數(shù)學(xué)建模(航空公司的預(yù)定票策略)

1、3 適用范圍交易凈利潤法通常適用于有形資產(chǎn)的購銷、轉(zhuǎn)讓和使用，無形資產(chǎn)的轉(zhuǎn)讓和使用以及勞務(wù)提供等關(guān)聯(lián)交易。4 舉例案例：外國A公司制造組裝消費性產(chǎn)品營銷全球，其在我國境內(nèi)受控B公司，進口該產(chǎn)品且以A公司品牌在我國配銷。 B公司2011-2013年度資料如下：損益科目201120122013平均銷貨凈額450,000 560,000 550,000 520,000 銷貨成本333,000 422,400 400,000 385,133 營業(yè)費用80,000 110,000 154,600 114,867 營業(yè)凈利37,000 27,600 -4,600 20,000 解析：依可比較原則，選定與受

2、測個體及受測活動與B相似的C、D、E 、F 、G 、H 、I之交易數(shù)據(jù)作為可比較非受控交易。B執(zhí)行為配銷功能，選定以銷售凈利率為利潤率指標。計算可比較非受控交易之平均銷售凈利率平均銷售凈利率=2011年度至2013年度凈利總和/2011年度至2013年銷售總和產(chǎn)生常規(guī)交易范圍我們的隊號為： 11 2. 數(shù)學(xué)0901 王璐璐 評閱編號：分配常規(guī)利潤1018假設(shè)僅執(zhí)行制造功能之可比較非受控制造商可賺得制造成本之 10% 2009.02 另僅執(zhí)行經(jīng)銷功能之可比較非受控經(jīng)銷商可賺得銷貨凈額之6%甲制造常規(guī)利潤=40,000x10%=4,000乙經(jīng)銷常規(guī)利潤=200,000x6%=12,000按甲和乙對

3、研發(fā)及營銷等無形資產(chǎn)之貢獻度分配剩余利潤。假設(shè)研發(fā)及營銷無形資產(chǎn)利潤之貢獻度相近，采用甲之研發(fā)費用及乙之營銷費用占二者費用總和之比例分配剩余利潤尚屬合理。甲剩余利潤分配 額=34,000x40,000/(40,000+40,000=17,000乙剩余利潤分配 額948利潤調(diào)整2009.03 甲公司9722007.11 10,000 916參賽隊員：1. 電子0903 E 剩余利潤=50,000-(4,000+12,000=34,000可比較未受控配銷商 C D E F G H I 11-13平均營業(yè)凈利率 3.20%4.50%4.70%4.80%5.00%6.70%9.00%B公司91-93年

4、平均銷貨凈額 520,000520,000520,000520,000520,000520,000520,000可比較營業(yè)利潤 16,64023,40024,44024,96026,00034,84046,800數(shù)學(xué)建模競賽承諾B2013年平均凈利為20,000元，在常規(guī)交易范圍外，視為不符合常規(guī)我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。A 我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。公司未遇有商業(yè)循環(huán)、產(chǎn)品周期

5、或市場占有率策略等情形我們參賽選擇的題號是（從A/B中選擇一項填寫）：可比較非受控配銷商3. 數(shù)學(xué)0901 張樂孝 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人：數(shù)模組13年凈利率日期：3%年 8 月 10 日4%4.50%4.70%.數(shù)學(xué)建模競賽編 號 用 頁B公司13年銷額550,000550,000評閱記錄：閱550,00025,85033,00013可比較營業(yè)利潤550,000550,000評550,00016,50022,00024,75027,50030,250按可比較利潤之中位數(shù)25,850元調(diào)整，則調(diào)增數(shù)為30,450元(虧損4,600+25,850B 假設(shè)B公司遇有商業(yè)循環(huán)、產(chǎn)品周期或市場占有

