必考點(diǎn)：正弦定理和余弦定理必考點(diǎn)梳理（Word）

1、本文格式為word版，下載可任意編輯必考點(diǎn)：正弦定理和余弦定理必考點(diǎn)梳理（word） 必考點(diǎn)： 正弦定理和余弦定理必考點(diǎn)梳理（精編 word ） 一、 正弦定理、余弦定理 在abc 中，若角 a，b，c 所對的邊分別是 a，b，c，r 為abc 外接圓半徑，則 定理 正弦定理 余弦定理 內(nèi) 容 asin a bsin b csin c 2r a 2 b 2 c 2 2bccos a； b 2 c 2 a 2 2cacos b； c 2 a 2 b 2 2abcos c 變 形 (1)a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c (2)sin aa2r ，sin bb2r ，sin cc

2、2r (3)abcsin asin bsin c (4)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin a cos a b2 c 2 a 22bc cos b c2 a 2 b 22ac cos c a2 b 2 c 22ab 二、 三角形中常用的面積公式 1.三角形中常用的面積公式 (1)s 12 ah(h 表示邊 a 上的高)； (2)s 12 bcsin a12 acsinb12 absin c； (3)s 12 r(abc)(r 為三角形的內(nèi)切圓半徑) 2.在abc 中常用結(jié)論 (1)abc. (2)在三角形中大邊對大角，大角對大邊 (3)任意兩邊之和大于第三

3、邊，任意兩邊之差小于第三邊 (4)sin(ab)sinc；cos(ab)cosc；tan(ab)tanc；sin ab2cos c2 ；cos ab2sin c2 . (5)tan atan btan ctan atan btan c. (6)ababsin asin bcos acos b. (7)合比定理：asin a abcsin asin bsin c 2r. (8)在銳角三角形中ab 2 ；若 a3 ，則6 b，c2 三、實際測量中的常見問題 求 ab 圖形 需要測量的元素 解法 求 豎 直 高 度 底部 可達(dá) acb， bca 解直角三角形 abatan 底部 不行達(dá) acb， a

4、db， cda 解兩個直角三角形abatan tan tan tan 求 水 平 距 離 山 兩 側(cè) acb， acb， bca 用余弦定理 ab a 2 b 2 2abcos 河 兩 岸 acb， abc， cba 用正弦定理 abasin sin() 河 對 岸 adc， bdc， bcd， acd， cda 在adc 中，acasin sin() 在bdc中，bcasin sin() ； 在abc 中，應(yīng)用余弦定理求 ab （一）仰角和俯角 在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角(如圖) （二）方位角和方向角 (1)方位

5、角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如 b 點(diǎn)的方位角為 (如圖) (2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東 30等 必考點(diǎn)1 1 ： 利用正弦定理解三角形 利用正弦定理 可解決兩類問題 基本類型 一般解法 已知兩角及其中一角的對邊，如 a，b，a 由 abc180，求出 c； 依據(jù)正弦定理，得asin a bsin b 及asin a csin c ，求出邊 b，c. 已知兩邊及其中一邊所對的角，如 a，b，a 依據(jù)正弦定理，經(jīng)爭論求 b； 求出 b 后，由 abc180，求出 c； 再依據(jù)正弦定理asin a csin c ，求出邊 c. 例題1 ： (2021沈陽模擬)已知

6、abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，若 a 6 ，b4 ，a1，則 b( ) a2 b1 c 3 d 2 【解析】由正弦定理得 b asin bsin a2212 2.選 d 變式1 ： (2021山東煙臺模擬)在銳角abc 中，角 a，b 所對的邊長分別為 a，b，若 2asin b 3b，則角 a_. 【解析】2asin b 3b，2sin asin b 3sin b，得 sin a32，a 3 或 a23， abc 為銳角三角形，a 3 . 必考點(diǎn)2 2 ： 利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可解決兩類問題 已知兩邊 和它們的 夾角，如 a，b，c 依據(jù)余弦定理 c

