《學(xué)案與測評》2011年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第九單元第五節(jié) 曲線與方程精品課件 蘇教版

1、第五節(jié)曲線與方程第五節(jié)曲線與方程基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理1. 曲線的方程與方程的曲線若二元方程f(x,y)=0是曲線C的方程，或曲線C是方程f(x,y)=0的曲線，則必須滿足以下兩個條件：（1）曲線C上點的坐標(biāo)都是 ;（2）以這個方程的解為坐標(biāo)的點都是 .2. 求曲線方程的五個步驟:（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；（2）設(shè)曲線上任意一點M的坐標(biāo)為（x,y）;(3)列出符合條件P（M）的方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式；（5）說明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都在曲線上.這個方程的解曲線C上的點典例分析典例分析題型一題型一 直接法求曲線方程直接法求曲線方程【例1】已知點F（1，0），直

2、線l:x=-1,P為坐標(biāo)平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且 求動點P的軌跡方程C.學(xué)后反思 當(dāng)動點所滿足的條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系或這些幾何條件簡單明了易于表達時，只要將這種關(guān)系“翻譯”成含x、y的等式就能得到曲線的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱之為直接法.QP QFFP FQ 分析 設(shè)P點坐標(biāo)為（x,y），再表示出Q點， , ， ， 的坐標(biāo)，直接代入滿足的條件求P點軌跡方程.QP QF FP FQ 解設(shè)動點P(x,y)，則Q(-1,y).由 ，得（x+1,0）(2,-y)=(x-1,y)(-2,y),化簡得C： QP QFFP FQ 24yx舉一反三舉一反三1. 已知

3、動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4，求點P的軌跡方程.24yx解析: 設(shè)P(x,y),則 (1)當(dāng)x3時，方程變?yōu)?, .化簡，得 (2)當(dāng)x3時，方程變?yōu)?, 化簡,得 故所求的點P的軌跡方程是 ,0 x3, ,3x4.22134xyx22134xyx 2211xyx22134xyx2217xyx2124yx 24124xyx題型二題型二 利用定義或待定系數(shù)法求曲線方程【例2】已知圓 : 和圓 ： 動圓M同時與圓 及圓 相外切.求動圓圓心M的軌跡方程.1C2231xy2C2239xy1C2C分析 設(shè)圓 半徑 ,圓 半徑 ,動圓M半徑R,則由兩圓外切性得 , (定值)0，故可

4、考慮用雙曲線定義求軌跡.1C1r2r2C11MCRr22MCRr2121MCMCrr解 設(shè)動圓M與圓 及圓 分別外切于點A和點B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得 , MA=MB, 即 這表明動點M到兩定點 、 的距離的差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到 的距離大，到 的距離小），其中a=1,c=3,則 .設(shè)點M的坐標(biāo)為（x,y）,則其軌跡方程為 (x1).1C2C11MCACMA22MCBCMB1122MCACMCBC21213 12MCMCBCAC 1C2C2C1C28b 2218yx 學(xué)后反思 解決本題的關(guān)鍵是找到動點M滿足的條件，對于兩圓相切問題，自然考慮圓心距

5、與半徑的關(guān)系.當(dāng)判斷出動點的軌跡是雙曲線的一支，且可求出a,b時，則直接寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程，這種求曲線方程的方法稱為定義法.舉一反三舉一反三2.如圖，已知線段AB=4,動圓O與線段AB切于點C，且AC-BC= .過點A、B分別作圓O的切線，兩切線相交于P，且P、O均在AB同側(cè).建立適當(dāng)坐標(biāo)系，當(dāng)O位置變化時，求動點P的軌跡E的方程.2 2解析: 以線段AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-2,0),B(2,0).設(shè)P(x,y),由已知,得PA-PB=AC-BC= 2).2 222b 22122xy題型三題型三 用相關(guān)點法求軌跡方程用相關(guān)點法求軌跡方程【例3】已知長為 的

6、線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且 求點P的軌跡方程.22APPB 12分析 由A、B兩點分別在x軸、y軸上,且 ,得P點的坐標(biāo)可以用A、B兩點的坐標(biāo)表示出來，而|AB|= ,故可求得A、B坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，再把P點的坐標(biāo)代入所求的關(guān)系式即可得到P點的軌跡方程.22APPB 12解 設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因為 又 , 所以 , 即 , 因為AB= ，即 所以 化簡得 ,故點P的軌跡方程為 22APPB 0,APxxy 0,PBx yy 022xx 022yyy02(1)2xx0(12)yy22200(12)xy22221(12)(12)

