太原理工大學(xué)2011級《線性代數(shù)》練習(xí)冊(一)

1、 太原理工大學(xué)2011級線性代數(shù)練習(xí)冊（一）一. 判斷題（正確打，錯誤打×）1. 階行列式的展開式中含有的項(xiàng)數(shù)為.( × ) 正確答案： 解答：方法1因?yàn)楹械捻?xiàng)的一般形式是， 其中是級全排列的全體，所以共有項(xiàng). 方法2 由行列式展開定理 ， 而中不再含有，而共有項(xiàng)，所以含有的項(xiàng)數(shù)是. 注意：含有任何元素的項(xiàng)數(shù)都是.2. 若階行列式中每行元素之和均為零，則等于零.( ) 解答：將中的列都加到第一列，則行 列式中有一列元素全為零，所以等于零.3.( )解答：方法1按第一列展開 .方法2 交換2，4列，再交換2，4行 =.方法3 Laplace展開定理：設(shè)在階行列式中任意取定了

2、個行，由這行元素所組成的一切階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式. 所以按2，3行展開 =.4. 若階行列式滿足,則.() 解答：由行列式展開定理 .5. 若階行列式的展開式中每一項(xiàng)都不為零,則.( × ) 解答：反例如.二. 單項(xiàng)選擇題1. 方程的根為（B）.（A）； （B）； （C）； （D）. 解答：（范德蒙行列式） ，所以根為.2. 已知,那么（D）. （A）； （B）； (C)； （D）.解答： 。3. 已知齊次線性方程組僅有零解，則（A）.（A）且；（B）或；（C）且；（D）或解答：因?yàn)閮H有零解， 所以， 所以且.4.下列行列式中不一定等于的是（B）.（A）； （

3、B）；（C）； （D）.解答： 注意 =；而=.5.階行列式展開式中項(xiàng)的符號為(D). （A）- ； （B）+； （C）； （D）.三. 填空題1. 已知方程組有唯一解,且,那么 4 .解答：系數(shù)行列式， 而,所以, 所以.2. 已知階行列式中第行的元素依次為，第行的余子式依次為，則.解答：行列式第行的代數(shù)余子式依次為 故 ，解得 .3. 若為階范德蒙行列式,是代數(shù)余子式，則.解答：.4. 120 .解答：方法1 .方法2 .5. 設(shè)，則的展開式中的系數(shù)為 -1 .解答：的展開式中有一項(xiàng)是. 或者按第一行展開：， 由此可以看出的系數(shù)為-1.四.計(jì)算題1. 已知，計(jì)算.解答：方法1 .方法2，所以.方法3 .2. 計(jì)算行列式解答： .3. 計(jì)算行列式解答： .4. 計(jì)算行列式 解答：（行和相等） 5. 計(jì)算行列式解答：方法一 方法二 .6. 計(jì)算行列式解答：（行和相等） 7. 計(jì)算行列式.解答：當(dāng)時：；當(dāng)時：各行分別減第二行得五證明題1.設(shè)，證明：存在，使得.證明：是多項(xiàng)