6、率策略等情形9% 價格隨時間呈周期性變化，每過一個周期按可比較利潤之中位數(shù)26,400元調(diào)整，則調(diào)增數(shù)為元(虧損4,600+26,400小時內(nèi)取消預(yù)訂會沒收全部訂金。對此，我們分情況討論。由概率分布知識可得利潤6 (PSM1 (1 所得稅法實施條例M2號文中的定義：根據(jù)企業(yè)與其關(guān)聯(lián)方對關(guān)聯(lián)交易合并利潤的貢獻計算各自應(yīng)該分配的利潤額。利潤分割法分為一般利潤分割法和剩余利潤分割法。一般利潤分割法根據(jù)關(guān)聯(lián)交易各參與方所執(zhí)行的功能、承擔(dān)的風(fēng)險以及使用的資產(chǎn)，確定各自應(yīng)取得的利潤。剩余利潤分割法將關(guān)聯(lián)交易各參與方的合并利潤減去分配給各方的常規(guī)利潤的余額作為剩余利潤，再根據(jù)各方對剩余利潤的貢獻程度進行分配

7、。一、問題重述可比性分析特別考慮航空公司對機票一般采取預(yù)定策略?？蛻艨梢酝ㄟ^電話或互聯(lián)網(wǎng)預(yù)定，這種預(yù)定具有很大的不確定性，客戶很可能由于各種原因取消預(yù)定。航空公司為了爭取最大利潤，一方面要爭取客戶，另一方面要降低因客戶取消預(yù)定遭受的損失。為此，航空公司采用一些措施。首先，要求客戶提供信用卡號，預(yù)付一定數(shù)量的定金。如果客戶在飛機起飛前48小時內(nèi)取消預(yù)定，定金將如數(shù)退還，否則定金將被沒收。其次，航空公司采用變動價格，根據(jù)市場需求情況調(diào)整機票價格，一般來說旺季機票價格比較高，淡季價格略低。利潤分割法通常適用于各參與方關(guān)聯(lián)交易高度整合且難以單獨評估各方交易結(jié)果的情況。4 舉例案例：我國甲公司研發(fā)、制造

8、一消費性產(chǎn)品，經(jīng)由國外受控乙公司營銷全球。分析甲、乙公司在受控交易中所執(zhí)行之功能，甲公司負責(zé)研發(fā)及制造，乙公司則負責(zé)配銷至各零售商并擁有全球營銷之無形資產(chǎn)。甲、乙兩公司給出了某某航空公司某條航線年度財務(wù)資料如下評分備注可比較非受控配銷商DECHFIG4.70%4.80%5.00%6.70%B公司13年銷額550,000預(yù)測機票價格和預(yù)定數(shù)量限額最優(yōu)問題550,000摘要550,000問題。建立了兩個模型：分別用來預(yù)測機票的未來價格和求機票的預(yù)定限額。550,0002005月2010年3月期間，每月經(jīng)濟艙機票平均價格(單位:元17,600數(shù)據(jù)，通過24,750用函數(shù)去擬合，所得函數(shù)即為機票預(yù)訂價

9、格的數(shù)學(xué)模型?？杀硎緸椋?6,40027,500+a5*exp(-(x-b5/c52 + a6*exp(-(x-b6/c6236,85049,500機票預(yù)定價格的數(shù)學(xué)模型即為月期間，每月經(jīng)濟艙機票平均價格 ( 銷貨凈額:元，用模型說明價格變動的規(guī)律，并據(jù)此估計未來一年內(nèi)的經(jīng)濟艙機票的參考價格。收集更多的數(shù)據(jù)來佐證模型的價值（要求注明出處）。座，經(jīng)濟艙 表某航空公司某條航線794794營銷費用年10月201040,0002013年度年10甲公司2010乙公司（200,000）在旺季，航空公司往往可以預(yù)定出超過實際座位數(shù)的機票數(shù)原料、人工, 萬一屆時有超出座位數(shù)的客戶出現(xiàn)40,000航空公司要通過

10、升級機票檔次或賠款來解決糾紛, . 進貨00, 100,000年40,0002007.06研發(fā)費用40,0002008.12804其它營業(yè)費用2006.0148220,000營業(yè)凈利2009.0110,000解析：整體利潤2007.082013年度902乙公司分配常規(guī)利潤4,0002007.10101617,0002009.0417,0002006.0529,000720財務(wù)資料利潤額40,00011,0002009.05-11,000各種轉(zhuǎn)讓定價方法適用范圍匯總?cè)缦拢宏P(guān)聯(lián)交易類型可比非受控價格法（CUP2009.06再銷售價格法(RPM成本加成法 (CPLM交易凈利潤法872利潤分割法(PS

