19考研數(shù)一真題和答案

1、2018年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一考研真題與全面解析、選擇題：18小題，每小題 4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙.指定位置上1.下列函數(shù)中在 x 0處不可導的是（(A f ( x) x sin x(C) f ( x) cos x2.過點(1,0,0),(0,1,0)(B f (x)(D f (x)，且與曲面(A)z0 與 x y z 1(C x3.n 2n 33(1) (2n1)!sin1cos1x siny 相切的平面為（(b z 0 與 2x 2 y(DXy與2x2yB 2sin1D 2sin1cos13cos1i 十

2、2n + -r 1 xJ ILf+ J4.(1x)叮,2-J n 7設(shè)M2dxNdx,22K(1cosx)dx，則(1xAX 2e22 C 2sin12cos1(A M N K(B)M K N011 5.下列矩陣中陣，與矩陣相似的是（）.專業(yè)資料1 1 1101- 1 11 110 11 0 110 1 00 1 0 ( A(B)( C（D0 0 1001 0 01- 0_ 015.設(shè)A, B是n階矩陣，記r （ X ）為矩陣X的秩，（X，丫）表示分塊矩陣,則（)(Ar ( A, AB)r (A)（B r ( A, BA)r (A)TT(C r ( A, B)max r ( A), r (B)

3、（D (,)( ,) +1-fr A E!rA B26.設(shè)隨機變量X的概率密度f （x）滿足f (1x)f (1x)，且0 f (x)dx06則 P X0()（A）0.2（ B）0.3M a(C 0.4(D 0.57.設(shè)總體X服從正態(tài)分布M =2P H PN(5),X1, X 2,X n是來自總體X的簡單隨機樣本，據(jù)此樣本檢測，假設(shè)Ho :0 ,H 1:0 ,則()a=（A）如果在檢驗水平工二0.05下拒絕H，那么在檢驗水平0.01下必拒絕H0（B）如果在檢驗水平j(luò)二0.05下拒絕H，那么在檢驗水平00.01下必接受H（C）如果在檢驗水平:一.0.05下接受H，那么在檢驗水平00.01下必拒絕

4、H0;（D如果在檢驗水平0.05下接受H，那么在檢驗水平0.01下必接受H。000指定位置上+1 tan1x sin kx8.lime若x 01 tanx則k0=x 10.設(shè)函數(shù)f ( x)具有二階連續(xù)導數(shù)，若曲線yf （x）過點（0,0），且與2P轉(zhuǎn)V=1(1,2)處相切，求0 xf ( x)dxTT =、填空題： 9 14小題，每小題 4分，共24分，請將答案寫在答題.紙.y 在點11、設(shè)函數(shù)F(x, y, z)+ xy iyz jzxk ，則 rotF (1,1,0)12.設(shè)L是曲面222 1a axyz與平面xyz0的交線，則13.設(shè)二階矩陣A有兩個不同的特征值，xyds L1,2是A

5、的線性無關(guān)的特征向量，且滿.專業(yè)資料kkk2A(d +ct)“ +a ,則 a |_。1 2 1 2;iJ i9.設(shè)隨機事件A與B相互獨立，A與 C相互獨立，2 | u = =_1P( AC AB C)，則P(C )4三、解答題：15 23小題，共94分.請將解答寫在答題.紙.指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.fJ -V10.（本題滿分 10分）求不定積分eedx . 2x arctanx12 x arctanx111.（本題滿分10分）將長為2m的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個圖形的面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。12.=ff y（本題滿分+

6、+10分）設(shè)+是曲2 2面x13y3z的前側(cè)，計算曲面積分33Ixdydz(y2) dzdxz dxdy .13.（本題滿分10分）已知微分方程yyf (x)，其中f （x）是R上的連續(xù)函數(shù)。(I)若 f (x)x ，求方程的通解；（II)若 f (x)是周期為T的函數(shù),證明：方程存在+ =-=III唯一的以T為周期的解。 14.（本題滿分10分）設(shè)數(shù)列xn滿足xxX10,x e n 1ne n 1( n 1,2,3,)。證明xn收斂，并求limx 。nn15.（本題滿分 11分）設(shè)二次型.專業(yè)資料14.【答案】（D）222f (X - x +x )+)+/ +ax )x , x ,x ) 一