7、2 a 2 b 2 2abcos c，求出邊 c； 依據(jù) cos a b2 c 2 a 22bc，求出 a； 依據(jù) b180(ac)，求出 b. 已知三邊 可以連續(xù)用余弦定理求出兩角，經(jīng)常是分別求較小兩邊所對的角，再由 abc180，求出第三個角； 由余弦定理求出一個角后，也可以依據(jù)正弦定理求出其次個角，但仍舊是先求較小邊所對的角. 例題2 ： (2021山東濟(jì)南期中)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，若 b 2 ac，c2a，則 cos c( ) a24 b24 c 34 d34 【解析】由題意得，b 2 ac2a 2 ，即 b 2a， cos c a2 b 2 c 22

8、ab a2 2a 2 4a 22a 2a24.選 b 變式2 ： (2021全國卷)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，若 2bcos bacos cccos a，則 b_. 方法一：由 2bcos bacos cccos a 及正弦定理， 得 2sin bcos bsin acos csin ccos a. 2sin bcos bsin(ac) 又 abc，acb. 2sin bcos bsin(b)sin b. 又 sin b0，cos b 12 .b3 . 方法二：在abc 中，acos cccos ab， 條件等式變?yōu)?2bcos bb，cos b 12 . 又 0b

9、，b 3 . 必考點(diǎn)3 3 ： 推斷 三角形 的外形 的 判定三角形外形的 2 種常用途徑 例題3 ： 設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，若 bcos cccos basin a，則abc 的外形為( ) a銳角三角形 b直角三角形 c鈍角三角形 d不確定 【解析】由正弦定理得 sin bcos csin ccos bsin 2 a， sin(bc)sin 2 a，即 sin(a)sin 2 a，sin asin 2 a a(0，)，sin a0，sin a1，即 a 2 ，abc 為直角三角形 變式3 ： 本題中，若將條件變?yōu)?2sin acos bsin c，推斷a

10、bc 的外形 【解析】2sin acos bsin csin(ab)， 2sin acos bsin acos bcos asin b， sin(ab)0. 又 a，b 為abc 的內(nèi)角 ab，abc 為等腰三角形 變式4 ： 本題中，若將條件變?yōu)?a 2 b 2 c 2 ab，且 2cos asin bsin c，推斷abc 的外形 【解析】a 2 b 2 c 2 ab，cos c a2 b 2 c 22ab 12 ， 又 0c，c 3 ，又由 2cos asin bsin c 得 sin(ba)0，ab， 故abc 為等邊三角形 必考點(diǎn)4 4 ： 求三角形的面積 例題4 ： (2021全國

11、卷)abc 內(nèi)角 a，b，c 對邊分別為 a，b，c，sin a 3cos a0，a2 7，b2. (1)求 c； (2)設(shè) d 為 bc 邊上一點(diǎn)，且 adac，求abd 的面積 【解析】 (1)由已知可得 tan a 3，所以 a 23. 在abc 中，由余弦定理得 284c 2 4ccos 23，即 c 2 2c240，解得 c6(舍去)，c4. (2)由題設(shè)可得cad 2 ，所以badbaccad6 . 故abd 面積與acd 面積的比值為12 abadsin 612 acad1. 又abc 的面積為 12 42sinbac2 3，所以abd 的面積為3. 變式5 ： (2021全國卷

12、)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c.已知 bsin ccsin b4asin bsin c，b 2 c 2 a 2 8，則abc 的面積為_. 【解析】bsin ccsin b4asin bsin c， 由正弦定理得 sin bsin csin csin b4sin asin bsin c.又 sin bsin c0，sin a 12 . 由余弦定理得 cos a b2 c 2 a 22bc82bc 4bc 0，cos a32，bc4cos a 8 33， s abc 12 bcsin a12 8 33 12 2 33 必考點(diǎn)5 5 ： 解幾何計算問題 例題5 ： 如圖，在