11、M有形資產(chǎn)的購銷、轉(zhuǎn)讓、使用8022008.04無形資產(chǎn)的轉(zhuǎn)讓和使用-資金融通8722006.12672-2008.06-8782009.12796-2007.017322008.07（表示適用，-2007.026622008.0811002010.028082007.037802008.099782010.03856二、背景航空公司訂座的特點是：旅客可以在飛機起飛前一百多天里向購票處或航空公司訂票，由于離飛機起飛時間較長，以及旅客行為的不確定性，往往航空公司會售出超過實際座位數(shù)的票數(shù)，即超售。在訂座決策中，航空公司面臨2種風(fēng)險：空座風(fēng)險和超售風(fēng)險，以航班客座容量為臨界點，如果超售的結(jié)果（即實

12、際到達機場的已預(yù)定座位的旅客人數(shù)）少于航班容量，會造成座位剩余，這就是空座風(fēng)險；如果決策結(jié)果多于航班容量，造成有些旅客被拒絕登機，從而帶來超售風(fēng)險，合理的超售可以減少空位損失，但要確定合理的超售數(shù)額，卻是十分困難的。超售是航空公司收益管理的一項重要內(nèi)容，這是解決所謂的No Show問題，提高航空公司效益的重要技術(shù)手段，同時也有許多理論問題甚至法律問題需要研究。在實際航運中，航空公司發(fā)現(xiàn)經(jīng)常發(fā)生已購票的乘客沒有乘機（叫做No Show），使得一些座位空著虛飛，而一些想旅行的和一些有急事臨時到達機場（ 叫做Co Show）的旅客卻因購不到票而不能成行，這不僅浪費了航空公司的生產(chǎn)資源，同時也浪費了社

13、會資源。根據(jù)對歷史銷售和離港數(shù)據(jù)進行分析，可以預(yù)測旅客的No Show率和Co Show率，然后確定超售率進行機票銷售。這樣做不但可以充分利用熱線航班的座位，提高航空公司的收益，同時也使得其他想乘機旅行人員能夠成行，可以說是各方都受益的好事。德國漢莎航空公司在超售方面所做的工作非常出色，每年能為公司多創(chuàng)造5%的收益。因此對超售的研究一直為航空公司所重視。但超售預(yù)測不可能十分準確，因此可能發(fā)生所謂的DB（Denied Boarding）問題，即實No Show率低于Co Show率時，便發(fā)生了已購票并來乘機的旅客上不了飛機的問題。這常常引起旅客的不滿甚至航空公司與旅客的沖突，航空公司采取補償DB

14、旅客以化解矛盾的做法，但這樣的補償常常是機票價格的兩倍以上。發(fā)生DB，航空公司的成本迅速上升，這也是航空公司不愿意看到的。因此超售是一把雙刃劍，如何解決好No Show率和DB這一對矛盾，一直是航空公司和學(xué)術(shù)界都十分關(guān)心的問題。目前研究的較多的是機票超售模型是靜態(tài)的。對于一個航班從開始銷售之日到飛機起飛時，超售的數(shù)量保持不變。這樣將完全忽略機票實際銷售情況。超售實際上完全溶于機票銷售過程中。在機票銷售過程中，航空公司的訂座系統(tǒng)一面接受旅客的訂票，一面接受旅客的取消訂票或是改簽其他航班。顯然機票的預(yù)定速度應(yīng)大大超過取消速率，在飛機起飛前某時刻將達到或接近飛機的容量，此時航空公司就將面臨超售問題。

