2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-第5節(jié)橢圓(第2課時(shí))直線與橢圓講義(理)(含解析)新人教A版

1、13第2課時(shí)直線與橢圓考慮聚焦突破考點(diǎn)一中點(diǎn)弦及弦長問題多維探究 角度1中點(diǎn)弦問題X F1, F2,且點(diǎn)F1到橢圓C上任意一點(diǎn)的最大距離為 3,橢圓C的離心率為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)是否存在斜率為一1的直線l與以線段F1F2為直徑的圓相交于 A, B兩點(diǎn)，與橢圓相交于2【例11】 已知橢圓-+y2= 1,(1)過A(2 , 1)的直線l與橢圓相交，求l被截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程；1 1、， 一 (2)求過點(diǎn)P2, 2且被P點(diǎn)平分的弦所在直線的方程 .解(1)設(shè)弦的端點(diǎn)為P(X1,y。，Q(X2,y2),其中點(diǎn)是M(x,y),則 x?+X1 = 2x,y2+y = 2y,由于點(diǎn)P,

2、 Q在橢圓上，則有:2y+y2=1, 2”2=1,一得y2 y1X2X1X2+ X12 (y2+y1)所以一x y 12y = X-2?化簡得x2-2x+2y2-2y=0(包含在橢圓x22+ y = 1內(nèi)部的部分). x 1(2)由(1)可得弦所在直線的斜率為k=- 2y=-,一，、111 八因此所求直線方程是 y-2=-2 x-2 ,化簡得2x+ 4y3=0.規(guī)律方法弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓方程聯(lián)立、消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率 角度2弦長問題22【例1 2】 (2019 北京朝陽區(qū)模擬)已知橢圓

3、C：幻已=1(2*>0)的左、右焦點(diǎn)分別為 a bC, D,且1=873?若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由 IAB7解(1)根據(jù)題意，設(shè)Fi, F2的坐標(biāo)分別為(一c, 0), (c, 0),a+ c= 3,由題意可得 c 1a= 3解得 a= 2, c= 1,則 b2= a2- c2=3,22故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y=i.43(2)假設(shè)存在余率為1的直線l ,設(shè)為y = - x + m由(1)知R, F2的坐標(biāo)分別為(1, 0), (1 , 0),所以以線段F1F2為直徑的圓為x2+y2=1,由題意知圓心(0, 0)到直線l的距離d = |-jj1<1,得I m|&l

4、t;2.I AB = 2人1 d2 = 2y 1 2 =小 X、2 m2, 22x y .+ = 1,聯(lián)立得43 消去y,得7x8m刈4m- 12 = 0,y= - x+ m由題意得 =(8nm2 4X7(4 m12) =336 48m = 48(7 m2)>0 ,解得 m2<7,設(shè) Qx1, y1), D(x2, y2), 一，2.r8m4m-12則 x1 + x2 = >, x1x2= 7 ,8m4m212|CD = 3x1-x2|-7 -4X一7一廠/ 336 48m 4mf2 8/3=雜7 49= 7 |AB|=873x2x 必m,解得m=：<7,得m 士里.

5、33公人右兒A士 L什、工3即存在符合條件的直線l ,其方程為y=-x±23-.規(guī)律方法 1.解決直線與橢圓相交的問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題2.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 A(x1, y1) , B(x2, y2),則 iab=J(1 + k2) (x1+x2)24x1x21 + 3 (y1 + y2)2 4y1y2( k 為直線斜率).【訓(xùn)練1】（1）（22題多解）已知斜率為2的直線經(jīng)過橢圓x5 + y4=1的右焦點(diǎn)F1,與橢圓相交于A, B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（2）（ 一題多解）（2019 廣東五校調(diào)研）若橢

