歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答

1、歷屆國際物理奧林匹克競賽試題與解答第6屆（1972年于羅馬尼亞的布加勒斯特）【題1】給定三個(gè)圓柱，它們的長度、外徑和質(zhì)量均相同。第一個(gè)是實(shí)心圓柱；第二個(gè)是空 心圓筒，壁有一定厚度；第三個(gè)是同樣壁厚的圓筒，但兩端用薄片封閉，里面充滿一種密度與筒壁相同的液體。如將它們放在傾角“為的斜面上，如圖 6.1所示，求出并比較這些圓柱 的線加速度。研究光滑滾動(dòng)與又滾又滑兩種情況。圓柱與斜面的摩擦系數(shù)為W，液體與筒壁之間的摩擦可以忽略。 解：沿斜面方向作用在圓柱上的力是：作用于質(zhì)心重力的分量mgsin 和作用于接觸點(diǎn)的摩擦力 S,如圖6.1所示。產(chǎn)生的 加速度a :ma= mgsin S純滾動(dòng)時(shí)的角加速度為：

2、轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為:以上方程組的解為:g sin，a 二I12mR2-一 I mgsin 2S =-m-當(dāng)S達(dá)到最大可能值科mgcosIZ2mR時(shí)，也就到了純滾動(dòng)的極限情形，這時(shí):I(1)mgcos： h = mgsin 二 hmR21 I2mR2即維持純滾動(dòng)的極限條件為mR2、(2)tan : h =(1 -)下面我們來研究三個(gè)圓柱體的純滾動(dòng)情形。（I ）實(shí)心圓柱的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I 二-mR22從（1 ）式和（2 ）式分別得到a = - gsin« ,tan ah= 3角加速度為：3 =R（n）設(shè)空心圓筒壁的密度是實(shí)心圓柱密度的n倍。因已知圓柱的質(zhì)量是相等的， 故可以算出圓筒空腔的半徑

3、r：222、:二R L ":二L(R -r )轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:I =0.5n：二 LR2 R2 -0.5n ：LR22 c 2 2n -1r2 =0.5mR2- n由（1 ）式和（2 ）式分別算出：2na =g sin 一 ,4n-1tan ： h4n - 12n -1角加速度為：3 =R（m）對(duì)充滿液體的圓筒，因液體與筒壁之間無摩擦力，故液體不轉(zhuǎn)動(dòng)。總質(zhì)量為 動(dòng)慣量只需對(duì)圓筒壁計(jì)算：I =0.5n：二LR2 R2 -0.5n：LR2 r2 =0.5mR2 2nsi n由（1 ）式和（2 ）式分別算出：- 22n_a 二一2gsina ,2n 2n -1t a :nh2n2 2n -12

4、n -1角加速度為：3 =R現(xiàn)在比較三個(gè)圓柱體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：線加速度和角加速度之比為:2,3n3n21 : : -24n -1 2n 2n -1極限角正切之比為：一 2 一, 4n -1 2n 2n -113(2n -2)3(2n -1)如果斜面傾角超過極限角，則圓柱又滑又滾。此時(shí)三個(gè)圓柱體的摩擦力均為mgcos ,故線加速度相同，為：a= g （sin cos ）角加速度由g = RmgcosCt給出,但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在三種情況下各不相同。因此，若圓柱體又 I滾又滑，則三種情況下的角加速度分別為：:_ 2.cos：2 : cos：2n -1 gg2n -12 c cos 二:3 =R2 .【題2】有

5、兩個(gè)底面積為 1dm的圓筒，如圖6.2所小，左萬圓筒裝有一種氣體，氣體的質(zhì) 量4g,體積22.4L ,壓強(qiáng)1atm,溫度0七。右方圓筒裝有同種氣體，氣體的質(zhì)量 7.44g ,體 積22.4L ,壓強(qiáng)1atm,溫度0七。左方圓筒筒壁絕熱，右方圓筒靠一個(gè)大熱庫維持溫度00a整個(gè)系統(tǒng)在真空中。放開活塞，它移動(dòng)了 5dm后達(dá)到平衡并靜止。試問右方圓筒中的氣體吸 收了多少熱量？氣體等容比熱為0.75cal/g ?K。00C圖6.2解：放開連桿前，右方氣體壓強(qiáng)為：7.44/4 = 1.86 (atm)在達(dá)到平衡時(shí)，左方氣體體積為 22.4 + 5=17.4 (dm3),右方氣體體積為 22.4 +5=27

