經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論

1、第八章 經(jīng)典力學(xué)的哈密頓理論教學(xué)目的和基本要求：理解正則共軛坐標(biāo)的物理意義并掌握如何用正則坐標(biāo)表示體系哈密頓函數(shù)；能熟練應(yīng)用正則方程求解簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題的；了解變分問(wèn)題的歐拉方程；掌握用變分法表示的哈密頓原理并能正確理解哈密頓原理的物理含義；初步掌握正則變換、泊松括號(hào)的物理意義和使用方法。教學(xué)重點(diǎn)：在正確理解正則共軛坐標(biāo)的物理意義的基礎(chǔ)上能熟練應(yīng)用正則方程求解簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：正則共軛坐標(biāo)的意義和哈密頓原理的物理含義。 §8.1 正則共軛坐標(biāo)坐標(biāo)的概念是隨著物理學(xué)的發(fā)展而發(fā)展，我們?cè)诒竟?jié)將要討論一種全新的坐標(biāo)正則共軛坐標(biāo)。一：坐標(biāo)的發(fā)展歷史.1.笛卡兒直角坐標(biāo)。為了研究物體在三

2、維空間的位置、速度和加速度而引入的坐標(biāo)。其用三個(gè)變量來(lái)描述物體在空間任一點(diǎn)的位置，坐標(biāo)軸的方向不隨物體的運(yùn)動(dòng)而改變，用來(lái)表示三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量。2.極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)。用兩個(gè)或三個(gè)變量來(lái)反映物體在平面或空間的位置。在處理轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題和中心勢(shì)場(chǎng)的力學(xué)問(wèn)題時(shí)比直角坐標(biāo)更優(yōu)越。其代表坐標(biāo)軸方向的單位矢量為變矢量，利用這些矢量可以很方便地表達(dá)上述力學(xué)問(wèn)題的等物理量。從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)、柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)等曲線坐標(biāo)是坐標(biāo)歷史上的第一次飛躍。 另外曲線坐標(biāo)還包括自然坐標(biāo)，利用它處理運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知的物體的力學(xué)問(wèn)題更為方便。3.廣義坐標(biāo)。反映力學(xué)體系在空間位形的獨(dú)立變量被稱為廣義坐標(biāo)。它是拉格朗日方程建立的基

3、礎(chǔ)和優(yōu)越性所在，也是分析力學(xué)的基礎(chǔ)。廣義坐標(biāo)不僅拓寬了坐標(biāo)的概念，而且由它所列出的動(dòng)力學(xué)方程不含非獨(dú)立變量，使方程的求解過(guò)程得到了簡(jiǎn)化。另外我們?cè)谘芯矿w系的微振動(dòng)時(shí)引入了簡(jiǎn)正坐標(biāo)，使微振動(dòng)方程的求解過(guò)程非常簡(jiǎn)單，這是坐標(biāo)概念的第二次飛躍。 下面我們將介紹的正則共軛坐標(biāo)是坐標(biāo)概念的第三次飛躍。二：正則共軛坐標(biāo)1.拉格朗日函數(shù)L的不確定性 如果我們定義滿足拉格朗日方程的物理量為拉格朗日函數(shù)，即滿足拉格朗日方程。那么可證明也必然滿足拉格朗日方程。證明：為了簡(jiǎn)單起見我們假設(shè)廣義坐標(biāo)只有一個(gè)，即s=1，因，。將L2代入拉格朗日方程左邊可得，即L2與同樣L1滿足拉格朗日方程。 因此可以看出雖然L2L1，但

4、二著均能滿足拉格朗日方程且得到的微分方程是完全一致。所以說(shuō)，在經(jīng)典力學(xué)中一個(gè)力學(xué)體系的L并不是唯一的，它們之間可以相差一項(xiàng)。以前我們定義L=T-V只是這種情況較簡(jiǎn)單而已，也就是說(shuō)L具有不確定性，2.廣義動(dòng)量的不確定性 如果我們定義L=T-V，那么由得到的與將有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。但如果我們定義滿足拉格朗日方程的L均為拉格朗日函數(shù)，那么由得到的與將無(wú)對(duì)應(yīng)關(guān)系。原因就是附加項(xiàng)中同樣含有項(xiàng)，所以可以說(shuō)由此得到的與是相互獨(dú)立的。比較的這兩種定義，顯然后者更具有理論和實(shí)用價(jià)值。3.正則共軛坐標(biāo) 在保持廣義坐標(biāo)的定義和廣義動(dòng)量的定義不變的基礎(chǔ)上，對(duì)也不做任何限制，可以使與保持相互獨(dú)立，因而可以以二者為坐標(biāo)來(lái)描