6、圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0, 2),直線 y =3x+ 7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為aS=112 2022咤+ 8 = 11,則這個(gè)橢圓的方程為（B.14 1222d.-8+12= 1解析（1）法一 由題意知，橢圓的右焦點(diǎn)Fi的坐標(biāo)為（1,0）,直線AB的方程為y = 2（x1),y=2 (x 1),由 V f _消去 V,得 3x2-5x=0,? + 4"=15 4故得 A(0 , 2) , B-,則3 30-3 + -2-35 .53 .法二由題意知,橢圓的右焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為（1, 0）,直線AB的方程為y=2(x- 1),2消去y得3x 5x=0,y= 2 (x1)由

7、 x(1 + 22)5 -4x0 =535.33（2）法一 二橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（0,2）, 2 y2一十 -= 15 41，設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2),，5-則 x1 + x2=W，x1x2= 0 , 3則 | AB = (x-x、)2+ ( y-y2)2=1 k x1x24x1x2=1消去x,y= 3x+ 7得(10 b2+4) y2 【例2】(2019 天津和平區(qū)質(zhì)檢)已知P點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 2),點(diǎn)A, B分別為橢圓E:/十專14( b2+4)y9b= 1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)，直線 BP交E于點(diǎn)Q MB%等腰直角三角形，且 PQ= 1qB(1

8、)求橢圓E的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)P的動直線l與E相交于 M N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn) O位于以M時(shí)直徑的圓外時(shí),求直線l斜率的取值范圍.解(1)由4AB%等腰直角三角形，得 a=2, R2 , 0).+ 13b2 + 196= 0,設(shè)直線y = 3X+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別為A(xi, yi) , B(X2, v孤 由題意知”產(chǎn)=1,14 (b2+4)一 .2 一.*+丫2=10b2+4=2,解得 b =8.所求橢圓方程為X-+-=1.8 12法二二橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),22.設(shè)橢圓的方程為 獸+3=1(b>0).b+4 b設(shè)直線y = 3x+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)分別

9、為A(xb y。，B(X2, y» ,則22y1X1b7 +產(chǎn)1，22yX27-2=1,b(y1 y2)(y1 + y2)b2+44yd y2b2+ 4b2 4一得(Xi X2)(X1 + X2)=0,Xi+ X2又弦AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,故橫坐標(biāo)為一y1 y2-k=y=3,代入上式得X1 一 X2匕1.122X13X2x (- 2)2,b4 4 丘 口 2 二什34、1X2下一，解得b2=8,故所求的橢圓方程為 -+5 .5 答案 0)亍 (2)D考點(diǎn)二最值與范圍問題卜一X易錯(cuò)警示設(shè) Qx0, yo),則由 PQ= 3QEB 得6 "=5,4 y0= 5,代入橢圓方程得

10、b2=1,X22所以橢圓E的方程為:十y2=1.4(2)依題意得，直線l的斜率存在，方程設(shè)為 y = kx-2.y = kx 2,聯(lián)立X2 . 2 ,4+y =1，消去 y 并整理得(1 +4k2)x216kx+12=0.(*)因直線l與E有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程(*)有不等的兩實(shí)根，故 = ( 16k) 2 48(1 + 4k2)>0 ,解得 k2>3.4設(shè) Mxi, y), Nx2, y2),16k x1+x2=1 + 4k2, 由根與系數(shù)的關(guān)系得12 x1x2=i+4k2,因坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MNK;直徑的圓外，所以 OM ON>0, 即 xix2+ y1y2>0,又由

11、xix2+y1y2= xix2+ (kx1一2)( kx2-2)=(1 + k2) xix2 2k( xi + x2) + 4” .，2、1216k 一=(1 + k) , 1 + 4k2 2k . 1 + 4k2+4>0，解得k2<4,綜上可得4<k2<4,則亞水及或2<k<也.22則滿足條件的斜率 k的取值范圍為 2,乎 U 喙,2 .規(guī)律方法最值與范圍問題的解題思路1 .構(gòu)造關(guān)于所求量的函數(shù)，通過求函數(shù)的值域來獲得問題的解定要深刻挖2 .構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式，通過解不等式來獲得問題的解.在解題過程中,掘題目中的隱含條件，如判別式大于零等.易錯(cuò)警示 (