7、(xx(x，其中a是參數(shù)。1 231 232313（I)f (x,x ,x ）0的解；（ii）求尺f (x5x ,x )的規(guī)范型。求123J*123=12a16.（本題滿分ii分)設(shè)a是常數(shù)，且矩陣IJA130可經(jīng)過初等列變換化為矩陣=27aIta2）B。求a ；（I）求滿足APB的可逆矩陣P？o i11 1 1=一 =-17.（本題滿分11分）設(shè)隨機變量 X,丫 相互獨立，X的概率分布為X=1PX 1PX12丫服從參數(shù)為的泊松分布。令ZXY,()求 Cov(X ,Z）； （i）求 Z的概率分布。JJ _o o -0C 先利用對稱性化簡能求出積分最好，不能求出積分則最簡化積分。-L.-In_

8、J 7T+422(1X)1 x2x72xM2+ J dx2_ LI 二 dx(2)dx2221X1 x1x22兀托2w-JI二 -匚*6 K(1cosx)dx1 dx，f2V _xJ二令()15( ,)fxexx，則 f ( x)e1,當 x(,0)時，+- 2f (X）0，當(0,)rx時，f (x)0，故對x(,)，有 f (x)f (0)0，因22 2=/v =而1 x11x，故KMN。應選（(C).xNdx1dxe22xe22幾一22.【答案】（A）九一= 11 0【解析】記矩陣 H1，則秩r（ H ）3,特征值H 的秩相等、跡相等、行列式相等,（三重）。觀察 A, B,C, D 四個

9、選項，它們與矩陣 特征值也相等，進一步分析可得：r （ Er (EB)1r (EC )1, r (ED）1。如果矩陣A與矩陣X相似，則必有kEA與kEX相似（k為任意常數(shù)），從而r （kEA)r (kEX ）,故選（A ,.專業(yè)資料kkk由于uu0.01 下接受域的區(qū)間包含了0.05下接受域的區(qū)間，故23.【答案】（A ）【解析】把矩陣 A, AB 按列分塊，記1，2川AB則向量組1,2，屮n可以由向量組與2, |卄 n線性表出,從而汽1 ,III-IIP等價于是r ( A, AB) r (A），故選（24.【答案】（A）【解析】由f （1X）f (1x）可知概率密度函數(shù)f （x）關(guān)于x1對稱

10、,結(jié)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)f (x)dx1及已知條件x)dx25.【答案】【解析】統(tǒng)計量x dxx dxdx0,|2|0.6 ,容易得出，故選（A、0.2（D）a /正確解答該題，應深刻理解“檢驗水平”(0,1)在檢驗水平解得接受域的區(qū)間為0.25在檢驗水平0.01下接受域的區(qū)間為的含義。0.05下接受域為15,X u0.025(X0.5X u)0.0050.250.005選（D）26.【答案】2.專業(yè)資料【解析】1 tanx t i +=T斥e lim 1 /12tanxT +tanx11 4TI +1limlnlimln 1sinkxx 0x 0sinkx1tanxsinkx41 tanx=

11、 = =-ee11 tanxx 0limffJe=(ek-fx sin1 tan0 二 kxx1 2tan x =227.【答案】2(ln 21)【解析】由已知條件可得:2, f (1) 2ln 2,1故 o xf ( x)dxf(0)0, f (1)2(ln 21)28.【答案】（1,0,1)ij【解析】(,) jrotFx y zixyxyyz zx故 rotF (1,1,0)(1,0,1)。+ + + + +29.【答案】3【解析】先求交線Lr= r+=lrifJ =-2 2 2 1xyz，由于曲面方程與平面方程中的x, y,z滿足輪xyz 0221y z2( xyyz zx)0xy y

