高等數(shù)學(xué)課件：8-5 平面及其方程

1、2022-1-121第五節(jié) 平面及其方程 第八章第八章 （The Planes and Its Equations)四、小結(jié)與思考練習(xí)四、小結(jié)與思考練習(xí)一、平面的點(diǎn)法式方程一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角2022-1-122zyxo0Mn一、平面的點(diǎn)法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點(diǎn)且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點(diǎn)法式方程點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點(diǎn)),(000zzyyxx法向量法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n(The Poi

2、nt-Normal Form Equations of a Plane)2022-1-123kji,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點(diǎn)法式得平面 的方程346231nn3121MMMM例1 求過三點(diǎn)2022-1-124此平面的三點(diǎn)式方程三點(diǎn)式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點(diǎn))3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為

3、說明:2022-1-125此式稱為平面的截距式方程截距式方程. ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時(shí),)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點(diǎn)式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為2022-1-126二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點(diǎn)法式方

4、程等價(jià), )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.(General Equation of a Plane)2022-1-1270DCzByAx)0(222CBA特殊情形 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 x

5、oy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn2022-1-128解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0ByCz代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy例2 求通過 x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3 用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.2022-1-129三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn )

6、,(2222CBAn 2121cosnnnn （The Angle between Two Planes）2022-1-1210221) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n特別有下列結(jié)論：特別有下列結(jié)論：2022-1-1211因此有垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1

7、() 1(2zyx即20 xyz0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且例4 一平面通過兩點(diǎn)2022-1-1212外一點(diǎn),求),(0000zyxP0DzCyBxA222101010)()()(CBAzzCyyBxxA000222AxB yC zDdABC0111DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d . 0P,則P0 到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點(diǎn)到平面的距離公式點(diǎn)到平面的距離公式)例5 設(shè)2

8、022-1-1213求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成四面體的球面方程.例6解解: 設(shè)球心為則它位于第一卦限,且, ),(0000zyxMxyzo0M2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為000zyx633331從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx2022-1-1214內(nèi)容小結(jié)1. 平面基本方程平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx0)()()(000zzCyyBxxA)0

9、(abc2022-1-12150212121CCBBAA212121CCBBAA2. 平平面面與平面與平面之間的關(guān)系之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角公式:2121cosnnnn 021nn021 nn, 0:22222DzCyBxA),(2222CBAn , 0:11111DzCyBxA),(1111CBAn 2022-1-1216作業(yè)習(xí)題習(xí)題85： 1； 2；7；8；9（1）（）（3）；）；10；11 思考與練習(xí)思考與練習(xí)答案：答案：,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk2132514kk.270 k2022-1-1217答案：答案：2022-1-1218)5,15,1