12、1)設(shè)直線方程時(shí)，應(yīng)注意討論斜率不存在的情況（2）利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.、 x 八X2 23 -"人a 什一 一【訓(xùn)練2】已知RX0,y0）是橢圓C:-+y = 1上的一點(diǎn)，F(xiàn)i,F2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若PF PF2<0,則X0的取值范圍是（）A -芋，學(xué)B. -攣羋解析 由題意可知 Fi(p 0) , F2(y/3, 0),則PF- Pfc=(X0+J3)(X0«3)+y2=x0+y2 3<0.因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以 y2=1了 所以X0+ 1 3<0,解得 3-<X0<-,即X0 的取值范

13、圍是一攣，坐.3 '3答案 A思維升華通過根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)解決中點(diǎn)弦、弦長及最值與范圍問題一般利用“設(shè)而不求”的思想, 建方程求解參數(shù)、計(jì)算弦長、表達(dá)函數(shù) 易錯(cuò)防范1 .涉及直線的斜率時(shí)，要考慮直線斜率不存在的情況是否符合題意2 .求某幾何量的最值或范圍要考慮其中變量的取值范圍I核心素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算一一高考解析幾何問題中的“設(shè)而不求”1 .數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程，解析幾何正是利用數(shù)學(xué)運(yùn)算解決幾何問題的一門科學(xué).2 .“設(shè)而不求”是簡化運(yùn)算的一種重要手段，它的精彩在于設(shè)而不求，化繁為簡.解題過程中，巧妙設(shè)點(diǎn)，避免解方程組，常見類型有：（1）靈活

14、應(yīng)用“點(diǎn)、線的幾何性質(zhì)”解題； （2）根據(jù)題意，整體消參或整體代入等 類型1巧妙運(yùn)用拋物線定義得出與根與系數(shù)關(guān)系的聯(lián)系，從而設(shè)而不求22【例1】（2017 山東卷）在平面直角坐標(biāo)系 XOy中，雙曲線5-y2 = 1（a>0, b>0）的右支 a b與焦點(diǎn)為F的拋物線X2=2py（p>0）交于A, B兩點(diǎn)，若|AF|+| BF =4|OF,則該雙曲線的漸近線方程為.解析法一'設(shè)A( xa,yA),B( xb,yB),由拋物線定義可得|AF| +| BF|= yA+2+ yB+-2= 4X2 ? yA+ yB= P,X? y2由 a b '可彳導(dǎo) a2y2- 2p

15、b2y+ a2b2= o,X2 = 2py,所以yA+yB=2pb-=p,解得a=42b,故該雙曲線的漸近線方程為丫=士號. pp法二 (點(diǎn)差法)設(shè)A：刈，yO, B(X2, yz),由拋物線的定義可知 | AF = 丫1+3| BR = yz + 2,P ,P P| OF =2，由 AF| + I BF = 丫1 + 2+丫2+2=丫1+丫2 + P=4| OF = 2p,得 y1+ y2= p.22X2 X1易知直線AB的斜率kAB=X22P 2P X2+X1X2-X12p -22X1y13=1，由22 得£1,kAB=y2-yi,22b (X1 + X2) b X1+X2X2

16、X1a2 (y1+y2)，則b2.aX1 + X2X2 + X12PL b2 1'所以a= 2?P=也 - a 2,所以雙曲線的漸近線方程為y= 土乎x.答案類型2中點(diǎn)弦或?qū)ΨQ問題，可以利用“點(diǎn)差法”，“點(diǎn)差法”實(shí)質(zhì)上是“設(shè)而不求”的一種方法【例2】(1) ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線E： y2=2X上，其中 A2 , 2), 4ABC勺重心G是拋物線E的焦點(diǎn)，則BC所在直線的方程為(2)拋物線E： y2= 2x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=k(X2)對稱，則k的取值范圍是X1 + X2+211解析 (1)設(shè) B(Xi, yi) , Qx2,y2),邊 BC的中點(diǎn)為 M>o,yo),易知

