第五章局部綜合法

1、魏冰陽撰寫局部綜合法與弧齒錐齒輪加工參數(shù)計(jì)算局部綜合（Local Synthesis）由F. L. Litvin教授1968年提出，用于研究準(zhǔn)共軛齒輪副傳動(dòng)，其目的是要在指定的接觸點(diǎn)鄰域內(nèi)達(dá)到最佳的嚙合質(zhì)量。進(jìn)入1980年后，Litvin與Gutman教授發(fā)展了局部綜合法，把局部綜合法應(yīng)用于準(zhǔn)雙曲面齒輪的加工參數(shù)計(jì)算。明確提出了通過預(yù)置拋物線型的傳動(dòng)誤差函數(shù)來控制傳動(dòng)誤差，并認(rèn)為這種拋物線型的傳動(dòng)誤差函數(shù)能夠“吸收”由于安裝偏差等所導(dǎo)致的線性的傳動(dòng)誤差，從而降低振動(dòng)與噪音。1991年Litvin與Zhang教授又成功地將局部綜合法應(yīng)用于弧齒錐齒輪副嚙合質(zhì)量控制及加工參數(shù)設(shè)計(jì)。本章首先介紹局部綜

2、合法的原理，然后應(yīng)用局部綜合法對(duì)弧齒錐齒輪進(jìn)行加工參數(shù)設(shè)計(jì)。5.1基本原理局部綜合的基本思想是：(1) 設(shè)大輪齒面已知，在大輪齒面上選取一參考點(diǎn)，計(jì)算出參考點(diǎn)處的二階幾何參數(shù)（即主曲率和主方向）；(2) 預(yù)置參考點(diǎn)處的三個(gè)二階接觸參數(shù)，即）傳動(dòng)比函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；）接觸跡線的切線方向；）瞬時(shí)接觸橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度；(3) 求出小輪參考點(diǎn)處的二階幾何參數(shù)，在此基礎(chǔ)上確定小輪的加工參數(shù)。通過上述過程，實(shí)現(xiàn)齒面在參考點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)一階和二階接觸參數(shù)的預(yù)控。5.1.1基本公式考慮兩齒輪（1和2）嚙合。在嚙合過程中，齒輪1的齒面和齒輪2的齒面連續(xù)相切接觸。在空間固定（絕對(duì)）坐標(biāo)系中，兩齒面公共接觸點(diǎn)M具有相同的運(yùn)

3、動(dòng)速度，即通過齒面和齒面描述接觸點(diǎn)M在空間的運(yùn)動(dòng)速度相同 (5.1)所以 (5.2)這里，上標(biāo)“1”和“2”分別指明所描述的參量為齒面和齒面；下標(biāo)“r”和“tr”分別指接觸點(diǎn)速度為相對(duì)（relative）速度（接觸點(diǎn)相對(duì)于齒面運(yùn)動(dòng)的速度）和牽連（transfer）速度（接觸點(diǎn)隨齒面運(yùn)動(dòng)的速度）；為兩齒面上的接觸點(diǎn)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。v(12)由下式確定： (5.3)這里，是由齒面的旋轉(zhuǎn)軸上的一點(diǎn)至接觸點(diǎn)的位置矢量；是由的旋轉(zhuǎn)軸上的一點(diǎn)至的旋轉(zhuǎn)軸上的一點(diǎn)的位置矢量； w(i)(i=1, 2，下文同)是齒輪i的角速度；是兩齒輪的相對(duì)角速度。兩齒面在公共接觸點(diǎn)M處有公法線，且公法線也應(yīng)具有相同的運(yùn)動(dòng)速