13、abc 中，b 3 ，bc2，點(diǎn) d 在邊 ab 上，addc，deac，e 為垂足 (1)若bcd 的面積為33，求 ab 的長； (2)若 de62，求角 a 的大小 【解析】 (1)bcd 的面積為33，b 3 ，bc2， 12 2bdsin 3 33，bd 23 . 在bcd 中，由余弦定理可得 cd bc 2 bd 2 2bcbdcos b 4 49 2223 12 2 73. abadbdcdbd 2 73 23 2 723. (2)de62，cdaddesin a 62sin a . 在bcd 中，由正弦定理可得bcsin bdc cdsin b . bdc2a，2sin 2a

14、62sin asin 3，cos a22.a 4 . 變式6 ： (2021北京卷)在abc 中，a7，b8，cos b 17 . (1)求a； (2)求 ac 邊上的高 【解析】(1)在abc 中，由于 cos b 17 ，所以 sin b 1cos 2 b 4 37. 由正弦定理得 sin a asin bb32.由題設(shè)知 2 b，所以 0a2 .所以a3 . (2)在abc 中，由于 sin csin(ab)sin acos bcos asin b 3 314， 所以 ac 邊上的高為 asin c7 3 314 3 32. 必考點(diǎn)6 6 ： 考點(diǎn) 6 6 三角函數(shù)求值問題 例題6 ：

15、(2021天津卷)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c.已知 bsin aacos èæøöb 6. (1)求角 b 的大?。?(2)設(shè) a2，c3，求 b 和 sin(2ab)的值 【解析】(1)在abc 中，由正弦定理asin a bsin b ，可得 bsin aasin b. 又由 bsin aacos èæøöb 6，得 asin bacos èæøöb 6， 即 sin bcos èæøöb 6，所以

16、tan b 3.又由于 b(0，)，所以 b 3 . (2)在abc 中，由余弦定理及 a2，c3，b 3 ， 得 b 2 a 2 c 2 2accos b7，故 b 7. 由 bsin aacos èæøöb 6，可得 sin a37 . 由于 ac，所以 cos a27 .因此 sin 2a2sin acos a4 37， cos 2a2cos 2 a1 17 . 所以 sin(2ab)sin 2acos bcos 2asin b 4 37 12 17 32 3 314. 必考點(diǎn)7 7 ： 考點(diǎn) 7 7 解三角形綜合問題 例題7 ： (2021全國卷

17、)在平面四邊形 abcd 中，adc90，a45，ab2，bd5. (1)求 cosadb； (2)若 dc2 2，求 bc. 【解析】 (1)在abd 中，由正弦定理得bdsina absinadb 即5sin 452sinadb ，所以 sinadb25 由題設(shè)知，adb90，所以 cosadb 1225 235 (2)由題設(shè)及(1)知，cosbdcsinadb25 在bcd 中，由余弦定理得 bc 2 bd 2 dc 2 2bddccosbdc258252 22525 所以 bc5 變式7 ： (2021惠州模擬)在abc 中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，滿意(2bc)c

18、os aacos c. (1)求角 a 的大?。?2)若 a 13，bc5，求abc 的面積 【解析】(1)abc 中，由條件及正弦定理得(2sin bsin c)cos asin acos c， 2sin bcos asin ccos asin acos csin bsin b0，2cos a1，a(0，)，a 3 . (2)a 13，bc5，a 2 b 2 c 2 2bccos a(bc) 2 2bc2bccos 3 52 3bc13， bc 251334，s abc 12 bcsin a12 4sin 3 3. 必考點(diǎn)8 8 ： 高度問題（已知仰角或俯角） 例題8 ： (2021山東青島