17、G1,0，則yiy222'=0,X1 + X21Xo=2-=4, 從而一+y2.yo=2 = 1,1,M4, T，22 ，, 4，、y1 一 y2又 y1 = 2x1, y2= 2x2 兩式相減得(y1+y2)( y-y2) =2(X1 X2),則直線 BC的斜率 kBc= X1 X21 rryi + y22yo yo=1,故直線 BC的萬程為 y-(-1) =- X+4 ,即 4x + 4y+5 = o.(2)當(dāng)k=o時(shí)，顯然成立yi y222=-xi x2 yi + y22yo當(dāng) kwo 時(shí)，設(shè)兩對稱點(diǎn)為B(xbyi),qx2,y2),BC的中點(diǎn)為M(xo,yo),由y2 = 2x

18、i,y2 =2x2,兩式相減得(yi+y2)( yi y2)= 2(xiX2),則直線 BC的斜率 kB(,由對稱性知kBc= 點(diǎn) M在直線y=k(x2)上，所以yo= k, yo=k(xo2),所以yok xo=i.由點(diǎn)MB拋物線內(nèi)，得 y0<2xo,即(一k)2<2,所以一q2<k<42,且kw。.綜上，k的取值范圍為(-R ®5答案x+y + 4 = 0 (2)(平，山)類型3中點(diǎn)弦或?qū)ΨQ問題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證A>02【例3】 人教A版教材選修2- i»第62頁習(xí)題2.3 B組第4題：已知雙曲線x2-y2= i,過點(diǎn)Ri

19、 , i)能否作一條直線l與雙曲線交于 A, B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？解 假設(shè)存在直線l與雙曲線交于 A B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn).22 yi .xi-= i設(shè) A(xi, yi), E(x2, y2),易知 xiwx2,由22 y2*2勺=i兩式相減得(xi+x2)( xi x2)(yi + y2)2(yiy2)=0,又寧- i, j 所以2()(yi yi所以-懸=2,故直線l的方程為y- i = 2(x-i),即y=2x-i.y = 2x -1,由 2 y2 消去 y 得 2x24x+3= 0, x - = i,因?yàn)?= i624 = 8<0,方程無解，故不存在一條直

20、線l與雙曲線交于 A, B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn).類型4求解直線與圓錐曲線的相關(guān)問題時(shí)，若兩條直線互相垂直或兩直線斜率有明確等量關(guān)系，可用“替代法”，“替代法”的實(shí)質(zhì)是設(shè)而不求【例4】(20i7 全國I卷改編)已知F為拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)，過F作兩條互相垂直的 直線li, l2,直線li與C交于 A B兩點(diǎn)，直線降與。交于D, E兩點(diǎn)，則|AB + |DE的最 小值為.i _i解析 法一 由題意知，直線li, 12的斜率都存在且不為 0, F2, 0 ,設(shè)li： x= ty +-,則2y = 2x,12直線l 1的斜率為:p聯(lián)立方程得 x ty + 1消去X得y2-2ty - 1

21、= 0.設(shè) A(xi, yi) , RX2, y2),則 yi + y2= 2t , y1y2=1.所以 | AB = t 2+ 1| y1 y2| =42+ 1' (ydy2)_dyy = 2+ 1 4t 2+ 4 = 2t 之+ 2,一12，_21，同理得，用替換t可得| DE =p2+2,所以|AB +| DEf = 2 t2 + p2 +4>4+ 4=8,當(dāng)且僅當(dāng)t2 = J,即t = ±l時(shí)等號成立，故|AB+|DEf的最小值為8.1法二 由題意知，直線l1, 12的斜率都存在且不為 0, F2, 0 ,不妨設(shè)11的斜率為k,則11 ： y= k X , 12

22、： y = x . 2k 22y =2x,2k2由1 消去 y 得 k2x2(k2+ 2)x + =0,y=k x2 ,4設(shè) A(X1, y1), RX2, y2),則 X1 + X2= 1 +A- k由拋物線的定義知,| AB = X1 + X2 + 1 = 1 + -2+ 1 = 2 + J. kk一 一 一 1 . .一2 一222同理可得，用一k替換 |AB 中 k,可得 | DE = 2+2k2,所以 | AB + |DE=2 + p+2+2k2=4 + k+ 2k2>4+ 4=8,當(dāng)且僅當(dāng)722= 2k2,即k=±l時(shí)等號成立，故| AB+ | DE的最小值為8.