5、述力學(xué)體系的狀態(tài)，這樣的一組坐標(biāo)就被稱為正則共軛坐標(biāo)。 用這種坐標(biāo)為基礎(chǔ)在分析力學(xué)中開拓了一片嶄新的領(lǐng)域哈密頓正則方程和哈密頓原理等。這些結(jié)論最終又推廣到了物理學(xué)別的領(lǐng)域并取得了很大的成就。三：本節(jié)重點(diǎn)：正則共軛坐標(biāo)（，）的物理意義。§8.2 哈密頓函數(shù)和正則方程哈密頓正則方程的建立可以有多種途徑，本節(jié)我們準(zhǔn)備從拉格朗日方程入手建立它。一：哈密頓函數(shù)H.1. H的定義：用2S個(gè)變量表示的廣義能量被稱為哈密頓函數(shù)。下面我們來(lái)證明這種表示法是可行的。證明：由可得，另由拉格朗日方程得。所以的上述表達(dá)式可改寫為： 另外 由可得 （2.1）因廣義能量，所以上式實(shí)際上可寫成。在上述的表達(dá)式可見其

6、中有共3s變量，但獨(dú)立的變量只有2s個(gè)。由（2.1）式可以看出可以選用2S個(gè)做為獨(dú)立變量將H寫成。原式中的可以由中解出，代回中即可得到，其中表示這些量是（）的函數(shù)。2. 哈密頓函數(shù)H的常用求法.（1）由定義直接求出。在確定體系的廣義坐標(biāo)后，先求出，接著由中解出，代入中消去可得。將、代入H的定義式最終可得。（2）由能量守恒求出。當(dāng)體系所受的約束為穩(wěn)定約束時(shí)，廣義能量H就為體系的能量E（見§2.7對(duì)稱性和守恒定律），因此可利用直接求出哈密頓函數(shù)H。但注意式中的應(yīng)為正則共軛坐標(biāo)（，）的函數(shù)，即。的表示方法與方法（1）類似，即先求出，再求出，解出后代入、中消去就可得、。二：哈密頓正則方程1.

7、正則方程由求H的微分可得 （2.4）比較（2.1）、（2.4）兩式可見 （2.5） （2.5）式即為哈密頓正則方程，簡(jiǎn)稱哈密頓方程或正則方程。2.正則方程和拉格朗日方程的比較。正則方程和拉格朗日方程一樣都是力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程，不同之處是前者是2s個(gè)一階微分方程而后者是s個(gè)二階微分方程，如果單從數(shù)學(xué)上講二者是等價(jià)的，但顯然求解2s個(gè)一階微分方程比求解s個(gè)二階微分方程更簡(jiǎn)單一些。另外由于前者對(duì)于自變量而言形式是對(duì)稱的，也就是形式上更優(yōu)美一些，所以被稱為正則方程，也被稱為正則變量。3.H守恒的條件 由，將正則方程代入可得。另外因，所以有。從上式可以看出當(dāng)即H或L中不含時(shí)間t時(shí)，有即，這一點(diǎn)正好與&#

8、167;2.7節(jié)的結(jié)論一致。4.正則方程的推廣實(shí)際上L、H還可能含有別的各種參數(shù)，這些參數(shù)可能是力學(xué)體系本身的特性，也可能是作用在體系上的外場(chǎng)的特性。設(shè)為這些參數(shù)中的某一個(gè)如E、B或g等，則有，將其代入可得， 另一方面有，將正則方程代入可得 對(duì)比可得，由此可見只是該式的一個(gè)特例而已。5.非保守體系的正則方程 如果力學(xué)體系除了保守力外，還有廣義非保守力，則由，類似于以上推導(dǎo)可得出：。三：例題（從略） 從以上兩例可看出，正則方程和拉格朗日方程、牛頓方程一樣均能描述力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)并給出正確的動(dòng)力學(xué)方程。只要廣義坐標(biāo)選取的一樣，由三個(gè)方程得出的最終結(jié)果必然一致，但正則方程的優(yōu)越性在這樣的例題中確實(shí)