6、.4 (dm3)。 左方氣體經(jīng)絕熱過程升高溫度到T,壓弓II為p。右方氣體經(jīng)等溫膨脹到同一壓強(qiáng)。等溫膨脹由下式表示：1.86 X 22.4 = X 27.4解得：p = 1.521 atm對(duì)左方氣體應(yīng)用絕熱過程定律，得：1X22.4 k= 1.521 X 17.4 k由此可求得比熱之商k如下= 1.5211.2874 k=1.521k= 1.66(看來它是一種單原子氣體：氨。) 左方氣體的溫度可從狀態(tài)方程算出:1 22.4 1.521 17.4解得:273 一 TT= 322.5Kt = 49.5 °C在這個(gè)過程中，右方氣體的溫度沒有改變，它吸收了0.75 X4X49.5= 148.

7、5 cal的熱量，這些熱量表現(xiàn)為氣體的內(nèi)能注。(注：此處是指左方氣體的內(nèi)能。因?yàn)橛曳綒怏w等溫膨脹，所吸收的熱量等于它對(duì)左方氣體所作的功。左方氣體絕熱壓縮，右方氣體對(duì)它所作的功等于左方氣體內(nèi)能的增量。)【題3】將焦距為f的一個(gè)透鏡，沿其表面的垂直方向切割成兩部分。把兩個(gè)半透鏡移開一hS段小距離8,如果在透鏡的一方距離t >f處放置一個(gè)單色點(diǎn)光源，問在透鏡的另一方距離H處的屏幕上將出現(xiàn)多少干涉條紋？解：由兩部分透鏡所產(chǎn)生的像是相干光源，所以可以發(fā)生干涉。設(shè)兩個(gè)點(diǎn)光源的距離為d,若光程差等于波長 入，則在h遠(yuǎn)處的屏幕上將出現(xiàn)第一個(gè)極強(qiáng)，如解圖 6.1所示。即：din =入解圖6.1S 由于 T

8、E小角，取近似 sina fc,各級(jí)極強(qiáng)的間距為：hdS° hS hd下面計(jì)算兩個(gè)焦點(diǎn)的位置。一個(gè)點(diǎn)光源位于焦距為 f的透鏡前t距離處，它產(chǎn)生的實(shí)像位于k=L ,如解圖6.2所t - f示。解圖6.2若切口的寬度為 8,則兩實(shí)像點(diǎn)間的距離可從下列比例式中得到：d _ t k二=Tt k 、t因此1d = =t t - f像點(diǎn)Ki和K是相干光源。它們發(fā)射出來的光束的干涉在屏幕上觀察到。條紋的間距為h ，一H(t-f)-tfS =，其中d為已知。屏幕到像點(diǎn)的距離為：h = H -k =()一dt - f在此實(shí)驗(yàn)中，條紋間距為:S = I H(t - f) -tf干涉條紋出現(xiàn)在 Ki和K發(fā)出的兩束光交疊處。由相似三角形求得兩束光交疊部分的直h ' t 徑為 d =、. htt用S除D,得條紋數(shù)目為H tH (t - f) -tf如果 f =10cm, t = 20cm, 8 = 0.1cm,入=0.5 科成 H= 50cm,則得 N= 46.6 。當(dāng)屏幕比A點(diǎn)更近時(shí)，對(duì) D必須另作計(jì)算。如屏幕在B點(diǎn)以內(nèi)，則無干涉條紋?！緦?shí)驗(yàn)題】給定兩個(gè)圓柱體，它們的大小、形狀、材料均相同，其一是實(shí)心體，另一個(gè)內(nèi)部有一個(gè)與圓柱軸平行的圓柱形空腔。后者兩端用薄片封閉。試確定材料密度，以及空腔軸與圓柱軸之間的距離。解答：實(shí)心圓柱體的密度可由其質(zhì)量和體積確定。其次我們測(cè)量有空腔的圓柱體的質(zhì)