4、度。則，接觸點(diǎn)M處單位法線運(yùn)動(dòng)速度為 (5.4)這里，是齒面接觸點(diǎn)M處單位法向量；是齒面i上接觸點(diǎn)處單位法矢端點(diǎn)相對(duì)于齒面運(yùn)動(dòng)的速度。兩齒輪嚙合，有如下的嚙合方程成立 (5.5)對(duì)方程(5.5)求導(dǎo)，即 (5.6)設(shè)為齒輪2旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量，則有： (5.7)這里，為齒輪1的轉(zhuǎn)角。設(shè)齒輪1在嚙合過程中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，即為常數(shù)，則有：(5.8)這里，。由式(5.3)、(5.8)得 （此處=0） (5.9)將式(5.9)代入(5.6)式，得(5.10)其中，(5.11)(5.12)將(5.11)、(5.12)代入(5.10)式，考慮到對(duì)齒面和都成立，可得下式 (5.13)圖5.1兩齒面在點(diǎn)處的公切面投影

5、圖5.1.2基本方程組考慮兩齒輪的齒面和在M點(diǎn)相切接觸。圖5.1所示為其公切面的投影圖。其中，和是在M點(diǎn)處的兩個(gè)主方向的單位矢量，和分別為其相應(yīng)的主曲率；和是在M點(diǎn)處的兩個(gè)主方向的單位矢量，和分別為其相應(yīng)的主曲率；角為和之間的夾角，由到逆時(shí)針方向度量。設(shè)二維坐標(biāo)系和分別固連于和上，則兩坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣如下所示： (5.14)將矢量和投影于坐標(biāo)系中，則(5.15)將其變換至坐標(biāo)系中，則(5.16)同理，將矢量和投影于坐標(biāo)系中，則(5.17)將其變換至坐標(biāo)系中，得：(5.18)下面，將式(5.2)、(5.4)中的所有矢量表示在同一坐標(biāo)系中，則(5.19)(5.20)下面，將式(5.2)和式

6、(5.4)中的所有矢量表示在同一坐標(biāo)系中，則(5.21)(5.22)由微分幾何，和的分量滿足羅德里克（Rodrigues）公式99，即有：（i=1, 2）(5.23)這里，是齒面接觸點(diǎn)M的主曲率（即前述中的(kf, kh) 和(ks, kq)）。用Ki（i=1, 2）表示曲面的主曲率矩陣。矢量和表示在坐標(biāo)系中，由方程(5.23)得(5.24)與此類似，可得(5.25)對(duì)式(5.16)和(5.24)進(jìn)行變換可得(5.26)與此類似，由式(5.25)推得 (5.27)上述一系列推導(dǎo)的目的，是為了得到如下形式的線性方程組(5.28)這里，(5.29)其中， (5.30) 方程組(5.28)中由兩個(gè)子

7、方程組組成，其中對(duì)于，的線性方程組推導(dǎo)如下：第一步：由式(5.20)和(5.27)得(5.31)第二步：由式(5.19)和(5.24)得出：(5.32)第三步：由式(5.31)和(5.32)可得(5.33)同理可推得 (5.34)方程組(5.28)中的系數(shù)矩陣A為一反對(duì)稱矩陣，將其寫成如下形式：(5.35)利用方程(5.33)與(5.34)，經(jīng)若干變換后可得 (5.35a) (5.35b) (5.35c) (5.35d) (5.35e) (5.35f)列向量B表示作(5.36)其中 (5.36a) (5.36b)(5.36c) (5.36d)齒面和作線接觸，點(diǎn)M始終位于瞬時(shí)切線上，齒面的主曲率

8、kf，kh與M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)已知，那么齒面相應(yīng)點(diǎn)的主曲率ks，kq與s角，可按下述方法確定（1） 對(duì)式（5.13）進(jìn)行變換，先將表示在坐標(biāo)系中 (5.37)把式（5.24）代入可得 (5.38)利用式（5.19）對(duì)式（5.38）進(jìn)行變換可得 (5.39)（2）將混合積表示在坐標(biāo)系中 (5.40)利用式（5.19）對(duì)式（5.40）進(jìn)行變換可得 (5.41)(3) 利用式（5.39）與（5.41），可把式（5.13）寫成如下形式 (5.42)（4）由方程組(5.35)中的前兩個(gè)方程和式(5.42)，可以得到如下的關(guān)于和的三個(gè)線性方程組(i=1,2,3) (5.43)這里， (5.44a)另，上式還可