19、月考)如圖所示，d，c，b 三點(diǎn)在地面的同一條直線上，dca，從 c，d 兩點(diǎn)測得 a 點(diǎn)的仰角分別為 60，30，則 a 點(diǎn)離地面的高度 ab_. 【解析】由已知得dac30，adc 為等腰三角形，ad 3a，所以在 rtadb 中，ab 12 ad32a. 變式8 ： (2021河北衡水模擬)如圖，為了測量河對岸電視塔 cd 的高度，小王在點(diǎn) a 處測得塔頂 d 的仰角為 30，塔底 c 與 a 的連線同河岸成 15角，小王向前走了 1 200 m 到達(dá) m 處，測得塔底 c 與 m 的連線同河岸成 60角，則電視塔 cd 的高度為_m. 【解析】在acm 中，mca601545，amc1

20、8060120， 由正弦定理得amsinmca acsinamc ，即1 20212 ac32，解得 ac600 6. 在acd 中，tandac dcac 33，dc600 633600 2. 的 求解高度問題的 3 個留意點(diǎn) (1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵 (2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時討論的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清晰又不簡單搞錯 (3)留意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 必考點(diǎn)9 9 ： 高度問題（已知方位角或方向角

21、） 例題9 ： 如圖，一輛汽車在一條水平的大路上向正西行駛，到 a 處時測得大路北側(cè)一山頂 d 在西偏北 30的方向上，行駛600 m后到達(dá)b處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山高度cd_m. 【解析】由題意，在abc 中，bac30，abc18075105，故acb45. 又 ab600 m，故由正弦定理得600sin 45bcsin 30，解得 bc300 2 m. 在 rtbcd 中，cdbctan 30300 233100 6(m) 必考點(diǎn) 10 ： 距離問題 例題10： ： (2021山東臨沂聯(lián)考)如圖，從氣球 a 上測得正前方的河流的兩岸 b，c 的俯角分別為 6

22、7，30，此時氣球的高是 46 m，則河流的寬度 bc 約等于_m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位參考數(shù)據(jù)：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80， 31.73) 【解析】如圖，過點(diǎn) a 作 ad 垂直于 cb 的延長線，垂足為 d， 則在 rtabd 中，abd67，ad46，ab46sin 67. 在abc 中，依據(jù)正弦定理得 bc absin 37sin 3046sin 37sin 67sin 3060 變式9 ： 如圖所示，要測量一水塘兩側(cè) a，b 兩點(diǎn)間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢?c，用經(jīng)緯儀測出角，再分別測出 ac，bc 的長 b

23、，a，則可求出 a，b 兩點(diǎn)間的距離，即 ab a 2 b 2 2abcos . 若測得 ca400 m，cb600 m，acb60，試計算 ab 的長 【解析】在abc 中，由余弦定理得 ab 2 ac 2 bc 2 2acbccosacb， ab 2 400 2 600 2 2400600cos 60280 000，ab200 7(m)， 即 a，b 兩點(diǎn)間的距離為 200 7 m. 求解距離問題的一般步驟 (1)畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題 (2)明確所求的距離在哪個三角形中，有幾個已知元素 (3)使用正弦定理、余弦定理解三角形對于解答題，應(yīng)作答 必考點(diǎn) 11 ： 角度問題 例

24、題11： ： 如圖所示，位于 a 處的信息中心獲悉：在其正東方向相距 40 n mile 的 b 處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心馬上把消息告知在其南偏西 30、相距 20 n mile 的 c 處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東 的方向沿直線 cb 前往 b 處救援，則 cos 的值為_. 【解析】在abc 中，ab40，ac20，bac120， 由余弦定理得 bc 2 ab 2 ac 2 2abaccos 1202 800，得 bc20 7 由正弦定理，得absinacb bcsinbac ，即 sinacbabbc sinbac217 由bac120，知acb 為銳角，則 cosacb 2 77.由 acb30 得 cos cos(acb30)cosacbcos 30sinacbsin 302114 變式10： ： (2021山西大同聯(lián)考)在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是北偏東 30，風(fēng)速是 20 km/h；水的流向是正東，流速是 20 km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向為北偏東_，速度的大小為_ km/h. 【解析】如圖， aob6