2 掌握多邊形區(qū)域周界的積分性質(zhì), 掌握積分與原函數(shù)的關(guān)系。3.3 熟練掌握柯西定理。3.4 熟練掌握柯西公式并會(huì)運(yùn)用該公式進(jìn)行積分計(jì)算。3.5 掌握莫雷拉定理。4. 級(jí)數(shù)4.1 掌握級(jí)數(shù)和數(shù)列的基本性質(zhì),掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)數(shù)序列的收斂性及收斂的 條件。4.2 掌握冪級(jí)數(shù)的收斂性，掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的求法。4.3 掌握解析函數(shù)的泰勒展式,掌握解析函數(shù)泰勒展式的唯一性。4.4 掌握解析函數(shù)的零點(diǎn)、零點(diǎn)的階及零點(diǎn)的孤立性。4.5 掌握解析函數(shù)的洛朗展式和洛朗級(jí)數(shù), 掌握洛朗展式的唯一性。4.6 掌握解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn), 掌握孤立奇點(diǎn)的判別方法。4.7 掌握解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)。

19、5. 留數(shù) 5.1 掌握留數(shù)概念及留數(shù)定理,掌握留數(shù)的計(jì)算方法。5.2 掌握留數(shù)在計(jì)算定積分和廣義積分計(jì)算中的應(yīng)用。 6. 保形映射 6.1 掌握單葉解析函數(shù)概念及性質(zhì)。6.2 掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義。6.3 掌握分式線性函數(shù)的概念，掌握分式線性函數(shù)的構(gòu)成。6.4 掌握分式線性函數(shù)的映射性質(zhì)。6.5 掌握兩個(gè)特殊的分式線性函數(shù):把上半平面保形映射成單位圓盤的分式線 性函數(shù)；把單位圓盤保形映射成單位圓盤的分式線性函數(shù)。6.6 了解最大模原理。實(shí)變函數(shù)考試大綱1. 集合與基數(shù)1.1 掌握集合概念及其運(yùn)算:De Morgan公式。1.2 熟練掌握集合基數(shù)概念。1.3 重點(diǎn)掌握可數(shù)集合的性質(zhì)。1.4 了解

20、不可數(shù)無(wú)窮集。1.5 掌握鄰域、內(nèi)部、導(dǎo)集、開集、閉集、完備集的概念。1.6 掌握開集、閉集、完備集、Borel集的性質(zhì)及構(gòu)造。2. 測(cè)度理論2.1 掌握外測(cè)度的定義及其性質(zhì)。2.2 重點(diǎn)掌握測(cè)度的定義及其性質(zhì)。2.3 重點(diǎn)掌握一維空間點(diǎn)集的測(cè)度：開集的測(cè)度，閉集的測(cè)度。2.4 了解乘積空間點(diǎn)集的測(cè)度。3. 可測(cè)函數(shù)3.1 掌握可測(cè)函數(shù)的定義及其性質(zhì)。3.2 掌握幾乎處處的概念。3.3 重點(diǎn)掌握Egoroff定理。3.4 重點(diǎn)掌握可測(cè)函數(shù)的結(jié)構(gòu)及Lusin定理。3.5 重點(diǎn)掌握依測(cè)度收斂。4. 積分理論4.1 掌握非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的定義及性質(zhì)。4.2 掌握可測(cè)函數(shù)積分的定義及性質(zhì)。4.3 重點(diǎn)

21、掌握Levi定理。4.4 重點(diǎn)掌握Fatou引理。4.5 重點(diǎn)掌握Lebesgue控制收斂定理。4.6 了解Lebesgue有界收斂定理。4.7 了解Fubini定理。4.8 了解不定積分。近世代數(shù)考試大綱1. 基本概念1.1 理解集合的概念，了解元素與集合之間的關(guān)系，以及集合之間的運(yùn)算。1.2 理解映射的概念，能在集合之間建立映射關(guān)系，并判斷兩個(gè)映射是否相同。1.3 掌握代數(shù)運(yùn)算的概念及其滿足的運(yùn)算律，能建立有限集合之間的運(yùn)算表。 1.4 掌握同態(tài)映射和同構(gòu)映射的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射的關(guān)系，并能判定映 射是否是同態(tài)滿射或是單射，掌握具有同態(tài)滿射的集合之間的聯(lián)系。1.5 理解關(guān)系和等價(jià)關(guān)系的概念，掌握等價(jià)關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，和熟練 判定給定的關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系，并熟悉剩余類的基本特性，以便為群、環(huán) 提供典型的范例，能建立整數(shù)間給定的模的剩余類2. 群2.1 熟悉群的定義，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無(wú)限 群、群的階和交換群的概念。2.2 理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)。2.3 掌