9、化為 (5.44b)式中，分別表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度在兩個(gè)主方向上的分量；表示接觸點(diǎn)隨相應(yīng)曲面的牽連運(yùn)動(dòng)速度；m21滾比的一階導(dǎo)數(shù)；R為從曲面S1旋轉(zhuǎn)軸線上一點(diǎn)到曲面S2旋轉(zhuǎn)軸線上一點(diǎn)的位置矢量，通常取曲面S1坐標(biāo)系原點(diǎn)指向曲面S2坐標(biāo)系原點(diǎn)；k2表示曲面S2旋轉(zhuǎn)軸線上的單位矢量。以上公式(5.44)看來十分復(fù)雜，其實(shí)在加工大輪時(shí)，t33的最后一項(xiàng)為零，因?yàn)闈L比為一常數(shù)。只有小輪用變性法加工時(shí)，公式的應(yīng)用則較為復(fù)雜一些?；痉匠探M(5.43)建立了兩齒面的主曲率、主方向之間的關(guān)系。當(dāng)兩齒面處于線接觸的狀態(tài)時(shí)，接觸點(diǎn)相對(duì)于齒面運(yùn)動(dòng)的速度的方向是不定的，也就是說以和為未知量的方程組(5.43)的解是不唯

10、一的，即方程組(5.43)的增廣矩陣的秩小于2，由此可以推出(5.45)上式等效于(5.46)當(dāng)齒面上點(diǎn)M處的主曲率和已知時(shí)，由上式可以得出齒面上點(diǎn)處的主曲率和以及主方向夾角，其公式如下： (5.47) (5.48a) (5.48b)當(dāng)齒面上點(diǎn)處的主方向和已知，且也已計(jì)算出來后，齒面上點(diǎn)處的主方向和可由下式得出： (5.49a) (5.49b)與上述推導(dǎo)類似，當(dāng)齒面的接觸點(diǎn)主曲率ks，kq已知時(shí)，那么齒面相應(yīng)點(diǎn)的主曲率kf，kh與s角，可由如下方程確定(i=1,2,3)(5.50)這里，(5.51) (5.52) (5.53a) (5.53b)基本方程組(5.45)建立了兩齒面的主曲率、主方向

11、之間的關(guān)系。它可應(yīng)用于兩種情況：1）齒輪1和齒輪2作線接觸，以上式(5.47)、(5.48)與式(5.52)、(5.53)則反映了這一情況。2）齒輪1和齒輪2作點(diǎn)接觸，這一情況在下一節(jié)還要專門討論。對(duì)于弧齒錐齒輪與準(zhǔn)雙曲面齒輪來說，在齒輪的加工過程中，刀具產(chǎn)形輪與被加工齒輪之間是線接觸；而在齒輪嚙合過程中，大、小齒輪之間是點(diǎn)接觸。當(dāng)齒面上點(diǎn)M處的主方向和已知，且也已計(jì)算出來后，齒面上點(diǎn)處的主方向和可由下式得出：(5.54a)(5.54b)5.2點(diǎn)接觸齒面間主曲率、主方向的關(guān)系當(dāng)兩齒面處于點(diǎn)接觸的狀態(tài)時(shí)，接觸點(diǎn)相對(duì)于齒面運(yùn)動(dòng)的速度的方向是確定的，也就是說以和為未知量的方程組(5.45)的解是唯一

12、的，即方程組(5.45)的增廣矩陣等于2，由此可以得出：(5.55)式(5.52)、(5.53)可以得出如下方程：(5.56)當(dāng)欲由式(5.52) 、(5.53)求得接觸點(diǎn)M處的、和時(shí)，需要補(bǔ)充提供一些輔助條件。為此，可以在點(diǎn)M處預(yù)置如下三個(gè)二階接觸參數(shù)：1）傳動(dòng)比函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；2）上接觸跡線的切線方向；3）瞬時(shí)接觸橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度。5.2.1輔助條件（1）預(yù)置傳動(dòng)比的一階導(dǎo)數(shù)對(duì)于理想的完全共軛的齒輪副來說，其傳動(dòng)比為一常數(shù)。設(shè)小輪、大輪的轉(zhuǎn)角分別為和，齒數(shù)分別為和，則函數(shù)是線性的，可表示如下：(5.57)而對(duì)于作局部點(diǎn)接觸的不完全共軛的齒輪副來說，其傳動(dòng)比是變化的。相對(duì)于定比傳動(dòng)來說，齒輪