9、未能體現(xiàn)。四：解題步驟1.選取合適的廣義坐標(biāo)，確定對(duì)應(yīng)的，可得正則變量（，）。2.求出及，并得到。3.由得到。4. 由或，將代入其中可得。5.代入正則方程可得2s個(gè)一階微分方程。6.聯(lián)立以上方程消去可得動(dòng)力學(xué)方程。五：本節(jié)重點(diǎn)：掌握正則方程的物理意義及應(yīng)用正則方程的解題步驟。§8.3 變分問(wèn)題的歐拉方程一：力學(xué)第一性原理或最高原理 在力學(xué)中能起“幾何公理”作用并可由它推導(dǎo)出全部力學(xué)定律的無(wú)需證明的原理被稱為力學(xué)第一性原理或最高原理。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的第一性原理除了牛頓第二定律外還有虛功原理、達(dá)朗貝爾方程和正則方程。我們習(xí)慣于將牛頓第二定律作為第一性原理并由此來(lái)推導(dǎo)全部力學(xué)定律，但要強(qiáng)調(diào)

10、這并不是唯一的和最佳的選擇。下面我們將介紹經(jīng)典力學(xué)的另一最高原理哈密頓最小作用原理，它的優(yōu)點(diǎn)是可以將其結(jié)論很方便地推廣到物理學(xué)別的領(lǐng)域。在介紹之前我們先來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)上的變分問(wèn)題。二：變分法1.泛函數(shù)。在數(shù)學(xué)上，變分法是為了解決一個(gè)實(shí)際的力學(xué)問(wèn)題最速落徑問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的。具體問(wèn)題如圖8.1，在鉛直平面內(nèi)所有連接A、B的曲線中，找出一條曲線能使的質(zhì)點(diǎn)可以最短的時(shí)間從A點(diǎn)無(wú)摩擦地沿此曲線下滑到B點(diǎn)。很顯然這是一個(gè)求時(shí)間t的極值問(wèn)題，但t是由從A至B的曲線的函數(shù)形式?jīng)Q定的，這就是數(shù)學(xué)上求泛函數(shù)的問(wèn)題。 定義：設(shè)為x的函數(shù)，如果表示J的值是由的具體形式?jīng)Q定的，那么就稱為的泛函數(shù)。注意的變化不是由自變量x的

11、變化引起的，這一點(diǎn)與復(fù)合函數(shù)是不同的。2.泛函數(shù)的極值 首先我們繼續(xù)分析最速落徑的問(wèn)題，由，另由。聯(lián)立兩式可得，即有 （3.1） 由（3.1）式可看出，下落時(shí)間T與的具體形式密切相關(guān)，即T是的一個(gè)泛函數(shù)，T取極小值時(shí)的就是所求的最速落徑。 在數(shù)學(xué)上可以證明，取極小值的條件為，符號(hào)為變分符號(hào)，下面詳細(xì)討論它。3.變分符號(hào)及其運(yùn)算規(guī)則（1）變分符號(hào)：變分符號(hào)與微分符號(hào)d的運(yùn)算規(guī)則極為相似。表示由于的函數(shù)形式發(fā)生改變而自變量x不變時(shí)y的值所發(fā)生的微小變化，而是由于自變量x發(fā)生了的變化時(shí)y的值所發(fā)生的微小變化。當(dāng)二者作用在自變量x上時(shí)而一般，除此以外二者的運(yùn)算規(guī)則可以看成完全一致。實(shí)際上我們?cè)谟懻撎撐?/p>

12、移時(shí)已經(jīng)接觸過(guò)該符號(hào)，只是當(dāng)時(shí)的自變量x為時(shí)間t，所以有。（2）運(yùn)算規(guī)則，這里只證明。 如右圖曲線APQB表示某函數(shù)，曲線表示另一函數(shù)。設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)P點(diǎn)變化到Q點(diǎn)時(shí)，因的形式未變所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)P點(diǎn)變化到點(diǎn)時(shí)，因未變而的形式變成了，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為。最后若將點(diǎn)可看成是由點(diǎn)變化而來(lái)，則有；若將點(diǎn)可看成是由Q點(diǎn)變化而來(lái)，則有。因?yàn)橥稽c(diǎn)，所以其坐標(biāo)應(yīng)相等，即。三：歐拉方程 如果，可以證明極值的條件可轉(zhuǎn)化為函數(shù)滿足歐拉方程。1.歐拉方程： 證明：由 因，由而的任意性可得 （3.5）（3.5）式即為歐拉方程，它是泛函數(shù)取極小值時(shí)或者說(shuō)所必須滿足的條件。2.推論：如果滿足歐拉方程可證明必有。 證

