高等數(shù)學(xué)：D10_習(xí)題課

1、習(xí)題課習(xí)題課一、一、 重積分計(jì)算的基本方法重積分計(jì)算的基本方法 二、重積分計(jì)算的基本技巧二、重積分計(jì)算的基本技巧 重積分的計(jì)算一、重積分計(jì)算的基本方法一、重積分計(jì)算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2. 選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少, 累次積分易算.圖示法列不等式法3. 掌握確定積分限的方法 累次積分法二、重積分計(jì)算的基本技巧二、重積分計(jì)算的基本技巧1. 交換積分順序的方法2. 利用對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)化計(jì)算例例1. 計(jì)算二重積分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1) D為圓域; 122 yx(2) D由直線1,1,xyxy解解

2、: (1) 利用對(duì)稱(chēng)性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22圍成 .yxeyxDyxdd122(2) 積分域如圖:o1yx11D2Dxyxy , xy將D 分為,21DDyxxIDdd2yxeyxDyxdd22200dd1112xyxx32添加輔助線利用對(duì)稱(chēng)性 , 得111 xyo例例2. 計(jì)算二重積分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD兩部分, 則1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx10

3、11:yxD，其中D 為圓域把與D 分成1D作輔助線xy1o1xy (2)21, DD兩部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(說(shuō)明說(shuō)明: 若不用對(duì)稱(chēng)性, 需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào). xy 作輔助線2D將D 分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32xysinxyo2例例3. 1d),(Dyxfyyxyxfarcsinarcsind),(10dyIxyyxfsin0d),(0d x0sind),(xyyxf2d xyyxyxfarcsin2arcsind),(01dy如圖所示交換下列二次積分的順序:xyyxfxIsin020d),(d1D2D2d),(Dyx

4、f解解:例例4.,)0(, 0)0(,)(存在設(shè)ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐標(biāo)系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)定義,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 例例5.，上連續(xù)在設(shè),)(baxf證明babaxxfabxxfd)()(d)(22證證: :左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(222baab利用yxyfxfDdd)()(222121xxfybabad)(d2y

5、yfxbabad)(d22abxdxfba)(2xdxfabba)()(2byabxaD:= 右端ydyfba)(2利用“先二后一”計(jì)算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczab022d)1 (2222221:czbyaxDz例例6. 試計(jì)算橢球體1222222czbyax的體積 V.解法解法1*解法解法2利用三重積分換元法. 令cos,sinsin,cossinrczrbyrax則),(),(rzyxJ,sin2rcba:zyxVdddrJdddabcabc34rrabcdddsin2rr d1020dsin20d20010 rozyt)(tx)(tD例例7.設(shè)函數(shù) f (

6、x) 連續(xù)且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftF其中,),()(2222tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD討論 F( t ) 在區(qū)間 ( 0, +) 內(nèi)的單調(diào)性; 解解: 因?yàn)?ttrrrfrrrftF0220022020d)(ddsin)(dd)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2兩邊對(duì) t 求導(dǎo), 得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF, 0)(), 0(tF上在.), 0()(單調(diào)增加上在故tF2 (3). 計(jì)算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.提示提示: 利

7、用極坐標(biāo)cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xo:Dcos0Rr 2222dP1827. 把積分zyxzyxfddd),(化為三次積分,其中由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 積分域?yàn)?原式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所圍成的閉區(qū)域 .xyzP182zD1zD28 (1) .計(jì)算積分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中是兩個(gè)球 ( R 0 )的公共部分.提示提示: 由于被積函數(shù)缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后

8、一先二后一” 計(jì)算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyxo2RP1828 (3).計(jì)算三重積分,d)(22vzy其中是由 xoy平面上曲線xy22所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 利用柱坐標(biāo)sincosrzryxx原式522drx繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面5221 xr100 r20rr d100320d3250:zxyo5P1825x axamyxamaxxfexaxxfey0)(0)(0d)()(d)(d證明:提示提示: 左端積分區(qū)域如圖,Doyxxy a交換積分順序即可證得.P182 4.8(2).,d1) 1ln(222222vzyxzyxz求其中是1222zyx所圍成的閉區(qū)域 .提示提示: 被積函數(shù)在對(duì)稱(chēng)域 上關(guān)于 z 為奇函數(shù) , 利用 對(duì)稱(chēng)性可知原式為 0. 由球面P182補(bǔ)充題補(bǔ)充題. 計(jì)算積分Ddyx,)(其中D 由,