12、z zx211 1xyds(xyyz zx)dsds2oL3 L6 l63L上x, y, z具有輪換對稱性。又知換對稱性，因此在曲線2 2（X y Z） X由輪換對稱性可得30.【答案】 1.專業(yè)資料P( A) P(B)P(C ) P( ABC)P( A)P (B) P(C )【解析】設(shè)1,2對應的特征值分別是1, 2,貝U2 a+ a=2+C2=Xa2 + Z a 2 = a +otA ()AA1 - 212 “1 1 2-2 1_ 2= A aa=a0(/_=扎2222( 1)(1)-0，由于1 11匕 _三線性無關(guān)，故112 11 122從而A的兩個不同的特征值為1,1，于是A111。1

13、31.【答案】1 Iuu4Uu+PZC( ABC)P( ABCAC)【解析】P( AC AB C)+P( ABC)一 P( AB)P(C)亠 P( ABCfP(A)P(C )1P( ABC) P( AC)2211P(C)2*/t*/JV - JV()32.【解析】2xxe arctane arctanee arctane arctanx11dx a21x1e121/x1e21x1ee71d21xd2xe arctan(e1)d1ex1)22221112 xxx3xe arctane1(e1)e1 C2621S。16.【答案】面積之和存在最小值，min433【解析】設(shè)圓的半徑為 x，正方形的邊長

14、為 y，三角形的邊長為 z，則2 x 4 y 3z 2.專業(yè)資料1三個圖形的面積之和為S( x, y, z)2424-則問題轉(zhuǎn)化為在條件 2 x 4 / 3z + 20, y0,z0下，求三元函數(shù)S( x, y,z)2的最小值”。一4解方程組(2x 4y3z2)由實際問題可知，34y3z最小值一定存在，Smin，得到唯一駐點3 3232321(0)=付+ x+ y+z _-x+ +LXvy12曲面前側(cè)是一個半橢球面，補平面1:x20, yz，取后側(cè)，則+ 3 -HW V+ +11 -rJffy$33Q33Ixdydz (y2)dzdxz dxdxdydz(y2)dzdxz dxdy33.【解析

15、】將空間曲面化成標準形以便確定積分曲面的形狀。11由高斯公式可得xdydz3(y 2)dzdx3z dxd(1 3y2 23z ) dxdydz其中(x, y, z) 0 x2 21 3y 3z ,由“先二后一”法可得.專業(yè)資料1+ 2 J2=1仃+ 22(1 3y3z)dxdydzdx(13y3z )dydzQ021 x 22y z1 _7113Tf 0 J1 +=兀j+ _2viF1 x 21 x+JL31-1-T f213n J242dxd3rrdrrrdxf f+(13+ )_2（一丄 ）J Jv420000乙0241 34xx142dx+ =0124533(14而ddxdydz(y2

16、)dzdx=z dxdy0。故 + I1f45=e+士34.【解析】(I )若 f (x)x，則yyx，由一階線性微分方程通解公式r+tr+(p(x)dxp( x) dx = 一A+ye(q( x)edx C)*+=_1+dxdxx*得(+)i+1 J+yexedxCCex。.+ ,+IP+ l+IFxx(ii )由一階線性微分方程通解公式可得ye ( f ( x)e dxC)，f+ f*xxJJxt由于y（xT )在f (x)e dx中無法表達出來，取丄 y(x)e (f (t)edtC)，+ =0x T于是(xT )t一 y(x T)e +J(f (t方dt_ C)=- j+0章丄-Tx