15、一般來說，航空公司可以控制訂票的流量，當已定機票超過理想的數(shù)量時，就不再接受訂票的請求。但是由于訂票需求的不確定性，目前被拒絕的需求未來不再出現(xiàn)，而未來的取消還繼續(xù)發(fā)生，則到飛機起飛時將產(chǎn)生空座，造成航班收益下降。因此機票的超售是一個動態(tài)的決策過程。這一過程依賴于當前的銷售狀態(tài)，未來的需求分布，機票取消分布和起飛時的NO-SHOW率、三、符號說明r飛行費用（為常數(shù)）飛機頭等艙容量（為常數(shù)）飛機經(jīng)濟艙容量（為常數(shù)）頭等艙機票價格（為常數(shù)）經(jīng)濟艙機票價格（為常數(shù)）頭等艙預(yù)定票數(shù)量的限額（為常數(shù)）經(jīng)濟艙預(yù)定票數(shù)量的限額（為常數(shù)）每位乘客沒來登機且未在48小時之前取消訂票的概率頭等艙中定了票沒有登機的

16、乘客經(jīng)濟艙中定了票沒有登機的乘客每位頭等艙被擠掉者獲得的賠償金（為常數(shù)）每位經(jīng)濟艙被擠掉者獲得的賠償金（為常數(shù)）S平均利潤機票訂金占機票價格的比重X月份，初始值為x=1，四、模型假設(shè)1、各位乘客是否按時前來登機是相互獨立的（這適用于單獨行動的商人、游客）。2、每趟飛機預(yù)定票數(shù)量都大于飛機的實際座位數(shù)。3、飛行費用與乘客人數(shù)無關(guān)，為一個固定的常數(shù)。4、頭等艙與經(jīng)濟艙顧客未按時取消訂票的概率相等五、問題分析與建立模型（1）方法一：分析：由所給數(shù)據(jù)，用Matlab軟件來擬合函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)來預(yù)測經(jīng)濟艙機票的參考價格。記2005年10月份為x=1，則05年11月份為x=2，以此類推。即：2005年10

17、月為第一個月份，如：x=10，則表示06年7月擬合結(jié)果如下：由求解報告得知：數(shù)學(xué)模型為：f(x=a1*exp(-(x-b1/c12+a2*exp(-(x-b2/c22+a3*exp(-(x-b3/c32+a4*exp(-(x-b4/c42+a5*exp(-(x-b5/c52 + a6*exp(-(x-b6/c62a1=258.1 (-4931, 5447b1=11.84 (-21.32, 45c1=5.754 (-30.07, 41.58a2=-763.3 (-4.991e+006, 4.989e+006b2=9.738 (-2804, 2823c2=35.18 (-6.951e+004, 6

18、.958e+004a3=1400 (-7.956e+004, 8.236e+004b3=27.96 (-3.621, 59.55c3=6.392 (-96.3, 109.1a4=1255 (-3.937e+005, 3.962e+005b4=61.28 (-1.531e+010, 1.531e+010c4=1.48e+004 (-2.162e+012, 2.162e+012a5=-3.035e+008 (-2.53e+013, 2.53e+013b5=162 (-7.08e+005, 7.083e+005c5=29.06 (-1.042e+005, 1.043e+005a6=-1285 (-9

19、.511e+004, 9.254e+004b6=28.36 (20.3, 36.43c6=4.848 (-32.56, 42.25Goodness of fit:SSE: 2.234e+005R-square: 0.8267Adjusted R-square: 0.7448RMSE: 78.78置信度為：95%。根據(jù)模型,由Matlab軟件求得未來一年經(jīng)濟艙機票參考價格如下表所示：時間價格2010.047162010.056142010.064802010.073072010.08852010.09-1982010.102010.112010.122011.012011.022011.03預(yù)測

20、的機票價格從2010年9月起變成了負數(shù)，顯然與實際不符合，所以該模型并不能幫助我們解決實際問題。方法二：分析：我們產(chǎn)用最小二乘法中趨勢外推法的周期波動模型來解題。季節(jié)型時間數(shù)列以日歷時間為波動周期；循環(huán)型時間數(shù)列波動周期往往大于一年，且不穩(wěn)定。盡管兩者有所區(qū)別，但都呈周期性波動，因此宜以正弦曲線為基礎(chǔ)，經(jīng)修正波幅與周期擬合波動規(guī)律。正弦曲線預(yù)測模型的一般形式為：只要對已知數(shù)據(jù)按上述各項要求加工填入以后，求解六元一次方程組，得，代入預(yù)測方程即可開始預(yù)測。用Matlab軟件求出此問題中模型的系數(shù)。具體程序見附錄一解得系數(shù) 則未來一年內(nèi)的經(jīng)濟艙機票的參考價格可按如下模型計算用此模型我們得出的模型曲線

