第一章_集合與函數(shù)概念__復(fù)習(xí)講義

1、1第一章 集合與函數(shù)概念一、集合的基本概念與運算(一)元素與集合1. 集合的定義一般地， 我們把研究對象統(tǒng)稱為元素。 把一些元素組成的總體叫 做集合 (簡稱為集 )。通常用大寫字母 A ，B， C，D，, 表示集合，用 小寫拉丁字母 a，b，c，, 表示元素。2. 集合中元素的特征(1)確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說， 給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了。 例如， “中國的直轄市”構(gòu)成一個集合，北京、上海、天津、重慶在這個集 合中，杭州、南京、廣州 , 不在這個集合中。 “身材較高的人”不 能構(gòu)成集合；因為組成它的元素是不確定的。(2) 互異性：一個給定

2、集合中的元素是互不相同的(或說是互異的)，也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的。相同元素、重復(fù)元 素，不論多少，只能算作該集合的一個元素。(3)無序性：在一個集合中，不考慮元素之間的順序只要元素完 全相同，就認為是同一個集合。3、集合相等 只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的， 我們就稱這兩個集合是相等 的。4、元素與集合的關(guān)系2如果 a 是集合 A 的元素，就是說 a 屬于集合 A，記作 aA ;如 果 a 不是集合 A 中的元素，就說 a 不屬于集合 A，記作a A。5、常見的數(shù)集及記法全體非負整數(shù)組成的集合稱為非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N ；所有正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集（在自然數(shù)集中排

3、除 0 的集 合），記作 N*或 N+；全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集，記作 Z；全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集，記作Q；全體實數(shù)組成的集合稱為實數(shù)集，記作R。拓展與提示：（1 1）無序性常常作為計算時驗證的重要依據(jù)。（2 2）注意 N N 與 N N*的區(qū)別。N N*為正整數(shù)集，而 N N 為非負整數(shù)集，即 0 0 N N 但 0 0 老 N N*。（3 3） 集合的分類+、一 +人瘡 有限集：含有有限個元 素的集合叫做有限集按兀素個數(shù)丿無限集：含有無限個元 素的集合叫做無限集按元素的特征可分為：數(shù)集，點集，形集等等。特別地，至少有一個元素的集合叫做非空集合；不含有任何元素的集合叫做空集 （

4、）,只含有一個元素的集合叫做單元素集。例 已知P Px,y,1x,y,1；Q Q = = xx2,xy,X*,xy,X*且 P P = =Q,Q,求 x,yx,y 的值2f _解析由y或y；xy,xy=1,lxlx =1,=1,解得 x=y=1 這與集合中元素的互異性相矛盾。3解得 x= -1 或 1（舍去）這時 y=0/. x= -1 , y=06、集合的表示方法(1)列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來，并用花括號 括起來表示集合的方法叫做列舉法。適用條件：有限集或有規(guī)律的無限集形式：a, a3,，an /描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描 述法，具體方法是：在花括號內(nèi)

5、先寫上表示這個集合元素的一般符號 及取值(或變化)范圍；再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素 所具有的共同特征。適用條件：一般適合于無限集，有時也可以是有限集。形式：；eDp(x)，其中 x 為元素，p(x)表示特征。拓展與提示：如果集合中的元素的范圍已經(jīng)很明確，那么 x x D D 可以省略，只寫其元素 x x,如xWRxvIO!可以表示為xxvIOL韋恩圖法：把集合中的元素寫在一條封閉曲線(圓、橢圓、矩 形等)內(nèi)。例 用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?，并指出它是有限集還是無限集：(1)(1)由所有非負奇數(shù)組成的集合；(2)(2)由所有小于 10 既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；(3)(3)

6、平面直角坐標系內(nèi)所有第三象限的點組成的集合； 方程 x2+x+1=0 的4實數(shù)根組成的集合。解析（1）由所有非負奇數(shù)組成的集合可表示為：A=&x=2n+1,nN, A 是無限集。滿足條件的數(shù)有 3, 5, 7,所以所求集合為：B3,5/，集合 B 是有限集。（3）所求集合可表示為：C 二認y）x：0 且 y：01，集合 C 是無限集。因為方程 x2+x+1=0 的判別式的 0， 故無實數(shù)， 所以方程 x2+x+1=0的實根組成的集合是空集o（二）集合的基本關(guān)系1、子集：一般地，對于兩個集合 A、B，如果集合 A 中任意一 個無素都是集合 B 中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱

7、集合 A 為集合B 的子集，記作A B（或 B=A），讀作“A 含于 B ” （或“ B 包含 A”）。數(shù)學(xué)表述法可簡述為：若x.x. A=A= x.x. B B，則集合 A A 是集合 B B 的子集。（如圖）2 2、集合相等：如果集合 A A 是集合 B B 的子集（A B），且集合 B B 是集合 A A 的 子集（B5A），此時，集合 A A 與集合 B B 中的元素是一樣的，因此，集合 A A 與集合 B B 相等，記作 A=BA=B。數(shù)學(xué)表述法可描述為：對于集合 A A、B B，若A A5 5B B，且B A，貝 U 集合 A A、B B 相等。3 3、真子集：如果集合A A B

8、B，但存在元素x x B B，且X” A，我們稱集合 A A 是集合 B B 的真子集，記作AB B P P u u A A）或說：若集合A A B B，且 A A 工 B B，則集合 A A 是集合 B B 的真子集。54 4、空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為厶并規(guī)定：空集是任何集6合的子集，是任何非空集合的真子集。拓展與提示:(1)(1)【.MA,A-A。(2)-?B(其中 B 為非空集合)(3) 對于集合 A , B , C,若 A B, B C,則 A C。(4) 對于集合 A , B, C,若A豣三，三?C C 則A豣C C(5) 對于集合 A , B,若 A B 且 B A,

9、則 A = B。含 n 元素的集合的全部子集個數(shù)為2n個，真子集有 2n-1 個，非空子集有 2n-1個，非空真子集有 2n-2 個。(三)集合間的基本運算1、并集一般地，由所有屬于集合 A 或集合 B 的元素組成的集合，稱為 集合 A與 B 的并集，記作A B(讀作“A 并 B”)，即A_B，xx A, 或 x B/拓展與提示：對于任意集合A A、B B,有(1)(1)A一A=A,A=：，=A;(2)(2)A一B = B_A；A _ (A B), B(A B);(4);(4) A A B B = = A A：= = A A 二 B B。2、交集一般地，由屬于集合 A 且屬于集合 B 的所有元

10、素組成的集合，稱為集合 A 與 B 的交集，記作B(讀作“ A 交 B ”)，即ABxx A,且 x Bl拓展與提示：對于任意集合A、B,有Ac A = A,AC = 0；(2)ACB = BCA；(3)(3)(ACB)g A,(ACB)B；(4)A，CB=A=B B ； (5)(5)(A B) (Au B)?？捎?Venn 圖表示為73、全集與補集(1) 全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，通常記作U。(2) 補集：對于一個集合 A，由全集 U 中不屬于集合 A 的所有元 素組成的集合稱為集合 A 相對于全集 U的補集， 簡稱為集合 A 的

11、補 集， 記作euA=(xx壬U,且x更A。用 Venn 圖表示為拓展與提示：(1)A(1)A n(euA)(euA)= =, A U(euA)(euA) , , =U； (2)應(yīng)應(yīng)( (uA)uA)=A , euU=,eueu =U； eu(Aeu(A B)B)= =( (痧 uA)uA) ( ( uB)uB),eu(Aeu(A B)B)= =( (痧 uA)uA) ( ( uB)uB)。(4)(4)下圖中的 分別表示為An(euB)(euB),(euA)(euA)nB,AnB,( (痧 A)(uB)A)(uB)例 設(shè)集合A=2,2X-1,-4 沁，x-5,1 - x,，若 A AnB=B=

12、求 A AUB B。解析由 AnB=9得，9 A。 x2=9 或 2x-1=9由 x2=9 得，x= 士 3。當 x=3 時，A = g,5,B亠2,-2,9?，與元素的互異性矛盾。可用 Venn 圖表示為8當 X=-3 時，A9,_7,川B亠8,4,9：，此時,A一B-一8,7,4,4,9.2由 2x-1=9 得 x=5.當 x=5 時，A25,9,_4B一0,一4,9,此時，A一B= 4,9：，與題設(shè)矛 盾。綜上所述，A B=一8,一7,一4,4,94、集合中元素的個數(shù)：在研究集合時，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素的個數(shù)問題， 我們把含有 限個元素的集合 A 叫做有限集， 用 card 來表示有限集

