高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 綜述圓方程的尋求方法

1、綜述圓方程的尋求方法一、 “標(biāo)準(zhǔn)方程”法利用圓的圓心和半徑這些幾何特征，采用標(biāo)準(zhǔn)方程為：，進(jìn)行求解圓方程的方法。例1過點(diǎn)A（1，1），B（1，1），且圓心在直線x+y2=0上的圓的方程是（ ）A、 B、C、 D、【解】由于圓心在直線x+y2=0上，故可設(shè)圓心坐標(biāo)為：（a，2a），半徑為：r，圓方程為：，根據(jù)圓過點(diǎn)A（1，1），B（1，1）得：，解得a=1，。故所求圓的方程為：，選C。例2 求經(jīng)過點(diǎn)A（2，4），且與直線l：x+3y26=0相切于點(diǎn)B（8，6）的圓的方程。【解】設(shè)圓的方程為：，由|CA|=|CB|，CBl，得，。圓方程為：。例3 已知圓滿足：截y軸所得得弦長(zhǎng)為2，被x軸分成兩段圓

2、弧，其弧長(zhǎng)之比為3：1,在滿足的所有圓中,求圓心到直線l：x2y=0的距離最小的圓的方程?！窘狻糠? ：設(shè)圓的方程為：，圓心P（a，b）到x、y軸的距離分別是|b|、|a|。由題設(shè)知圓P截x軸所得的劣弧所對(duì)圓心角為90，故圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為，所以，圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以，從而，；又因?yàn)镻（a，b）到直線l：x2y=0的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，這時(shí)有或，由得：，故所求圓的方程為：或。【點(diǎn)評(píng)】利用圓的幾何性質(zhì)找出a、b、r的關(guān)系是關(guān)鍵，求距離的最小值要選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǘⅰ耙话惴匠獭狈ɡ脠A的一般方程，將所求圓設(shè)成一般形式方程：，根據(jù)題中的已知條件進(jìn)行求解圓方程的方

3、法。例4 （同例2題目）【解】設(shè)所求圓的方程為：，則CBl，A（2，4）， B（8，6）在圓上，所以的方程組：，整理得：，解得D=11；E=3；F=30。故所求圓的方程為：?！军c(diǎn)評(píng)】分析方程中各個(gè)字母的含義，是應(yīng)用好防城的關(guān)鍵。三、“圓系”法利用過兩圓交點(diǎn)的圓方程，采用巧設(shè)方程，不求坐標(biāo)的方法，簡(jiǎn)化運(yùn)算。過兩圓交點(diǎn)的圓系方程為：。例5 已知兩圓的方程：；：。直線l：x+2y=0，求經(jīng)過圓、的交點(diǎn)且和直線l相切的圓的方程。【解】設(shè)所求圓的方程為：（k1），整理得：，圓心為，圓心到直線的距離d等于半徑得：，解得：k=1，故所求圓的方程為：。例6 求過直線2x+y+4=0和圓的交點(diǎn)，且面積最小的圓的

4、方程。【解】設(shè)過直線2x+y+4=0和圓交點(diǎn)的圓方程為：，則。要使圓的面積最小，必須半徑r最小，r，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)r最小。所求圓的方程為：。四、“對(duì)稱”法根據(jù)兩圓成中心對(duì)稱或成軸對(duì)稱的特征求圓的方程。例7 已知圓C：和直線l：3x4y+5=0，求圓C關(guān)于直線l對(duì)稱的圓的方程?！窘狻恳?yàn)閳AC的圓心為（2，6），半徑為1，易求得點(diǎn)（2，6）關(guān)于直線l：3x4y+5=0，的對(duì)稱點(diǎn)為：（4，2），而對(duì)稱圓的半徑相同，故所求圓的方程為：。五、“直徑”法若A，B，直徑為AB的圓方程是，通常利用此方程進(jìn)行求解時(shí)通常稱為“直徑”法。例 8（同例6）求過直線2x+y+4=0和圓的交點(diǎn)，且面積最小的圓的方程?！窘狻恳?yàn)橥ㄟ^兩個(gè)定點(diǎn)