17、T1W(xT了tteef (t )dte f (t)dtC0Tu tTTx(x T )tuTee f (t)dtef (uT )duC 00e ee f (t )dt0e f (u )du Ce 0若方程存在 唯一的以T為周期的解，則TxxTtue eef (t)dte f (u)00TTtTeef (t )dtCeC0必有y(xT )y( x),即Txxtdu Cee (f (t )e dtC)0.專業(yè)資料由于()e f t dtT1 eTt0() 為一常數(shù)，可知e f t dtT1周期，故微分方程存在唯一的以35.【證明一】因為X10,所以根據(jù)拉格朗日中值定理，存在當且僅當c為周期的解。(

18、0,，使得x 。完全類似，假設(shè)1故數(shù)列設(shè)limn程得，則n(0xn單調(diào)減少且有下界，從而數(shù)列x _A，在等式n唯一解 Alim【證明二】首先證明數(shù)列xn當n 1時,X1根據(jù)題設(shè)=Xn收斂。有下界，即證明Tt0 =e =f (t)dtT1XnXn時，y(x)因此兩邊取極限,1lnAe解方x1x1211xkkkX2ln1假設(shè)當n時,則當n1時,In,其中ex , 可知x 1 In1 0 k根據(jù)數(shù)學歸納法,對任意的再證明數(shù)列xn的單調(diào)性:.專業(yè)資料e1e1e1nnnxxxInxInIn eInnn 1nn-x*xxx ennnnJ*1Jxx（離散函數(shù)連續(xù)化）設(shè)f (x)e1 xe(x0），則當x0時

19、，xxx,x ,x2x(x)x e0單調(diào)遞減， f （x）xf (x)xf (0)0，即e1xe，故 xn 1x.,即數(shù)列的單調(diào)遞減。從而綜上，ae數(shù)列l(wèi)imn36.【解析】InXn1,ln1的單調(diào)遞減且有下界。解方程得在等式唯一解)由f (對上述齊次線性方程組的系數(shù)矩陣作當a 2時，f ( x1+ =由單調(diào)有界收斂原理可知 卡x1n可得xn收斂。ax只有零解：xlim x初等行變換得(0,0,0)當a 2時，A 011,0 0 0Tf (x,x , x)0有非零解：xk(2,1,1), k為任意常數(shù)12312 2 12 2106344(II若)當a2時，X1,x 2 ,x 3不全為0f (x

20、,x , x)為正定二次型，其規(guī)范型為1 23.專業(yè)資料.，則二次型f ( x , x , x ) 恒大于0，即二次型12322 2f ( y , y,y )yyy 。123123當a 2時，(x2(x12 f (x +ax )322x- 12x6x2x x36x x1 21 3二次型對應的實對稱矩陣B120，其特征方程為30 6A 一入一 1=2/* 1 一3=X X一入+2E B九一120(10 18)0/”書 +yfo K =-6 r九=解得特征值157,257,薩0，可知二次型的規(guī)范型為22f (z , z,z )zz 。2211231237.【解析】(I )由于矩陣的初等變換不改變矩

21、陣的秩，故r ( A)對矩陣A, B作初等行變換，得r (B)顯然r (A)12a12a12aA13001a01aTh-27a033a000TJa222，要使r( B)011a 13=B2，必有2 a 0(ii )將矩陣B 按列分塊：=|同系數(shù)的非齊次線性方程組:B (,)，求解矩陣方程 AP B可化為解三個123-*,1,2,3-al1Axj。對下列矩陣施以初等行變換得(A, B)1300110 12 1112721110 00 000.專業(yè)資料.易知，齊次線性方程組方程組的特解分別為:Ax 0的基礎(chǔ)解系為T(3,1,0),2(4,(6,2,1)T,三個非齊次線 性TT1,0),3(4,1,0)636464-k21 ,-k2i +1,= k2+11 12 23310101036k6k6k.二二 1+4卜4+ r豐123 1從而可得可逆矩陣pkkk，其中kk。12 121223因此，三個非齊次線性方程組的通解為123kkk12338.【解析】(I )由X，丫 相互獨立，