21、如下 （紅色折線為實際票價走勢，藍色為通過計算得到的模型曲線）用Matlab軟件根據(jù)模型給出未來一年內(nèi)的經(jīng)濟艙機票的參考價格（具體程序見附錄二）時間價格2010.049892010.0510652010.0611372010.0711872010.0812042010.0911842010.1011342010.1110692010.1210092011.019702011.029682011.031002比較方法二與方法一，顯然用方法一所求的模型十分繁雜，具體計算時又非常得不方便。而方法二所求的的模型簡潔明了，便于計算，且置信度較高。所以舍棄方法一所求模型。綜上所述：機票預(yù)定價格的數(shù)學(xué)模型為

22、：（2）分析：開展預(yù)定票業(yè)務(wù)時，對于一次航班，若公司限制預(yù)定票的數(shù)量恰好等于飛機的容量，那么由于總會有一些定了機票的乘客很可能由于各種原因取消預(yù)定不按時前來登機，致使飛機因不滿員飛行而利潤降低，甚至虧本。所以，航空公司往往會預(yù)定出超過實際座位數(shù)的機票數(shù), 以減低客戶取消預(yù)定時航空公司的損失。然而，這樣做也存在著潛在的風(fēng)險：當持票前來的乘客超過飛機容量時，必然會引起那些不能飛走的乘客（本文簡稱被擠掉者）的抱怨，公司不管如何補救，也會導(dǎo)致聲譽受損和一定的經(jīng)濟損失（如客源減少，付給一定的賠償金等）。所以，航空公司必須綜合考慮經(jīng)濟利益和社會聲譽，確定預(yù)定票數(shù)量的最佳限額。建立模型：1、公司的經(jīng)濟利益可

23、以用平均利潤S來衡量，每次航班的利潤S為機票收入扣除飛行費用和可能發(fā)生的賠償金再加上一部分乘客因為沒有在48小時之前取消訂票而交上的訂金。設(shè)：頭等艙中預(yù)定出了張票，飛機起飛時，有位沒有按時前來登機。經(jīng)濟艙中預(yù)定出了張票，飛機起飛時，有位沒有按時前來登機,且每位客戶在48小時之前便取消預(yù)訂的概率為，于是在48小時之內(nèi)沒有取消預(yù)訂的概率，已知預(yù)交的訂金占機票價格的。頭等艙：2、公司從社會聲譽考慮，應(yīng)該要求被擠掉的乘客盡量少。而由于被擠掉者的數(shù)量是隨機的，可以用被擠掉的乘客數(shù)超過若干人的概率作為度量指標。記被擠掉的乘客數(shù)超過j人的概率為，因為被擠掉的乘客數(shù)超過j，等價于m位預(yù)定票的乘客中不按時前來登

24、機的不超過m-n-j-1人，所以：對于給定的n,j,顯然當m=n+j 時不會有被擠掉的乘客，即=0。而當m變大時單調(diào)增加。綜上，S(m和 雖然是這個優(yōu)化問題的兩個目標，但是可以將不超過某給定值作為約束條件，以S(m為單目標函數(shù)來求解。七、模型求解與結(jié)果的分析檢驗和誤差分析模型無法解析地求解，我們設(shè)定幾組數(shù)據(jù)，用matlab軟件作數(shù)值計算，結(jié)果如下，我們查閱資料，得知下列數(shù)據(jù)比較符合實際情況。設(shè)： 求得最大利潤為20.12萬元。當時求得最大利潤為21.52萬元。由于實際中有諸多因素不確定，可對超售票數(shù)造成影響（如天氣狀況對起飛成本的影響，旺季時票價產(chǎn)生不正常波動）所以通過分析和檢驗，用matla

