高中數(shù)學(xué)解題方法系列：解三角形的幾種入手策略

1、高中數(shù)學(xué)解題方法系列：解三角形的幾種入手策略解三角形知識一直是高考?？伎键c，雖然這一塊兒只要運用公式、正弦定理與余弦定理便能解決很多問題，但是如何針對試題，靈活、準(zhǔn)確、快速地選定相關(guān)定理去入手解題，則 是同學(xué)們很難把握的。本文結(jié)合具體題目，初步探尋一些入手策略，期望對同學(xué)們有所幫助。上二士二二為【正弦定理公式 的/ 皿占 mC ；cos A = COS = cos C =【余弦定理公式】2左；2芯；2 ab如果將公式、正弦定理、余弦定理看成是幾個“方程”的話，那么解三角形的實質(zhì)就是把 題目中所給的已知條件按方程的思想進(jìn)行處理，解題時根據(jù)已知量與所求量， 合理選擇一個比較容易解的方程(公式、正弦

2、定理、余弦定理)，從而使同學(xué)們?nèi)胧秩菀?，解題簡潔。一、直接運用公式、正弦定理、余弦定理(1)三角公式在中，已知兩角乩 F的三角函數(shù)值，求第三個角口； 口存在ccmA+cos£>Oo證 明 ：° 有 解+ 有 解=0<開=0 <A<7T-B f 燈=玩一5)工城田>0即，要判斷C是否有解，只需cosX+cos£>0o(2)正弦定理在山中，已知兩角和任意一邊，解三角形；在&中，已知兩邊和其中一邊對角，解三角形；(3)余弦定理在中，已知三邊，解三角形；在中，已知兩邊和他們的夾角，解三角形。直接運用正弦定理、余弦定理的上述情況，

3、是我們常見、常講、常練的，因此，在這里 就不加贅述，同學(xué)們可以自己從教材中找一些題目看一看！二、間接運用公式、正弦定理、余弦定理(1)齊次式條件(邊或角的正弦)若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式，可以根據(jù)角的異同選用公式弦切互化或正弦定理邊角互化；有些題中沒有明顯的齊次式，但經(jīng)過變形得到齊次式的依然適用。1.相同角齊次式條件的弦切互化例在AASC中，若汕月-五乂二口，3cg門二。，求e。解析無論是條件中的3g朗=0,還是£及*8-£由月匕必月一2co9I二口都是關(guān) 于一個角的齊次式。汕出-無。皿=0是關(guān)于丹的一次齊次式；由3-2比口力-2四"二0 是關(guān)

4、于不的二次齊次式。因此，我們將弦化切，再利用三角公式求解。sin 工一 3cq$ H = 0 = sin A = 3匚 n= tan A =：由cos A；4 nn / 廣、 sin*3-sin 3cos3-2863 4Gm 5 - sm B cos B- 2cos B= 0 = 0由1sm1 5 - sin BcoiB- 2 oos7 Bsin: 5 sin -2 c(>s1 B 小加”百十匚口屋B；:=0=>sin B+亡白£ Btan1.6-ran 5-2 r t n nr _,=>=Q 4 tan B tan B- 2=0 =>tan 8 = 1tan

5、 1 + 1或2 ；tan C/+£+C=tt,且二一tan lX + B)=tan + tan. B1 - tan j4 tan B。代值可得:?4?tanC = -= 1=>C =將苗義二2時，一工3當(dāng)t工一七=二tan (7 二一tan"-1 時，3-1>3x(-1)2 (舍去)。2.不同角（正弦）齊次式條件的邊角互化例在©C中，若22+也？"抽用地S = sn?C ,且就=4 ,求AABD的面積?！窘馕觥織l件sg'A+f,月一如1S=sm'C是關(guān)于不同角正弦的二次齊次式。因此，我們利用正弦定理將角化為邊，然后根據(jù)邊的關(guān)

6、系利用余弦定理求解。由mF斗劍”血上的月=物七= 1+ 她=e'=力+/9 =岫.顯然這個形式符合余弦定理的公式，因此，可得c 白,ah1COG C =23b2ab2又因為S”friOLn匚 sm j!二一名白 £m B 二ah sin C 2223.不同邊齊次式條件的邊角互化【例】aj3r的內(nèi)角a & e的對邊分別為&氏j已知工一c=go* ,口十匕=/箔, 求D?！窘馕觥織l件空十二=抱1是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此，我們利用正弦定理將邊化為角，然后由工-C = 90°，5+3 + C=180Q將不同角轉(zhuǎn)化為同角利用化一公式求解。7TTT廠 .

