圓孔的夫朗和費(fèi)衍射

1、圓孔的夫朗和費(fèi)衍射1、圓孔的夫朗和費(fèi)衍射：根據(jù)幾何光學(xué)，平行光經(jīng)過球面凸透鏡后將會(huì)聚于透鏡焦平面上一點(diǎn)。但實(shí)際上，由于光的波動(dòng)性，平行光經(jīng)過小圓孔后也會(huì)產(chǎn)生衍射現(xiàn)象，稱為圓孔的夫朗和費(fèi)衍射。圓孔的夫朗和費(fèi)衍射圖樣為一個(gè)圓形的亮斑（稱為愛里斑），在愛里斑的周圍還有一組明暗相間的同心圓環(huán)。由于光學(xué)儀器中所用的孔徑光闌、透鏡的邊框等都相當(dāng)于一個(gè)透光的圓孔，所以圓孔的夫朗和費(fèi)衍射對(duì)光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量有直接影響。愛里斑光強(qiáng)約占總光強(qiáng)的84% 。而其1級(jí)暗環(huán)的角寬度（即愛里斑半角寬度）滿足式中R、D為小圓孔的半徑和直徑。2、光學(xué)儀器的分辨本領(lǐng)：由于圓孔衍射現(xiàn)象的限制，光學(xué)儀器的分辨能力有一個(gè)最高的極限。下

2、面通過光學(xué)儀器分辨本領(lǐng)的討論，說明為什么有一個(gè)分辨極限，并給出分辨極限的大小。當(dāng)兩個(gè)物點(diǎn)S1、S2很靠近時(shí)（設(shè)S1、S2光強(qiáng)相等），兩個(gè)愛里斑將互相重疊而無法分辨。對(duì)一個(gè)光學(xué)儀器來說，若一個(gè)點(diǎn)光源產(chǎn)生的愛里斑的中央剛好與另一個(gè)點(diǎn)光源產(chǎn)生的愛里斑瑞的1級(jí)暗環(huán)相重合，這時(shí)兩個(gè)愛里斑重合部分的光強(qiáng)約為單個(gè)愛里斑中央光強(qiáng)的80%左右，一般人眼剛好能分辨出這是兩個(gè)光點(diǎn)的像。因此，滿足上述條件的兩個(gè)點(diǎn)光源恰好能被該光學(xué)儀器所分辨。這一條件稱為瑞利分辨判據(jù)。（見下圖）恰能分辨時(shí)兩光源發(fā)出的光線對(duì)透鏡光心的夾角 稱為最小分辨角，用表示。由上討論可知，最小分辨角等于愛里斑的半角寬度1：尤其當(dāng)1 0時(shí)，最小分辨角

3、又可近似表示為最小分辨角的倒數(shù)稱為光學(xué)系統(tǒng)的分辨本領(lǐng)（或稱分辨率），用R表示：討論： 增大透鏡的直徑D可提高鏡頭的分辨率。光學(xué)天文望遠(yuǎn)鏡的鏡頭孔徑可達(dá)數(shù)米！ 設(shè)r、d為愛里斑的半徑和直徑，則：即： 稱為鏡頭的相對(duì)孔徑（越大越好）。如照相機(jī)鏡頭上所標(biāo)示的字樣，即表示鏡頭的焦距，而鏡頭的孔徑。 由分辨本領(lǐng)的定義，要提高光學(xué)儀器的分辨率，除了增大鏡頭孔徑外，還可通過減小入射光波長來實(shí)現(xiàn)。近代物理指出：電子也有波動(dòng)性。高能電子的波長可短至101 102nm 。所以電子顯微鏡的最小分辨距離可達(dá)幾個(gè)nm，放大率可達(dá)幾萬倍乃至幾百萬倍，遠(yuǎn)高于光學(xué)顯微鏡。視頻：光學(xué)儀器的分辨率第一節(jié) 光波的標(biāo)量衍射理論討論衍

4、射的基本處理：標(biāo)量衍射理論、衍射積分公式、兩類衍射的區(qū)分、計(jì)算、觀察一、惠更斯菲涅耳原理1、惠更斯原理惠更斯假設(shè)：任一時(shí)刻波上的每一點(diǎn)都可以看作是產(chǎn)生球面次波的波源，下一時(shí)刻的波陣面是這些次波的包絡(luò)面?；莞乖泶尾ǖ母拍睿娣ň€方向即光線方向（各向同性介質(zhì)）（波的傳播原理）（用于確定下一時(shí)刻光線方向）于是，如圖，t1時(shí)刻屏D上波陣面1得：t2時(shí)刻，波陣面2問題：不能給出強(qiáng)度分布特點(diǎn)2、惠更斯菲涅耳原理某一時(shí)刻波陣面上的任一點(diǎn)都可以視為發(fā)出球面次波的新波源，這些次波來源于同一光源，因而彼此相干，空間某一點(diǎn)的光振動(dòng)取決于波陣面上所有次波在該點(diǎn)疊加的結(jié)果。注意：干涉與衍射的異同點(diǎn)3、惠更斯菲涅耳