7、2xy2212xy2212xy學(xué)后反思 對涉及較多點之間的關(guān)系問題，可先設(shè)出它們各自的坐標(biāo)，并充分利用題設(shè)建立它們之間的相關(guān)關(guān)系；再對它們進行轉(zhuǎn)化和化簡，最后求出所求動點坐標(biāo)所滿足的方程.這種根據(jù)已知動點的軌跡方程，求另外一點的軌跡方程的方法稱為代入法或相關(guān)點法.舉一反三舉一反三3. 點P是圓 上的動點，O是坐標(biāo)原點，求線段OP的中點Q的軌跡.22414xy解析： 設(shè) ,Q(x,y),則 , , 是圓上的動點， 即 00,P xy02xx 02yy 02xx02yy00,xy2200414xy2224214xy221212xy題型四題型四 用參數(shù)法求軌跡方程用參數(shù)法求軌跡方程【例4】(14分)

8、設(shè)橢圓方程為 ,過點M（0，1）的直線l交橢圓于點A、B，O是坐標(biāo)原點,l上的動點P滿足 當(dāng)l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程.2214yx 12OPOAOB 分析 設(shè)出直線l的方程，和A、B兩點的坐標(biāo)，并將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，求出 , ,由 可表示出點P坐標(biāo)，再用消參法求軌跡方程.12xx12yy12OPOAOB 解 直線l過點M(0,1),當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，則l的方程為y=kx+1.1設(shè) 、 ，由題設(shè)可得點A、B的坐標(biāo) 、 是方程組 ， 的解. 將代入并化簡,得 ,4則 8 11,A x y22,B xy11,x y22,xy22114ykxyx22(4)230kxkx

9、1221222484kxxkyyk 于是 10設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,y）,則 消去參數(shù)k,得 (y0) .12當(dāng)直線l的斜率不存在時，可得A、B的中點坐標(biāo)為原點（0，0），也滿足方程，所以點P的軌跡方程為 .1412122214,22244xxyykOPOAOBkk 22444kxkyk2240 xyy2240 xyy學(xué)后反思 本題運用了參數(shù)法求軌跡.當(dāng)動點P的坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系不易建立時，可適當(dāng)?shù)剡x取中間變量t,并用t表示動點的坐標(biāo)x、y，從而得到動點軌跡的參數(shù)方程 消去參數(shù)t，便可得到動點P的軌跡方程.其中應(yīng)注意方程的等價性和參數(shù)t與動點P(x,y)關(guān)系的密切性. xf tyg t舉一

10、反三舉一反三4. 過拋物線 的頂點O引兩條互相垂直的直線分別與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡方程.解析： 由題意知，兩直線的斜率都存在.設(shè)直線OA的斜率為k，則OA:y=kx,OB: 由 得 同理由 得 設(shè)P(x,y),則 24yx1yxk 24ykxyx244,Akk214yxkyx 24, 4Bkk221212xkkykk由2-2，得 即 故線段AB的中點P的軌跡方程為 2y28x 228yx228yx易錯警示易錯警示【例】過點P(0,-2)的直線l交拋物線 于A、B兩點，求以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形OAMB的頂點M的軌跡方程.24yx錯解 如右圖，設(shè)M(x,y),

11、, ,直線l的方程為y+2=kx,即y=kx-2.由 消去y，得 11,A x y22,B xy224ykxyx224140k xkx錯解分析 直線l與拋物線交于不同的兩點A、B,則l的斜率一定存在且受有兩個交點的限制，故應(yīng)由此確定k的取值范圍，錯解中忽視了k的取值范圍，導(dǎo)致錯誤. , 四邊形OAMB為平行四邊形, 消去k，得 點M的軌跡方程為 12241kxxk1224x xk121244yyk xxk12212414kxxxkyyyk2241yx2241yx正解 設(shè)M(x,y), , ，直線l的方程為y+2=kx，即y=kx-2(k0).由 消去y,得 11,A x y22,B xy224

12、ykxyx224140k xkx24yx222411616 210124241kkkkykyx , 又四邊形OAMB為平行四邊形， 消去k,得 又l與拋物線 交于不同兩點A、B, 解得 且k0,又 ,y0.綜上,M點的軌跡方程為 (y0).12241kxxk1224x xk121244yyk xxk12212414kxxxkyyyk2241yx22411616 210kkk 12k 4yk2241yx考點演練考點演練10. 已知點Q是曲線 上的動點，點A的坐標(biāo)為(1,0),求線段QA的中點P的軌跡方程.2yx解析： 設(shè)P(x,y),Q(x0,y0),則由中點坐標(biāo)公式，得 解得 點Q在曲線 上，

13、 ,化簡得 00122xxyy00212xxyy2yx200yx2221yx2122yx11. 若直線y=kx+b交拋物線 于A、B兩點，已知|AB|= ,線段AB的中點縱坐標(biāo)等于-5,求k,b的值.2xy 4 5解析: 由 得 設(shè) , ,則 .又 ,即 .由，得 ,代入，得 1212xxkx xb 222212121222114ABxxyykxxkkb221480kkb21222xxkykxbkbb 中中252kb 22100kb2210bk4219600kk2ykxbxy 11,A x y22,B xy20 xkxb 或 k=2, b=-3或 k= b= .經(jīng)檢驗均符合要求.24k 215k 155212. 如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2,0),AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0,點T（-1，1）在AD邊所在直線上.（1）求AD邊