13、明：如果函數(shù)中不顯含變量x即，代入可得，即。 如果做以下變換，那么上述推論可表述為：當(dāng)L中不顯含t時(shí)，也就是廣義能量H守恒。四：例題（從略）五：本節(jié)重點(diǎn)：掌握變分符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則及歐拉方程。§8.4 哈密頓原理一：哈密頓原理及其數(shù)學(xué)表達(dá)式 由上節(jié)分析可知，由泛函數(shù)取極值的條件可推導(dǎo)出函數(shù)必然滿足歐拉方程。如果我們對(duì)變量或函數(shù)x,y,f做如下變換：，那么歐拉方程就變?yōu)槲覀兎浅Ｊ煜さ睦窭嗜辗匠?，只是為了?jiǎn)單起見，我們只取體系的自由度s=1而已。因此我們可將這一結(jié)論推廣得到哈密頓原理如下。1.哈密頓原理：在從到的時(shí)間內(nèi)，如果有約束所允許的不同的可能運(yùn)動(dòng)曲線，限制所有曲線的、分別相同，那么各

14、種可能的曲線中由動(dòng)力學(xué)規(guī)律（如拉格朗日方程）所確定的真實(shí)運(yùn)動(dòng)曲線可由泛函數(shù) （4.1）取極值的條件 （4.2）給出，其中S被稱為哈密頓作用量。 上式為單自由度保守體系的哈密頓原理，對(duì)于多自由度非保守體系而言哈密頓原理的表達(dá)式為。2.實(shí)例 如圖8.5所示，質(zhì)點(diǎn)m被約束在的直線上運(yùn)動(dòng)。時(shí)質(zhì)點(diǎn)m從A點(diǎn)自由下落，在到達(dá)B點(diǎn)。設(shè)，那么體系的拉格朗日函數(shù)，哈密頓作用量，可見S與的形式有關(guān)。下面我們可以選幾種來(lái)計(jì)算作用量S，可以證明只有才能使S取極小值。當(dāng)然這不是嚴(yán)格的證明哈密頓原理，只是為了說(shuō)明哈密頓原理的意義而已。 如圖8.6所示取1、2、3、4、5共5種不同的。（1）曲線1真實(shí)運(yùn)動(dòng)：，（2）曲線2全程

15、等速運(yùn)動(dòng)：，（3）曲線3分段等速運(yùn)動(dòng)：，從以速度運(yùn)動(dòng)；，從以速度運(yùn)動(dòng)。計(jì)算可得如果令，。（4）曲線4分段等速運(yùn)動(dòng)：在上例中令，可得，。相當(dāng)于在的表達(dá)式中令，取極值后有。（5）曲線5分段等速運(yùn)動(dòng)：在（3）中令，可得。相當(dāng)于在的表達(dá)式中令，取極值后有。 綜合上述可見，即真實(shí)運(yùn)動(dòng)的作用量S最小。二：哈密頓原理的物理意義及其應(yīng)用 1.物理意義：我們知道力學(xué)體系的真實(shí)運(yùn)動(dòng)是由其動(dòng)力學(xué)方程決定的，而哈密頓原理可以從各種運(yùn)動(dòng)約束所允許的可能運(yùn)動(dòng)中將真實(shí)運(yùn)動(dòng)挑選出來(lái)，這說(shuō)明哈密頓原理本身就是動(dòng)力學(xué)規(guī)律的一種表述形式，因此它也被稱為力學(xué)的第一性原理。實(shí)際上也確實(shí)可以從它出發(fā)推導(dǎo)出牛頓方程和虛功原理等第一性原理。

16、 如上例，為真實(shí)運(yùn)動(dòng)，則有，正好就是牛頓第二定律的表述。2.應(yīng)用：理論上可由哈密頓原理推導(dǎo)出虛功原理、達(dá)朗貝爾方程、正則方程和牛頓第二定律，下面我們就從它出發(fā)來(lái)證明正則方程。證明：在正則方程中，因相互獨(dú)立，因而要在（2s+1）維的空間中討論體系的變化規(guī)律，也就是要在（2s+1）維的空間中做端點(diǎn)A、B固定的等時(shí)變分。為了簡(jiǎn)單起見我們只在圖中畫出了一對(duì)。由，將其代入（4.2）式得 上式的左邊首項(xiàng)可寫成 上式中因，所以將代入可得因相互獨(dú)立，要使上式恒成立只有量個(gè)圓括號(hào)內(nèi)得項(xiàng)恒等于零，于是可得，正好就是正則方程。三：哈密頓原理和最小作用量原理 哈密頓原理又被稱為最小作用量原理，這是因哈密頓斷言真實(shí)運(yùn)動(dòng)

