直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體

1、考無憂論壇 www.kaowuyou.,com 免費(fèi)注冊(cè)、免費(fèi)下載直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體一、知識(shí)結(jié)構(gòu)一、判定兩線平行的方法1、 平行于同一直線的兩條直線互相平行2、 垂直于同一平面的兩條直線互相平行3、 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和交線平行4、 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行5、 在同一平面內(nèi)的兩條直線，可依據(jù)平面幾何的定理證明二、 判定線面平行的方法1、 據(jù)定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)2、 如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則這條直線和這個(gè)平面平行3、 兩面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于

2、另一個(gè)平面4、 平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于該平面5、 平面外的一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面平行，則也平行于另一個(gè)平面三、判定面面平行的方法由定義知：“兩平行平面沒有公共點(diǎn)”。 由定義推得：“兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的直線必平行于另一個(gè)平面。 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行”。 一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。 夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。 經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面和已知平面平行。四、面面平行的性質(zhì)1、兩平行平面沒有公共點(diǎn)2、兩平面平行，則一個(gè)平面上的任一直線平行于另

3、一平面3、兩平行平面被第三個(gè)平面所截，則兩交線平行4、 垂直于兩平行平面中一個(gè)平面的直線，必垂直于另一個(gè)平面五、判定線面垂直的方法1、定義：如果一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，則線面垂直2、如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線垂直，則線面垂直3、如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面4、一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面5、如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面5、 果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么它們的交線垂直于另一個(gè)平面六、判定兩線垂直的方法1、 定義：成角2、 直線和平面垂直，則該線與平面內(nèi)任一直

4、線垂直3、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直4、 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直5、 一條直線如果和兩條平行直線中的一條垂直，它也和另一條垂直七、判定面面垂直的方法1、 定義：兩面成直二面角,則兩面垂直2、 一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面垂直于另一平面八、面面垂直的性質(zhì)1、 二面角的平面角為2、 在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個(gè)平面3、 相交平面同垂直于第三個(gè)平面，則交線垂直于第三個(gè)平面九、各種角的范圍 1、異面直線所成的角的取值范圍是： 2、直線與平面所成的角的取值范圍是：

5、3、斜線與平面所成的角的取值范圍是： 4、二面角的大小用它的平面角來度量；取值范圍是： 十空間角的計(jì)算：總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力1.異面直線所成角的求法：（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；2.直線

6、與平面所成的角斜線和平面所成的是一個(gè)直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵；3.而求二面角alb的平面角（記作q）通常有以下幾種方法：(1) 根據(jù)定義；(2) 垂面法： 過棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面g，設(shè)gaOA，gbOB，則AOBq(圖1)；(3) 三垂線法：利用三垂線定理或逆定理，過一個(gè)半平面a內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個(gè)平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則ACBq 或ACBpq(圖2)；(4) 設(shè)A為平面a外任一點(diǎn)，ABa，垂足為B，ACb，

7、垂足為C，則BACq或BACpq(圖3)；(5) 射影法： 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F(xiàn)在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S¢，則cosq. 圖 1 圖 2 圖 3ABCNMPQ例1、在三棱錐P-ABC中，APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。BACDD1A1B1C1EF例2、如圖，ABCD-A1B1C1D1是正方體，E是CC1的中點(diǎn)，求二面角B-B1E-D的余弦值。例3、在平面角為600的二面角-l-內(nèi)有一點(diǎn)P，P到、分別為PC=2cm,PD=3cm,則（1）垂足的連線CD等于多少？（2）P到棱l的距離為多少？ PEDClABCB1C1A

8、1NQ例4、直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直線B1C與平面ABC成300角，求二面角B-B1C-A的正弦值。十一.空間的距離問題：即點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點(diǎn)到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個(gè)平行平面之間的距離，其中點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、點(diǎn)到平面的距離是基礎(chǔ)，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進(jìn)行計(jì)算；（2）求點(diǎn)到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；（3）求點(diǎn)到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直的性質(zhì)來作點(diǎn)到面的垂線段，因此，確定已知面的

9、垂面是關(guān)鍵；二是不作點(diǎn)到面的垂線段，轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；求距離的一般方法和步驟是：一作作出表示距離的線段；二證證明它就是所要求的距離；三算計(jì)算其值此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離十二、歐拉公式:如果簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，面數(shù)F，棱數(shù)E，那么V+F-E2.計(jì)算棱數(shù)E常見方法：(1)EV+F-2；(2)E各面多邊形邊數(shù)和的一半；(3)E頂點(diǎn)數(shù)與共頂點(diǎn)棱數(shù)積的一半。（4）多面體的內(nèi)角和為：(V-2)3600=(E-F) 3600十三、經(jīng)緯度及球面距離：根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個(gè)二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個(gè)線面角的度數(shù)，設(shè)BMAOAOSNBP球O的地軸

10、為NS，圓O是0°緯線，半圓NAS是0°經(jīng)線，若某地P是在東經(jīng)120°，北緯40°，我們可以作出過P的經(jīng)線NPS交赤道于B，過P的緯線圈圓O1交NAS于A，那么則應(yīng)有：AO1P=120°(二面角的平面角) ，POB=40°（線面角）。兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長(zhǎng)，求球面上兩點(diǎn)A、B間的距離求法：（1）計(jì)算線段AB的長(zhǎng)，（2）計(jì)算球心角AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算劣弧AB的長(zhǎng)；例如，可以循著如下的程序求A、B兩點(diǎn)的球面距離。十四、三角形的心1、內(nèi)心：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)線段AB的長(zhǎng) AOB的弧度數(shù)

11、大圓劣弧AB的長(zhǎng)2、外心：外接圓的圓心，垂直平分線的交點(diǎn)3、重心：中線的交點(diǎn)4、垂心：高的交點(diǎn)十三、面積和體積 1、 2、 3、 4、面積比是相似比的平方，體積比是相似比的立方5、(s為直截面面積) 斜三棱柱的體積公式：6、 7、 十四、其它.1、關(guān)于等邊三角形，邊長(zhǎng)為a ，其內(nèi)切圓半徑為r ,外接圓半徑為R,則r與a，R與a ，R與r的關(guān)系分別為 該三角形的面積S= 。2、邊長(zhǎng)為a的正四面體中，側(cè)棱與底面所成的角的一個(gè)三角函數(shù)值為 側(cè)面與底面所成的余弦值為 ，頂點(diǎn)到對(duì)面的距離為 ，該四面體的體積為 。3、 棱錐的各側(cè)面與底面所成的角相等，記為，則S側(cè)cos=S底；4、 三余弦公式？其中為線面

12、角，為斜線與平面內(nèi)直線所成的角，5、已知:長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2; 6、正方體和長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于其體對(duì)角線長(zhǎng)；7、求多面體體積的常規(guī)方法是什么？（割補(bǔ)法、等積變換法）練習(xí)：D1O1A1B D AB1CC11、如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，點(diǎn)A1在底面的射影O在AB上，已知側(cè)棱A1A與底面ABCD成450角，A1A=a。求二面角A1-AC-B的平面角的正切值。（答案：）PBBCDAA2、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABC=900，AB=a,AD=3a,sinADC=,又PA平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的大小。（答案：arctg）A1