5、原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式由原理，光源S在P點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)，應(yīng)等于其波面上各點(diǎn)發(fā)出次波在P點(diǎn)的光振動(dòng)的疊加。參數(shù)如圖:單色點(diǎn)光源S在波面上某點(diǎn)Q的復(fù)振幅為：面元 在點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅表示為：式中：衍射角 波面法線n與次波傳播方向r之夾角傾斜因子表明次波振幅與衍射角（方向）有關(guān)假設(shè)且有： 隨 于是：波面在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅為： 若用任意已知的孔徑面代替波面 ，則P點(diǎn)的衍射分布可表示為：若有 則上式推廣為： 二、菲涅耳基爾霍夫衍射公式1、惠更斯菲涅耳原理的缺陷：（1）假設(shè)次波與次波干涉概念，未與基本原理相聯(lián)系（2）人為假設(shè)了 ，未給出和C的具體形式2、菲涅耳基爾霍夫衍射積分公式主要思想：（1）波動(dòng)微分方程+格林定

6、理亥姆霍茲基爾霍夫衍射積分定理積分定理指出：波源在某一衍射場(chǎng)P點(diǎn)引起的波振動(dòng)決定于包圍P點(diǎn)的封閉曲面上各部分在該點(diǎn)引起的波動(dòng)的疊加。（積分定理給出次波疊加的理論基礎(chǔ)）（2）基爾霍夫衍射積分定理+邊值條件用于光的衍射現(xiàn)象邊值條件：a）開孔面上的復(fù)振幅分布由入射波決定，與孔徑屏不存在時(shí)一樣。b）在屏的不透明部分，其復(fù)振幅近似為零。公式表明：a）P點(diǎn)的復(fù)振幅是波面上無窮多個(gè)次波面在該點(diǎn)的復(fù)振幅的疊加b）次波源的相位超前于入射波/2c）給出K(Q表達(dá)式，表明次波的振幅與K(Q即衍射方向有關(guān)當(dāng)光源置于無窮遠(yuǎn)時(shí)，有 三、衍射的分類1、定性區(qū)分 夫瑯和費(fèi)衍射（或稱平面波衍射）光源、接收屏距衍射屏足夠遠(yuǎn)，入射

7、波和衍射波均可視為有效平面波的衍射菲涅耳衍射（球面波衍射）光源或接收屏或兩者距衍射屏有限距，以致入射波的波面曲率不可略時(shí)的衍射2、基爾霍夫近似下衍射分類由 （1）初步近似當(dāng)孔徑范圍及觀察范圍遠(yuǎn)小于兩者之間距的實(shí)際情況a）平面波正入射孔徑（衍射）屏對(duì)振幅的影響可略 b）同時(shí)取rz1，認(rèn)為r變化對(duì)振幅影響可略，但r對(duì)相位的影響不可略 （2）菲涅耳近似與菲涅耳衍射積分公式因?yàn)?，將r表達(dá)式展開當(dāng)滿足：可只保留表達(dá)式中的孔徑平方項(xiàng)，即：相應(yīng)的衍射為菲涅耳衍射，滿足近似條件，能觀察到衍射的區(qū)間為菲涅耳衍射區(qū)得： （3）夫瑯和費(fèi)近似與夫瑯和費(fèi)衍射積分公式對(duì)菲涅耳近似r表達(dá)式，若很大，同時(shí)，則當(dāng)滿足 或 可只

8、保留r表達(dá)式的孔徑一次項(xiàng)，即 相應(yīng)的衍射為夫朗和費(fèi)衍射，這一近似成立的區(qū)域?yàn)榉蚶屎唾M(fèi)衍射區(qū)四、衍射現(xiàn)象的觀察1、菲涅耳衍射S、P置于距D有限距離處（圖示a）2、夫瑯和費(fèi)衍射a）S、P分別置于透鏡焦面上（圖示b）b）成像透鏡像面上得到孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射現(xiàn)象（圖示c）abc第二節(jié) 典型孔徑的夫瑯和費(fèi)衍射一、夫瑯和費(fèi)衍射公式的意義由基爾霍夫衍射公式 假設(shè)：（1）均勻孔徑：（2）觀察面上任一確定的P點(diǎn)與Q方向的衍射光相對(duì)應(yīng)，其 可視為常數(shù)（3）滿足，孔徑面上不同點(diǎn)到P點(diǎn)的r值得變化對(duì)振幅影響可略則上式化為： 見圖，孔徑面上取坐標(biāo)中心O1點(diǎn)和Q點(diǎn)，其方向衍射光到達(dá)觀察面上的P點(diǎn)的光程差為：又：于是：又：