23、k答案 8幽提升能力I分層限時(shí)調(diào)煉基礎(chǔ)鞏固題組（建議用時(shí)：40分鐘）、選擇題22x y1 .（基礎(chǔ)題供選用）直線y = X+2與橢圓m十七=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A.(1 ,+ 0°)B.(1 , 3) U (3 , +oo)C.(3 ,+ 0°)D.(0 , 3) U(3 , +oo)y = X+ 2,解析由 X2 y2得(m+ 3) X2 + 4mx+ m= 0.+37= 1,m 3'由 >0 且 3 及 m>0 得 m>1 且3.答案 B2 22.設(shè)直線y = kx與橢圓w +三=1相交于 A B兩點(diǎn)，分別過 A, B兩點(diǎn)向x軸

24、作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則k等于()A. ±3B. ± 2C. ±-D.土2232解析 由題意可知，點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)即為焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又c=1,當(dāng)k>0時(shí)，不妨設(shè)A, 33 .一 3 一B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分力X1+X2J為(-1, yi), (1 , y2),代入橢圓方程得 yi = - - , y2=,解得k=2;同一. .3理可得當(dāng)k<0時(shí)k= 2.答案 A 3.(2019 長春二檢)橢圓4x2 + 9y2=144內(nèi)有一點(diǎn)P(3 , 2),則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為()C.-92 A.-3解析 設(shè)以P為中點(diǎn)的弦所在的直線與橢圓交于點(diǎn)A(

25、xi, yi), Rx2, y2),斜率為k,則4x2+ 9y2=144, 4x2+9y2=144,兩式相減得 4(xi+X2)( xi X2)+ 9(yi + y2)( yi y2)= 0,又 xi +X2 = 6, yi+y2=4, y"=k,代入解得 k= x xXi - X23答案 A 224.(2019 青島調(diào)研)已知橢圓C5+ 2=1(a>b>0)及點(diǎn)B(0, a),過點(diǎn)B與橢圓相切的直線 a b交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn) A, F為橢圓的右焦點(diǎn)，則/ AB三()A.60B.90C.120°D.150解析 由題意知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程y= kx+ a

26、(k>0),與橢圓方程聯(lián)立y= kx+ a,x2 y2消去 y 整理得(b2 + a2k2) x2+2ka3x+ a4- a2b2= 0,由 = (2 ka3)2 4( b2 + a2k2)( a4 a2b2) = 0,2得k=g,從而y=1+a交x軸于點(diǎn)A 0 ,又 F(c, 0),易知 BA- BF= 0,故/ ABF= 90°答案 B25.斜率為1的直線l與橢圓x+y2=1相交于A, B兩點(diǎn)，則| AB的最大值為()4A.2BY解析 設(shè)直線l的方程為y = x+1,代入:+ y* 所以12-= 1,消去y得:x2+2tx +121 = 0,由題意 44_ .2,22i8t

27、4 (1 1)知 = (21) 5(t 1)>0 即 t <5,設(shè) A(xi, yi), B(x2,y2)，則 Xi + X2= ,XiX2=5 | AB =弋(1+1) (X1+X2) 24xiX2 = 452j5-t2 < *0(當(dāng)且僅當(dāng) t = 0 時(shí)取等號).答案 C二、填空題226.已知橢圓/+看=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1 , 0),過其焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1,則橢圓方程為22解析 因?yàn)闄E圓?+看=1的右頂點(diǎn)為A(1 , 0),所以b=1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, c),因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1,所以2b2- = 1,2a= 2,所以橢圓方程