25、b軟件計算得知，當八、模型的優(yōu)化對機票預(yù)定限額模型的優(yōu)化：考慮到不同客源的實際需求，如商業(yè)界、文藝界人士喜歡這種無約束條件的預(yù)訂票業(yè)務(wù)，他們寧愿接受更高的票價，而不按時前來登機的可能性較大；游客與按時上下班的雇員，會愿意以不按時前來登機則機票失效為代價，換取較低額的票價。所以，航空公司為了降低風(fēng)險，可以把上述第2類乘客作為基本客源，對他們降低票價，但購票時即付款，不能按時前來登機即機票作廢。設(shè)預(yù)訂票數(shù)量m中有t張是專門預(yù)售給第二類乘客的，其折扣票價為，（因為第二類乘客身份的特殊性，所以只考慮他們購買經(jīng)濟艙的情況）當m-t位第1類乘客中有k位不按時前來登機時每次航班的利潤s為（只對于經(jīng)濟艙）九、

26、模型的評價與推廣對機票預(yù)測價格模型的評價與推廣優(yōu)點：通過圖形就可以看出其價格的走勢與實際相似度很高。運用最小二乘法構(gòu)造方程組解相關(guān)系數(shù)，并全面考慮截距、波動周期、波動幅度是使其精確度較高的主要原因。運用該模型可以在實際中較為準確地估計未來機票的價格。缺點：不難發(fā)現(xiàn)每個周期過后，價格都略有增長，但實際中價格不可能永遠增長下去。而且該模型無法估計非正常的數(shù)據(jù)，比如在旺季機票的價格可能比平常會高出好幾倍，在這種情況下就很難做出準確的預(yù)測。在隨時間的增長中，誤差也會越來越大。所以在預(yù)測時可以不去考慮比較早時期的信息，只考慮要預(yù)測時間就近的30組數(shù)據(jù)這樣會提高預(yù)測的準確度。對機票預(yù)定量限額模型的評價與推

27、廣評價：模型中把頭等艙與經(jīng)濟艙的情況都做了考慮，而且是在不同的情況下做的，在基本合理的假設(shè)下對一個兩目標的問題做了簡化處理，即使這樣，得到的模型也無法解析地求解，幸而，數(shù)值計算的結(jié)果以滿足我們對問題進行分析的要求。推廣：與航空公司的預(yù)定票策略相似的事件在日常商務(wù)活動中并不少見，旅館、汽車出租公司等為爭奪顧客也可以如此處理。十、參考文獻【1】 趙 靜，但 琦， 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗（第2版），高等教育出版社，2004【2】 姜啟源，謝金星，葉 俊， 數(shù)學(xué)模型（第三版），高等教育出版社，2005【3】 陳懷琛，吳大正，高西全， MATLAB及在電子信息課程中的應(yīng)用（第2版），電子工業(yè)出版社，2003

28、 【4】鞠彥兵 馮允成 王愛華，航空客運超售風(fēng)險研究，北京航空航天大學(xué)學(xué)報，第25卷 第5期：第1頁 2002年 10月 十一、附錄附錄一x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54y=656,526,502,482,498,632,688,720,640,688,768,736,802,726,672,732,662,780,802

29、,878,794,926,1018,948,1016,916,824,738,806,872,894,966,878,1028,1100,978,1068,996,804,794,832,902,972,1014,916,986,1124,948,1056,872,796,884,808,856x1=xx2=cos(pi.*x/6x3=sin(pi.*x/6x4=x.*cos(pi.*x/6x5=x.*sin(pi.*x/6A=54,sum(x1,sum(x2,sum(x3,sum(x4,sum(x5;sum(x1,sum(x1.*x1,sum(x1.*x2,sum(x1.*x3,sum(x1

30、.*x4,sum(x1.*x5;sum(x2,sum(x1.*x2,sum(x2.*x2,sum(x2.*x3,sum(x2.*x4,sum(x2.*x5;sum(x3,sum(x1.*x3,sum(x2.*x3,sum(x3.*x3,sum(x3.*x4,sum(x3.*x5;sum(x4,sum(x1.*x4,sum(x2.*x4,sum(x3.*x4,sum(x4.*x4,sum(x4.*x5;sum(x5,sum(x1.*x5,sum(x2.*x5,sum(x3.*x5,sum(x4.*x5,sum(x5.*x5b=sum(y;sum(x1.*y;sum(x2.*y;sum(x3.*y;sum(x4.*y