9、P點(diǎn)接近P0點(diǎn)時(shí)，在傍軸近似下，方向余弦可表示為：則有： 此時(shí)，夫瑯和費(fèi)衍射公式可表示為：這一表示式與夫瑯和費(fèi)衍射積分公式相一致，（在求取相對(duì)強(qiáng)度時(shí)，可不追究C的具體表示），用于求取各種孔徑時(shí)的衍射分布總之，公式表明（1）（2）當(dāng) 則 表明： 焦面場(chǎng)上的衍射分布就是孔徑面上復(fù)振幅分布的一個(gè)傅立葉變換； 傅立葉變換模擬運(yùn)算可以用衍射變換實(shí)現(xiàn)； 衍射問題可用傅立葉變換方法處理。 二、矩孔衍射和單縫衍射（一）矩孔衍射 1、P點(diǎn)強(qiáng)度分布：圖示矩孔2、矩孔衍射圖樣：顯然， ，或a、b有關(guān)，受x、y兩方向上孔徑大小的影響。觀察x方向上衍射： （1）極小值位置：（2）極大值位置當(dāng)時(shí) ，有 當(dāng) 時(shí)，相應(yīng)值處存

10、在次極大（相鄰極小值間存在一個(gè)次極大）幾個(gè)次極大的位置及相應(yīng)強(qiáng)度示表0±1.43 ± 2.459± 3.47 ±4.47900.047180.016940.008340.00503顯然，次極大不等距分布，第一個(gè)次極大強(qiáng)度為零級(jí)的1/20，絕大部分能量集中在中央亮斑處。（3）衍射效應(yīng)正比入射波長，反比于孔徑線度。由 ,條紋角寬度 矩孔衍射在x軸上的強(qiáng)度分布曲線如圖所示。y方向可作相同的討論，總的強(qiáng)度取決于x、y方向分項(xiàng)的共同作用。矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣：中央零級(jí)在點(diǎn)源的幾何像位置，中央亮斑集中了全部能量的80%。周圍是一些x、y方向上等間距的暗線，相鄰暗線

11、之間距反比于矩孔線度。（二）單縫衍射如圖：的情況下，因?yàn)?矩孔變?yōu)閱慰p， 則有： ,aSin=n,n=± 1,± 2····x方向限制光波，衍射分布沿x方向展開（見圖示）線光源時(shí)單縫衍射裝置見圖示利用單縫衍射圖樣，可以測(cè)定單縫的寬度：由x=f Sin=f /a ，測(cè)出x，求得a（三）細(xì)線衍射1、巴卑涅原理：（如圖）互補(bǔ)屏：一個(gè)屏的透明部分與另一個(gè)屏的不透明部分相對(duì)，反之亦然，稱這一對(duì)屏為互補(bǔ)屏取衍射屏： 1，2，=1+2（不放屏）觀察屏上分布： 相應(yīng)巴卑涅原理： 表明：互補(bǔ)屏產(chǎn)生的復(fù)振幅之和等于自由傳播（無阻擋）時(shí)該點(diǎn)的復(fù)振幅例：光學(xué)

12、系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)物成像 即，除幾何像點(diǎn)外，其余處強(qiáng)度分布相同，衍射圖樣相同2、細(xì)絲衍射巴卑涅原理細(xì)絲直徑求取除幾何像點(diǎn)外，可求其互補(bǔ)屏單縫的寬度。三、圓孔夫瑯和費(fèi)衍射1、強(qiáng)度分布圓孔時(shí)，用極坐標(biāo)表示：2、衍射圖樣：由貝塞爾函數(shù)表求取頭n個(gè)極值點(diǎn)位置：z極值01中央極大1.220 第一極小1.630.0175第一次極大2.23 0第二極小2.680.0042第二次極大分析I(P表達(dá)式：（1）由于Z=ka k,a均一定時(shí)，I(P因此，圓孔衍射圖樣是中心明亮，明暗相間的同心圓環(huán)，在=0（即點(diǎn)源幾何像）處強(qiáng)度最大，隨變化，會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)度的極大、極小。（2）極大、極小值分布不等間距第一極小位置：z=1.22或 愛里斑：z=±1.22所確定的范圍