17、會(huì)使或使S取極小值而得名的。從歷史上看，最小作用原理是莫培督于1744年提出的。但其形式及適用條件與哈密頓原理有所不同。莫培督把稱為作用量，他斷言：完整、保守體系在位形空間中確定的始末位置A、B之間的一切可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的作用量W取極小值，即。被稱為莫培督變分符號(hào)，與有所區(qū)別。 1760年拉格朗日證明了上述原理并將其改寫為。后來(lái)雅可比又得到了它的另一種表達(dá)式： 哈密頓原理和莫培督原理的主要區(qū)別有兩處（1）莫培督原理只適用于保守體系，哈密頓原理對(duì)于非保守體系也適用（2）對(duì)保守體系中能量守恒的體系，哈密頓原理比較的是那些始末位置相同、約束所允許的、等時(shí)而不等能的一切運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的S具有極小

18、值。莫培督原理比較的是約束所允許的、始末位置相同的、一切不等時(shí)而等能的可能運(yùn)動(dòng)中，真實(shí)運(yùn)動(dòng)的W具有極小值。（3）莫培督原理的應(yīng)用雖不及哈密頓原理廣，但因式中不含時(shí)間t，所以討論體系的運(yùn)動(dòng)軌道時(shí)比較方便。四：本節(jié)重點(diǎn)：哈密頓原理的表述、數(shù)學(xué)表達(dá)式及簡(jiǎn)單應(yīng)用。§8.5 正則變換一：動(dòng)力學(xué)方程的一般求解法 從以前解動(dòng)力學(xué)方程的步驟來(lái)看，首先都是先列動(dòng)力學(xué)方程然后著手解出這樣一組二階非線性微分方程組，但對(duì)于這樣的方程組并無(wú)一般的通用解法。另外，我們發(fā)現(xiàn)無(wú)論是用牛頓方程還是拉格朗日方程及哈密頓方程，只要廣義坐標(biāo)選取的一致，那么最終得到的微分方程均一樣。而如果選取的廣義坐標(biāo)合適時(shí)，可以使方程的求

19、解非常簡(jiǎn)便。例如在處理中心勢(shì)場(chǎng)和旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)選取極坐標(biāo)就比直角坐標(biāo)要方便的多。所以總結(jié)下來(lái)對(duì)于動(dòng)力學(xué)微分方程還是有以下兩種處理方法。1.消元法：通過(guò)選取合適的坐標(biāo)，使每個(gè)方程只含一個(gè)變量，這樣可方便地解出微分方程。如處理體系的微振動(dòng)時(shí)簡(jiǎn)正坐標(biāo)的選取。2.降次法：選取正則坐標(biāo)使微分方程從二階降為了一階，或者選取循環(huán)坐標(biāo)利用守恒定律來(lái)降次。 下面我們就討論如何選取合適的坐標(biāo)來(lái)求解正則方程。二：正則變換1.正則變換的定義。對(duì)于一組廣義坐標(biāo)（），如果將其變?yōu)榱硪唤M廣義坐標(biāo)，那么拉格朗日方程的形式不會(huì)有變化。但這樣的變換關(guān)系并不能確定和的變換關(guān)系。對(duì)于正則變量而言，因二者相互獨(dú)立，要使B必須有以下關(guān)系 （

20、5.2）按照這樣的變換后可得到新的正則變量。如果我們維持原來(lái)對(duì)拉格朗日函數(shù)及哈密頓函數(shù)的定義不變，即，。那么正則方程的對(duì)稱形式將被破壞，因而我們感興趣的是下述變換。 如果變換關(guān)系（5.2）式可以保持正則方程的形式不變，即，其中，那么這樣的變換被稱為正則變換。2.正則變換的條件 由于哈密頓原理與正則方程是等價(jià)的，因而只要我們能使變換關(guān)系滿足哈密頓原理，那么該變換自然就會(huì)使正則方程的形式不變，這種變換也就必然是正則變換。（1）從哈密頓原理推導(dǎo)正則變換的條件 對(duì)于原變量和哈密頓函數(shù)，如果滿足正則方程必然滿足哈密頓原理，則有下式成立： 但由于L和是等價(jià)的，為了使完全獨(dú)立于在上式的積分符號(hào)下應(yīng)再加上一項(xiàng)