13、合 A 中元素的 個數(shù)。 例如：Aa,b,c則 card(A)=3.一般地，對任意兩個有限集 A , B ,有 card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB).當時僅當 AAB= 時，card(AUB)=card(A)+card(B).解與集合中元素個數(shù)有關(guān)的問題時，常用venn 圖。例 學(xué)校先舉辦了一次田徑運動會，某班有 8 8 名同學(xué)參賽，又舉 辦了一次球類運動會，這個班有 1212 名同學(xué)參賽，兩次運動會都參賽 的有 3 3 人，兩次運動會中，這個班共有多少名同學(xué)參賽？解析 設(shè)A =田徑運動會參賽的學(xué)生 1, B = 球類運動會參賽的學(xué)生，那么A A B B =:

14、兩次運動會都參賽學(xué)生,A A B B =所有參賽的學(xué)生 1,Card(AUB)=card(A)+card(B)-card(AAB)=8+12-3=17答：兩次運動會中，這個班共有17 名同學(xué)參賽二、函數(shù)及其表示9(一)函數(shù)的概念1 定義一般地，我們說：設(shè) A , B 是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系 f,使對 于集合A 中的任意一個數(shù) X，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它 對應(yīng)，那么就稱 f : A - B 為集合 A 至驚合 B 的一個函數(shù)，記作y = f (x), x三A其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫函數(shù)的定義域；與 x 的 值相對應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值，

15、函數(shù)值的集合f(x)xAI叫做函數(shù)的值 域，顯然，值域是集合 B 的子集。2、函數(shù)的三要素(1) 函數(shù)的三要素是指定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。(2) 由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函 數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等。拓展與提示：(1)(1)函數(shù)符號 y=f(x)y=f(x)是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲在1818 世紀引入的。注意區(qū)別 f(a)f(a)和 f(x)f(x) , f(x)f(x)是指函數(shù)解析式，f(a)f(a)是指自變量為 a a 時的函數(shù)值。3、區(qū)間設(shè) a, b 是兩個實數(shù)，而且 ab,我們規(guī)定：(1)滿足不等式 ax b 的實數(shù) x 的集

16、合叫做閉區(qū)間，表示為a,b；滿足不等式 avxvb 的實數(shù) x 的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；滿足不等式 axb 或 axa(a, )L-x|x 蘭 b(7)1_ i_.x|x (-00，b)-A拓展與提示：(1)(1)在數(shù)軸上，用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表 示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點。求函數(shù)定義域，主要通過下列途徑實現(xiàn)。1若 f(x)f(x)是整式，則定義域為 R R;2若 f(x)f(x)為分式，則定義域為使分母不為零的全體實數(shù)；3若 f(x)f(x)為偶次根式，則定義域為使被開方數(shù)為非負數(shù)的全體實數(shù)；4若 f(x)f(x)的定義域為a,ba,b，則 f f g(x)g(x

17、)的定義域是 a a g(x)g(x) b b 的解集；5若 f f g(x)g(x)的定義域為a a，b b，則 f(x)f(x)的定義域是 g(x)g(x)在 x !a,b】下的值域。定義：x | a乞x名稱符號閉區(qū)間a,a, b bx|acxcb開區(qū)間 (a(a, b)b)a,b 111例 1 1 求下列函數(shù)的定義域y _ . x 12 x解析 要使y=Wx1有意義，則必須2 x故所求函數(shù)的定義域為X|x _ 1 且 x = 2 /例 2 2已知函數(shù) f(x)f(x)的定義域是-1-1, 3 3,求 f(x+1)f(x+1)和 f(xf(x2 2) )的定義域(2)(2)已知函數(shù) f(2