13、副存在著傳動(dòng)誤差。傳動(dòng)誤差函數(shù)由下式定義：(5.58)式中和分別是兩齒輪在參考點(diǎn)嚙合時(shí)的小輪、大輪的初始轉(zhuǎn)角。由式(5.57)可知，傳動(dòng)誤差是指當(dāng)小輪勻速回轉(zhuǎn)時(shí)，大輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角之間的差值。此時(shí)，我們將函數(shù)表示成如下形式：(5.59)將上式進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開至二階，可以得到：(5.60)這里（即在參考點(diǎn)嚙合時(shí)）的等于。同時(shí)考慮式(5.55)和(5.57)，可知傳動(dòng)誤差為：(5.61)由方程(5.60)確定的傳動(dòng)誤差函數(shù)為一拋物線型的函數(shù)。預(yù)置為負(fù)值，可得到一中凸的拋物線型的傳動(dòng)誤差曲線，此時(shí)，大輪的實(shí)際轉(zhuǎn)角是滯后于理論值的。此外，控制的絕對(duì)值的大小，可在參考點(diǎn)鄰域內(nèi)控制傳動(dòng)誤差的幅值。（

14、2）預(yù)置接觸跡線的切線方向圖5.2接觸跡線在M點(diǎn)處的切線方向由方程(5.2)可知，和有如下關(guān)系：(5.62)這里，接觸點(diǎn)M的在速度和的方向分別是齒面和齒面上接觸跡線在M點(diǎn)處的切線方向。如圖5.2所示，和分別為和與所成的夾角。由式(5.59)可得：(5.62)又，由圖5.2可得： (i=1, 2)(5.63)將方程組(5.45)的第三個(gè)方程和式(5.60)、(5.61)聯(lián)立，可得： (5.64a) (5.64b)(5.64c)預(yù)置的值，即預(yù)置齒面上點(diǎn)處的接觸跡線的切線方向，可以由式(5.62)、(5.63)和(5.64)求得、和。（3）預(yù)置瞬時(shí)接觸橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度理論上作點(diǎn)接觸的齒輪副，在載荷的作

15、用下，由于發(fā)生彈性變形，兩齒面由一點(diǎn)接觸延展為一小塊面積接觸。該接觸面在兩齒面公切面上的投影為一橢圓。設(shè)接觸橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度為，短半軸長(zhǎng)度為，則有：(5.65a) (5.65b)(5.66a)(5.66b)其中，,為齒面的彈性變形量，通常按格里森公司的經(jīng)驗(yàn)取為0.00635mm。由式(5.46)可以得到，(5.67)由式(5.66)和(5.69)可以得出，(5.68)下面，我們考慮如下的以、和為未知量的方程組，它是由方程組(5.45)的前兩個(gè)方程和式(5.69)的第一個(gè)方程組成的。(5.69)解此方程組，可以得到由、和所表示的、和。將解得的a11、a12和a22代入方程(5.70)，可得： (5.70a)這里， ， (5.70b) 在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步推出如下公式：(5.71)(5.72)(5.73)(5.74)預(yù)置的值，我們可以由上述公式求得齒面上點(diǎn)處的主曲率和以及角。當(dāng)計(jì)算出來后，齒面上點(diǎn)M處的主方向和可由式(5.50)和(5.51)得出。局部綜合法通過方程組(5.45)建立了齒面的主方向和、主曲率和同齒面的主方向和、主曲率和之間的關(guān)系。對(duì)于兩齒面作線接觸的情況，當(dāng)已知齒面的主方向和、主曲率和時(shí)，通過式(5.49)(5.53)可以唯一確定齒面的主方向和、主曲率和；對(duì)