7、r/ = ? + O B = -2C由厘+ c =金 + min C = J2$in S ,又 2,2，可得：sin + C +sin C = VFsin f-2C => cosC + sin C= a?2 cos 2C之 ，12 J,運用化一公式j(luò)2cosfc4-%72coE2C=>2C, = C+- =C = 15。得4)4。4.邊角混合齊次式條件的邊角互化邊角混合一一邊為齊次式一 ,3d cos2r £>CO£j4 = C【例】1ABe的內(nèi)角A艮C的對邊分別為 向沃二，且5 ,求tan j4tan J? on ,3a cos? = c【解析】條件&#

8、167;是邊角混合一一關(guān)于不同邊的一次齊次式，由于所求為切的值，所以將邊化為角，然后將弦化為切求解。33acos£ cos >3 = c X>sin j4cos 5 sni 5 cos = _sin C_.由55 又5+3+C=丹3333sin Acos£ sin B cos= sin C = sin (/ + S)= sm AcosB 4- cos 月sin B55$5，則3N28sin sin 力心。呂& = coslsin R + cos j4sui £ =sin= cos jlsin B5555tan A .=>tan4= 4ta

9、n B=4tan B邊角混合一一角（正弦）為齊次式【例】ABC的內(nèi)角A反（7的對邊分別為“反亡，且占一足二1sin 月4 53n B -【解析】條件沏月+血=（28-匯）沏,是邊角混合角（正弦）為不同角的一次 齊次式。因此，我們將角的正弦化為邊，然后根據(jù)等式形式利用余弦定理求解。由而£+而5 =（磨t）而C3+a=（岳-4,由于f我們可以得到:,+4泅一名）二（我5一仆 =一""三,顯然這個形式符合余弦定理公式,642bc 0C6S A =-=因此，可得雙 次 2。從而得出乂 = 45口邊角混合一一邊、角（正弦）都為齊次式【例】AJ3C的內(nèi)角4氏C的對邊分別為&a

10、mp;&, r ,且泰力二修田由2?+低制血C,求工后以7 /兒 %£依且二（ +c出1月斗（在 +必如C 日華2、口人華 一,/4、【解析】條件''''是邊角混合邊、角（正弦）各為 一次齊次式。因此，我們可以隨意邊角互化，但是一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。加曲j-（26 ¥c） sin B+佐 +）sinC =>2rf =儂卜或+%.加=>占* +?*-/= becos A =顯然這個形式符合余弦定理公式，因此，可得二一 工工5.非三角形內(nèi)角正弦但可化為角（正弦）齊次式【例】AJBC的內(nèi)角4我C的對邊分別為占員匕且22B + 3

11、方+ co-U）=1求證：4刀C的三邊成等比數(shù)歹上【解析】條件匚。£284。£* + °。£.一燈）二1顯然不是齊次式，并且角也不全是三角形的內(nèi)角。因此，首先得把這些角轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蔚膬?nèi)角，然后再往齊次式化利用正弦定理求解。由州+*8+皿5-6=1 = 1-2刖$ + 63+必機。9+的衛(wèi)面仃=1 ,只要將msg變換為-g£（W+t）,題中的條件就變成了關(guān)于不同內(nèi)角正弦的二次齊次式:12sirf 5coscosC*+sinj4sin.C=l=1 一2§in'4co號Csin總學(xué)in。）+ sinjlsinC=l=2sirf B=

12、 2sim4與inC=§irf B= $in/§inCn斤=ac（2）不同邊的平方關(guān)系（余弦定理）若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系，可以選用余弦定理邊角互化, 在上面的一些情況中，有利用正弦定理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系，可以作為參考例題。【例】上方C的內(nèi)角A &仃的對邊分別為晶氏匚，且 4，求工s皿=1&十亡*一，）【解析】條件4含有不同邊的平方關(guān)系，形式顯然符合余弦定理公S., = fe1療）=工品即 A X 2bccos AW = 1 二 /二45。由 424o（3）存在消不掉的正弦、余弦值（兩定理同時使用，邊角互化）若題目條件中的條件不是上述情況，且始終含有消不去的內(nèi)角正弦、余弦，可以同時使用正弦、余弦定理邊角互化，要么都化為角（正弦、余弦），要么都化為邊?！纠吭谥?，已知,且4= 2CM = 4避8 ,求心?！窘?析】 由 題 目 中 條 件 H 士 2C 可 得：二二上】二二5七二亡:：'：二二上二三二二?接下來再利用余弦定理可得TsC = 2匚