18、x+3)f(2x+3)的定義域為-1,21，求 f(x-1)f(x-1)的定義域解析(1)Vf(x)的定義域為-1, 3, f(x+1)的定義域由-1 x+1 3 確定，即-2x 2,二 f(x+1)的定義域為-2, 2.f(x2)的定義域由-1x23 確定，即-.3_X_ .3二 f(x2)的定義域為3,. 3V函數(shù) f(2x+3)的定義域為(-1,2】,二 2x+3 中的 x 滿足-1x2,/. 12x+3 7.令 t=2x+3，則 f(t)的定義域為1,71又 1x-1 7,二 2x-1 且XM2,12式子 y=f(x)表示 y 是自變量 x 的函數(shù)，設(shè)它的定義域為 A，值域 為 C,我

19、們從式子 y=f(x)中解出 x 得到 x=g(y)，如果對于 y 在 C 中的 任何一個值通過式子 x=g(y),x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應(yīng)， 那么式子 x=g(y)表示 y 是自變量 x 的函數(shù)，這樣的函數(shù) x=g(y)叫做 y=f(x)的反函數(shù)，記作X = f(y)，一般寫成y = f -1(x).拓展與提示：(1)(1)函數(shù) y=f(x)y=f(x)的定義域和值域分別是它的反函數(shù)的值域和定義域；函數(shù) y=f(x)y=f(x)的圖象和它的反函數(shù) y = f (X)的圖象關(guān)于直線 y=xy=x 對稱。(二)函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示法解析法，就是用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間

20、的對應(yīng)關(guān)系。圖象法，就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。列表法，就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。拓展與提示：(1)(1)函數(shù)用列表法表示時，其定義域是表中自變量所取值的全體， 其值域是表中對應(yīng)函數(shù)值的全體。(2)(2)函數(shù)用圖象法表示時，其定義域是圖象投射到 x x 軸上的區(qū)域范圍，其值域是 圖象投射到y(tǒng) y 軸上的區(qū)域范圍。2、分段函數(shù)若函數(shù)在定義域的不同子集上對應(yīng)關(guān)系不同， 可用幾個式子來表示函數(shù)，這種形式的函數(shù)叫分段函數(shù)，它是一類重要函數(shù)，形式是:分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，對于分段函數(shù)必須分段 處匕(x)f2(X)fn(x)x D1x D2 B BX Dn13理，其

21、定義域為 D1UD2U,UDn.14拓展與提示：分段函數(shù)中，分段函數(shù)的定義域的交集為空集例 中國移動通信已于 2006 年 3 月 21 日開始在所屬 18 個省、 市移動公司陸續(xù)推出“全球通”移動電話資費“套餐”，這個套餐的最大特點是針對不同用戶采用了不同的收費方法，具體方案如下:方案代基本月租免費時間(分超過免費時間話費(元/號(元)鐘)分鐘)130480.602981700.6031683300.5042686000.45538810000.40請問：“套餐”中第 3 種收費方式的月話費 y 與月通話量 t(月通話量是指一個月內(nèi)每次通話用時之和)的函數(shù)關(guān)系式。解析“套餐”中第 3 種收費

22、函數(shù)為168,0330,168 0.5(t-330),t 330.3、復(fù)合函數(shù)若y是u的函數(shù)， u又是x的函數(shù)， 即y=f(u),u=g(x),x (a,b),u (m,n)，那么 y 關(guān)于 x 的函數(shù) y=f g(x) ，x (a,b)叫做 f 和 g 的復(fù)合 函數(shù)，u 叫做中間變量，u 的取值范圍是 g(x)的值域。4、映射設(shè) A，B 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合 A 中的任何一個元素 x,在集合 B 中都有唯一確定的元素 y 與之yi=15對應(yīng)，那么就稱對應(yīng) f: A fB為從集合 A 到集合 B 的一個映 射。拓展與提示：(1)(1)映射包括集合 A A、

23、B B 以及從 A A 到 B B 的對應(yīng)法則 f f,三者缺 一不可，且 A A、B B必須非空。A A 中的元素在 B B 中都能找到唯一的元素和它對應(yīng)，而 B B 中的元素卻不 一定在 A A 中找到對應(yīng)元素，即使有，也不一定只有一個。5、函數(shù)解析式的求法1待定系數(shù)法。若已知函數(shù)類型，可設(shè)出所求函數(shù)的解析式，然 后利用已知條件列方程或方程組，再求系數(shù)。2換元法。若已知函數(shù)y二f：“x)的解析式，可令t = x)，并由此 求出x=g(t)，然后代入解析式求得 y=f(t)的解析式，要注意 t 的取值范 圍為所求函數(shù)的定義域。3賦值法：可令解析式中的自變量等于某些特殊值求解。4列方程(組)法

