1.2第八節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)ppt課件

1、第九節(jié)第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理二、零點定理與介值定理二、零點定理與介值定理基本要求：基本要求：1. 了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最值定理最值定理;介介值定理值定理;零點定理零點定理.2. 能正確敘述定理得條件、結(jié)論能正確敘述定理得條件、結(jié)論, 了解其幾何意義了解其幾何意義. 3. 能正確運用定理作一些不太復(fù)雜的證明題能正確運用定理作一些不太復(fù)雜的證明題. 一、最大值和最小值定理一、最大值和最小值定理定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 定義在區(qū)間定義在區(qū)間I內(nèi)上內(nèi)上, 假設(shè)假設(shè) , I, 對對xI

2、 有：有： f(x) f( ), f(x) f(), 則稱則稱 f(x)在區(qū)間在區(qū)間 I 上的最大值上的最大值 f( ), 最小值最小值 f().記為：記為： )( f)(maxxfIx )( , f )(minxfIx 例如例如:, 2max y,sin1xy ,2 , 0上上在在 ; 0min y定理定理1(最值定理最值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界并一定有最大值和最小值上有界并一定有最大值和最小值.abxyo)(xfy , ,)(baCxf , ,)(baBxf . )()(min),()(max, fxffxfbabaxbax 使使得得且且 注意

3、注意 若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, ,或區(qū)間內(nèi)有間斷點或區(qū)間內(nèi)有間斷點, , 定定理結(jié)論不一定成立理結(jié)論不一定成立. .例如例如 )1,0(, xxy在在(0,1)內(nèi)無最大值和最小值內(nèi)無最大值和最小值. xoy11 21,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122又如又如在在0,2內(nèi)無最大值和最小值內(nèi)無最大值和最小值. 二、零點定理與介值定理二、零點定理與介值定理.)(, 0)(000的零點的零點稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使若若xfxxxfx 定理定理2(零點定理零點定理) 若若f(x)Ca,b, 且且 f(a)與與 f(b)異號異號(即即 f(a) f(b)0), 則至少存在一點則至少存

4、在一點 (a,b) 使使 f( )=0.ab3 2 1 幾何解釋幾何解釋:.,)(軸至少有一個交點軸至少有一個交點線弧與線弧與則曲則曲軸的不同側(cè)軸的不同側(cè)端點位于端點位于的兩個的兩個連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧xxxfy xyo)(xfy 注意注意 1.1.若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, , 定理不一定成定理不一定成立立; ;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點若區(qū)間內(nèi)有間斷點, 定理不一定成立定理不一定成立.一個主要應(yīng)用：證明方程根的存在性或者證明函數(shù)一個主要應(yīng)用：證明方程根的存在性或者證明函數(shù)零點的存在性零點的存在性.例例1 1.)1 , 0(01423至少有一根至少有一根內(nèi)內(nèi)在在證明方程證明方程 xx證證, 1

5、4)(23 xxxf令令, 1 , 0)(Cxf 則則, 01)0( f又又, 02)1( f由零點定理由零點定理,使使),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(01423 內(nèi)至少有一根內(nèi)至少有一根在在方程方程 xx幾何解釋幾何解釋:Mf(b) f(a)mab1 2 3 2x1xxyo)(xfy .)(一個交點一個交點至少有至少有水平直線水平直線與與連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 yxfy定理定理3(介值定理介值定理) 假設(shè)假設(shè) f(x)Ca,b, 且且 f(a) f(b),則對介于則對介于 f(a)與與 f(b)之間的任意一個實數(shù)之間的任意一個實數(shù) , 至少至少存在一點存在一

6、點 (a,b) 使使 f() = .推論推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值 M M 與最小值與最小值 m m 之間的任何值之間的任何值. .例例2 2.)(),(.)(,)(,)( fbabbfaafbaxf使得使得證明證明且且上連續(xù)上連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)證證,)()(xxfxF 令令, ,)(baCxF 則則aafaF )()(而而, 0 由零點定理由零點定理,使使至至少少),(ba , 0)()( fFbbfbF )()(, 0 .)( f即即.)()(稱稱為為輔輔助助函函數(shù)數(shù)證證明明中中引引入入的的函函數(shù)數(shù)xxfxF 設(shè)輔助函數(shù)是微積分

7、證明中常用到的技巧之一設(shè)輔助函數(shù)是微積分證明中常用到的技巧之一.例例3 3.)3 , 2(, )1 , 0( , )2, 3(0263內(nèi)內(nèi)各各有有一一個個實實根根在在方方程程證證明明 xx證證,26)(3 xxxf令令, 3 , 21 , 02, 3)( Cxf則則, 06)2(, 07)3( ff而而由零點定理由零點定理,使使至至少少),3 , 2(),1 , 0(),2, 3(321 ),3 , 2 , 1( , 0)( ifi , 03)1(, 02)0( ff, 011)3(, 02)2( ff即方程至少有三個實根即方程至少有三個實根1, 2, 3.又又方程為三次方程方程為三次方程,

8、至多只有三個實根至多只有三個實根. 方程只有三個實根方程只有三個實根.命題得證命題得證.例例4 4 證明：實系數(shù)的奇次代數(shù)方程至少有一實根證明：實系數(shù)的奇次代數(shù)方程至少有一實根. . 證證)( ,0)(111為為奇奇數(shù)數(shù)naxaxaxxfnnnn , ),()( Cxf則則)(limxfx ,0)(, 011 xfx使使得得設(shè)實系數(shù)的奇次代數(shù)方程為設(shè)實系數(shù)的奇次代數(shù)方程為, )(limxfx ,0)(, 022 xfx使使得得, , ,)(21xxCxf 則則,0)()(21 xfxf且且由零點定理由零點定理,使使至至少少),(210 xxx , 0)(0 xf即方程至少有一個實根即方程至少有

9、一個實根 x0 .三、小結(jié)三、小結(jié)三個定理三個定理最值定理最值定理;介值定理介值定理;零點定理零點定理.設(shè)設(shè) f(x) f(x) C a,b, C a,b, 那么那么: :1. f(x)在在a,b上有界上有界.2. f(x)在在a,b上達到最大值與最小值上達到最大值與最小值.3. f(x)在在a,b上可取最大與最小值之間的任何值上可取最大與最小值之間的任何值.4. 假設(shè)假設(shè) f(a) f(b)0 , 則至少存在則至少存在 (a,b) , 使使 f( )=0.解題思路解題思路1.直接法直接法2.輔助函數(shù)法輔助函數(shù)法思考題思考題下述命題是否正確？下述命題是否正確？如如果果)(xf在在,ba上上有有定定義義, 在在),(b