矩陣對角化問題

1、第四章 矩陣對角化問題一.單項選擇題1. 設(shè)為n 階可逆矩陣,為的一個特征根,則的伴隨矩陣的特征根之一為( )A. B. C. D. 解: B.設(shè)為的屬于的一個特征向量),則,即,從而.注:一般地,我們有:若為的一個特征根,則 (1)的特征根為;(2)的特征根為; (3)的特征根為; (4)若可逆,則的特征根為; (5)若,則的特征根為; (6)的特征根為.2.設(shè)為非奇異矩陣的一個特征值,則矩陣有一特征值為( ) A. B. C. D.解: B. 設(shè)為的屬于的一個特征向量),則(為實數(shù)),所以, 的一個特征值為=.3.n階方陣有n個不同的特征值是與對角陣相似的( ) A.充分必要條件 B. 充

2、分而非必要條件 C. 必要而非充分條件 D. 既非充分也非必要條件解: B.4.設(shè)為n 階矩陣,且與相似,為n 階單位矩陣,則( ) A. B. 與有相同的特征值與特征向量 C. 與都相似于一對角矩陣 D. 對任意常數(shù),有與相似解: D. 二.填空題1.若四階矩陣與相似,矩陣的特征值為,則行列式 解: 24.設(shè)為的屬于的一個特征向量), 可逆,則,即 的特征值為-1,從而(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)=24.另一方面, 與相似,所以,存在可逆矩陣使得 ,即,所以與相似,相似矩陣有相同的行列式,因此, 24.2.設(shè)n階方陣伴隨矩陣為,且若有特征值,則的特征值為 解: 若的特征值為,則的

3、特征值為,的特征值為,所以, 的特征值為3.矩陣的非零特征值為 解: 4. 計算特征行列式 .所以,非零特征值為4.4.n階矩陣的元素全是1,則的n個特征值為 解:n,0,其中0為n-1重根.(計算方法如上)三.計算題1.設(shè)(1)求的特征值;(2)利用(1)中結(jié)果求的特征值,其中為三階單位矩陣.解: (1)所以, 的特征值為1,-5.(2)由為的屬于的一個特征向量), 可逆,得,從而 ,即 的特征值為(為的特征值).所以, 的特征值為2,.2.設(shè)有三個線性無關(guān)的特征向量,求和 應(yīng)滿足的條件.解: 所以, 的特征值為.因為有三個線性無關(guān)的特征向量,所以特征值1有兩個線性無關(guān)的特征向量,即 r()

4、=3-2=1,由秩為1可得: ,即和滿足.3.設(shè)三階實對稱矩陣的特征值為1,2,3;矩陣的屬于特征值1,2,的特征向量分別為(1) 求的屬于特征值3的特征向量;(2) 求矩陣.解(1)設(shè)的屬于特征值3的特征向量為矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交,所以,即為下列方程組的非零解:解得基礎(chǔ)解系為.所以的屬于特征值3的全部特征向量為為任意實數(shù).(2) 記則所以, 計算得 代入得 4.已知求解: 由得 ,其中計算得 所以.5.設(shè)(1) 已知有一個特征值是3,求,(2) 求使為對角矩陣.解: (1)計算得 將代入得 (2) ,其中為對角矩陣.所以,只需求正交矩陣,使對角化.將代入解得的特征值為1,1,-

5、1,3.所以的特征值為1(三重根),9.對解對應(yīng)矩陣方程,得特征向量為對解對應(yīng)矩陣方程,得特征向量為.已經(jīng)兩兩正交,將它們各自單位化后,令, 則有 6.設(shè)為的一特征向量.(1)求及特征值; (2) 可否對角化?解: (1) 設(shè)為的屬于特征值的一個特征向量),則,解得 (2)將代入得 ,所以 1為的三重特征根.而 , 所以不能對角化.7.設(shè)向量為矩陣的逆矩陣的特征向量.求常數(shù)的取值.解:由題意得: 即 對應(yīng)矩陣方程為 亦即 解得 8.設(shè)三階矩陣滿足其中試求矩陣.解:由題意得 ,令 ,則 用初等行變換計算得 ,代入得 9.設(shè)為四階方陣,且滿足條件其中為四階單位陣.求矩陣的伴隨矩陣的一個特征值.解:

6、 設(shè)為的屬于特征值的一個特征向量), 可逆,則,所以, 為的一個特征值.由題意, 即 從而為的一個特征值.另一方面,由 得 ,所以, 從而的一個特征值為 10.設(shè)矩陣且|=-1,又設(shè)的伴隨矩陣有特征值的屬于特征值的特征向量為求及的值.解: 由題意得,又從而 ,對應(yīng)矩陣方程為 即 (1)-(3)得=1; 代入(2)得 =-3; 代入(1),(3)得;將,=-3代入|=-1得 =2.11.設(shè)向量均為非零向量,且滿足條件記求 (1) (2)矩陣的特征值和特征向量.解:(1) 其中為數(shù),從而(2)設(shè)為的屬于特征值的一個特征向量),則所以,=0,即僅有零特征值.對應(yīng)特征方程組為即 由均為非零向量知中均有

7、非零分量,設(shè)為,則 所以, 基礎(chǔ)解系包含n-1個向量,分別為的全部特征向量為 為任意實數(shù)).12.設(shè)矩陣和相似,其中 (1) 求的值;(2) 求可逆矩陣,使得解: (1)相似矩陣具有相同的特征行列式,所以，,即 解得 令得 ; 令得 ; 所以, .(2) 將=0代入得 的特征值為將=-2代入=0得的特征值同樣為所以,以下只需求將對角化的可逆矩陣:分別求解特征方程 得對應(yīng)特征向量為令則13. 設(shè)矩陣和相似,且 (1)求的值;(2)求可逆矩陣,使得解: (1) 矩陣和相似,相似矩陣具有相同的特征值,所以2為的二重特征值,即 解得 將代入得矩陣的特征值為2,2,6.從而.(2) 對求解矩陣方程得對應(yīng)

8、的特征向量為對求解矩陣方程得對應(yīng)的特征向量為令,則14.設(shè)矩陣問為何值時,存在可逆矩陣,使得為對角矩陣?并求出和相應(yīng)的對角矩陣.解: 先計算特征值和特征向量: 所以, 的特征值為 對 求解特征矩陣方程 要使可以對角化,重特征根對應(yīng)矩陣方程的基礎(chǔ)解系包含向量個數(shù)應(yīng)等于它的重數(shù),所以應(yīng)有,即 =0.進(jìn)一步求得屬于的兩個線性無關(guān)的特征向量為類似可得特征根的一個特征向量為 .令則15.設(shè)矩陣已知有三個線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根. 求可逆矩陣,使得為對角矩陣.解: 因為有三個線性無關(guān)的特征向量,是的二重特征根.所以, , 于是應(yīng)有 即 將代入得 其特征多項式為 由此得特征根為 對求解矩陣方程得對

9、應(yīng)特征向量為 對求解矩陣方程得對應(yīng)特征向量為.令則16.設(shè)矩陣已知線性方程組有解但不唯一,試求(1)的值; (2)正交矩陣,使得為對角矩陣.解: (1) 對線性方程組的增廣矩陣施行初等行變換:因為線性方程組有解但不唯一,所以故(2)由(1)有 由 得矩陣的特征值為 對應(yīng)的特征向量為 將單位化得 令, 則有17.設(shè)三階矩陣的三個特征值為,對應(yīng)特征向量依次為.(1) 將用向量組線性表示;(2) 求.解: (1)令對只施行初等行變換得 所以 (2) 由得 又由得 所以 18.設(shè)有n個特征值計算解: 由題意知存在可逆矩陣,使得 故 19.設(shè)三階實對稱矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量為求.解: 設(shè)對應(yīng)的特征向量為.由屬于不同特征值的特征向量正交得 解方程得對應(yīng)的特征向量為 令則 所以 四.證明題四.證明題1.設(shè)為n階矩陣,為的兩個不同的特征值,分別是矩陣屬于的特征向量,證明不是的特征向量.證明:假設(shè)是的屬于特征值的特征向量,由題意得所以,從而 分別是矩陣屬于不同特征值的特征向量,必線性無關(guān),所以 即 矛盾.亦即 不是的特征向量.2.設(shè)方陣滿足條件其中為的轉(zhuǎn)置矩陣,為單位陣,證明