21、。由于，所以f中還可以含變量即。因此上式的最一般形式為： （5.4） 同理如果新的正則變量及哈密頓函數(shù)同時(shí)滿足正則方程和哈密頓原理則有 （5.5）由（5.4）、（5.5）式可得其中。要使上式恒成立，只需積分符號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式為零即可，因此有下式成立： （5.8）上式中同時(shí)存在四種變量，我們可以任選其中獨(dú)立的兩種做為自變量。例如就表示以為基本變量，這樣（5.8）式則變?yōu)?（5.9）（2）正則變換的條件 （5.9）式即為正則變換的條件，也就是以及所進(jìn)行的如等式左邊的運(yùn)算后能否最終表示為一個(gè)全微分項(xiàng)。 討論：如果某變換滿足（5.9）式則必有，成立。這說(shuō)明從時(shí)，雖然可以任意確定但一旦確定后，則只有下列條件

22、成立時(shí)的變換才是正則變換。A：必須由來(lái)確定。也就是選定、后，就必須由上式來(lái)確定。B：不能任意選定，必須滿足。C：新的必須由給出。上述三個(gè)條件缺一不可，否則從的變換就不滿足哈密頓原理也就不滿足正則方程，正則方程的形式就要發(fā)生變化。（3）正則變換條件的推廣 在某些情況下，我們可以不取為獨(dú)立變量而取為獨(dú)立變量更為合適。此時(shí)正則變換的條件（5.9）式就要有相應(yīng)的改變?nèi)缦隆?由，代入（5.9）式化簡(jiǎn)后可得 ，令，則上式可變?yōu)?（5.12）（5.12）式也可看成正則變換的條件，并且類似于對(duì)（5.9）式的分析可得下列具體條件， （5.14）通常為了區(qū)分（5.9）、（5.12）兩式，習(xí)慣稱為第一類變換母函數(shù)，

23、為第二類變換母函數(shù)。同理還存在第三、第四類變換母函數(shù)、。 注意：在上述四種變換中均有，特別是當(dāng)時(shí)，有，只要將中的用代替即可得到。（4）正則變量（坐標(biāo)）意義的擴(kuò)展 從以上討論可知，經(jīng)過(guò)正則變換以后分別與都有關(guān)系。因此變換以后已經(jīng)沒(méi)有純粹空間坐標(biāo)的意義，同樣也已經(jīng)沒(méi)有純粹運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的意義。例如取，可得，這么一個(gè)變換使坐標(biāo)與動(dòng)量互相交換。因此可以說(shuō)：在哈密頓正則方程中，正則變量只是名稱上的不同而已，在物理意義上二者并無(wú)本質(zhì)的區(qū)別。任意兩組變量只要二者相互獨(dú)立且二者的積有作用量（即能量乘以時(shí)間）的量綱，都可以將它們看成正則共軛變量。 又如可以看成是母函數(shù)為的正則變換，因?yàn)榭捎傻玫健?三：正則變換的意義

24、正則變換的意義在于可以簡(jiǎn)化新的哈密頓函數(shù)，使廣義坐標(biāo)、廣義動(dòng)量盡量變?yōu)檠h(huán)坐標(biāo)，這樣將它們代入正則方程時(shí)就可直接得出相應(yīng)的方程及其解。如為循環(huán)坐標(biāo)，則可得 。 在§2.7中曾指出，自由度為S的體系共有（2s-1）個(gè)運(yùn)動(dòng)積分，每個(gè)運(yùn)動(dòng)積分與一個(gè)廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)。因此從理論上講總可以使廣義坐標(biāo)都變?yōu)檠h(huán)坐標(biāo)，這樣正則方程的求解將非常的簡(jiǎn)單。四：例題（從略）五：本節(jié)重點(diǎn)：正則變換的條件（5.9）式和正則變換的意義。§8.6 泊松括號(hào)當(dāng)我們選定為正則變量來(lái)描述一個(gè)力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)時(shí)，任何一個(gè)力學(xué)量f均可寫成。那么如何才能判定f是否為運(yùn)動(dòng)積分或守恒量哪？如果直接將代入f來(lái)判定就必須先求出，這顯然必須將運(yùn)動(dòng)微分方程解出后才可能完成?，F(xiàn)在我們提出一種新的方法，可以通過(guò)f與H的關(guān)系來(lái)判定f是否為守恒量。一：泊松括號(hào)及其性質(zhì)1. 泊松括號(hào)。 由求可得，利用可得，如果令，則上式可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為： （6.4）