24、求解。若所給式子中含有 f(x)，f -或 f(x),f(-x)lx丿等形式，可考慮構(gòu)造另一個方程，通過解方程組獲解。5. 配湊法例解答下列各題：(1) 已知 f(x)=x2-4x+3，求 f(x+1);(2) 已知 f(x+1)=x2-2x，求 f(x);(3) 已知二次函數(shù) g(x)滿足 g(1)=1,g(-1)=5，圖象過原點，求 g(x)。解析(1)f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+3=x2-2x(2)方法一：(配湊法)f(x+1)=(x+1)2-2X-1-2X=(X+1)2-4X- 1=(X+1)2-4(X+1)+3, f(x)=x2-4X+3方法二：(換元法)令 x+1=t

25、，則 x=t-1 ,f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3,f(x)=x2-4X+3.(2)由題意設(shè) g(x)=ax2+bx+c,0.Tg(i)=i,g(-i)=4,且圖象過原點,I a b c =1,Ja =3,ab+c=5,解得b=2,c =0.c = 0. g(x)=3x2-2x.三、函數(shù)的基本性質(zhì)(一)函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)性一般地，設(shè)函數(shù) f(x)的定義域為 I:如果對于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間 D 上的任意兩個自變量的值XI,X2, 當XIX2時，都有 f(Xi)vf(X2),那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)， 如下圖(1)所示。如果對于定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間

26、 D 上的任意兩個自變量的值XI,X2, 當XIf(X2),那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 D 上是減函數(shù)， 如下圖(2)所示。(1)18如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間 D 叫做 y=f(x)的單調(diào) 區(qū)間。拓展與提示：(1)(1)定義中的 X X!,X,X2具有任意性，不能用特殊值代替。若 f(x)f(x)在區(qū)間 D1D1 , D2D2 上都是增( (減) )函數(shù)，但 f(x)f(x)在 D1D1 U D2D2 上不一定是增( (減) )函數(shù)。由于定義域都是充要性命題，因此由 f(x)f(x)是增( (減)

27、)函數(shù)，且f(為)：:：f(X2)：=X!：X2(X!.X2)，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”。2、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(1)定義法。用定義法判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟為第一步：取值。設(shè) x1 x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且 x10,則 f(x)在(a,b)上遞增；若當 x (a,b)時, f (x)0= f (x)在a,b 上是增函數(shù)，f (xj -f (x2)v0= f (x)在ia,bXrx2Xrx2上是減函數(shù)；2(xi X2)f (xi) - f(X2)】0二f (x)在 a,ba,b : 上是增 函數(shù)，(xr-x2) f (xj - f (x2)】

28、0二f(x)上是減函數(shù)。例 討論函數(shù)f(x)=2(a)在(-2 , +乂)上的單調(diào)性。x +22解析設(shè)-2x1x2，則ax+2a+12a丄1 2af (x)a.x+2x+2二f(X2)-f(X1)又-2X1X2,120,即a時，上式 0,即 f(X2)f(xd;2=(a1 -2ax22)-(a1 -2a)x 2)=(1 -2a)(1x221x12).=(1 _2a) *Xrx2(X22)(X12)20當 1-2a0,即 f(X2)f(xJ 二當a時，f(x)二兀1在(-2 , + )上為減函數(shù)當a1時，仙嚴丁在(-2, +x)上為增函數(shù)3、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對于復(fù)合函數(shù) y=f g(x),若 t=g(x)在區(qū)間(a,b)上是單調(diào)函數(shù)，則 y=f(t)在區(qū)間(g(a),g(b)或(g(b),g(a)上是單調(diào)函數(shù)；若 t=g(x)與 y=f(t) 單調(diào)性相同(同時為增或減)，則 y=fg(x)為增函數(shù)，若 t=g(x)與 g=f(x) 單調(diào)性相反，則 y=ffg(x)為減函數(shù)，簡單地說成“同增異減”。y=f(t)增減增減t=g(x)增減減增Y=f