28、為y4 + x2= 1.2答案7.(2019 河南八校聯(lián)考2)已知橢圓C： X2 +a2y2= 1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為 A,經(jīng)過原點(diǎn)的直線 l b交橢圓C于P, Q兩點(diǎn),若|PQ = a, API PQ則橢圓C的離心率為解析 不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由對稱性可得|OP=2Q=a，因?yàn)锳PI PQ 所以在RtAPOA, cos / POA=照 =2,故/ POA= 60。，易得P：,工3a，代入橢圓方 程得16+豪言=1,故a2 = 5b2= 5( a2 c2),所以橢圓 C的離心率e=5.答案守8.已知橢圓的方程是 x2+2y2-4= 0,則以M1 , 1)為中點(diǎn)的

29、弦所在直線方程是 .解析 由題意知，以M1 , 1)為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b,則有 k+b= 1,即 b= 1-k,即 y=kx + (1 k),x2+ 2y24= 0,聯(lián)立方程組,一，、y= kx+ ( 1 k),則有(1 +2k2)x2+(4k-4k2)x+ (2k2 4k 2) =0,24k 一 4k7+2k2=1, 一 13斛得k=-2(滿足 >0),故b=2,13所以 y=2*+2，即 x+2y3 = 0.答案x+2y-3= 0三、解答題9.(2017 北京卷)已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為N2, 0), B(2 , 0)心率為3.(1)求橢圓C的方程；

30、(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過 D作x軸的垂線交橢圓 C于不同的兩點(diǎn) M,焦點(diǎn)在x軸上，離N,過D作AM勺垂線交BN于點(diǎn)E求證： BDE-A BDN勺面積之比為 4 : 5.(1)解2設(shè)橢圓C的方程為xHa2y b2=1(a>b>0).a= 2,由題意得c 更 解得c=M3.所以b2=a2c2= 1. a=方，b 4 "、E r x2 2所以橢圓C的方程為7+y2=1.4(2)證明設(shè) Mm n),則 D(m 0) , Nm - n).由題設(shè)知±2,且nw0.直線AM勺斜率kAg -, mu 2故直線DE的斜率kD一空二.nmi 2所以直線DE的方程為y = -(x-

31、nm.直線BN的方程為y= 2n( x2).m+ 2y=- (x m ,n聯(lián)立ny=- (x2),2 2 m'，2、口 一 "一一n (4-m)解得點(diǎn) E的縱坐標(biāo) yE= ,+支.22由點(diǎn)M在橢圓C上，得4-m=4n ,r4所以 yE= -n.51520又 Sbd-| BD , | yE| =-| BD , I n|) 2512l BD - I n|.所以 BDEW BDN勺面積之比為 4 : 5.c y2 x210.(2019 上海靜安區(qū)模擬)已知A, B分別為橢圓C： a2+ b2= 1( a>b>0)在 x 軸正牛軸、 軸正半軸上的頂點(diǎn)，原點(diǎn) O到直線AB的

32、距離為 421,且|AB =/.(1)求橢圓C的離心率；(2)直線l ： y=kx+m與圓x2+y2=2相切，并與橢圓C交于M N兩點(diǎn)，若MN=2,求k的值.解(1)由題設(shè)知，A(b, 0), B(0, a),直線AB的方程為b+ ：= 1,又| AB =弋旨+ b =甲,ab對21, a>b>0,計(jì)算得出a=2, b=<3,則橢圓C的離心率為e=yb2 1 1-a2=2.22(2)由(1)知橢圓方程為 + = 1,設(shè) Mx1, y。，N( x2, y2),則4+3=1,1t/n2消去y得，(3 ky= kx+ m+ 4)x2+6km奸3n2-12 = 0,直線l與橢圓相交，

33、則 A >0,22即 48(3 k -m+4)>0 ,2,6km3m12且 X1 + X2-3卜2+4，X1X2-3卜2+4.又直線l與圓x2+y2=2相切，則 J4n=J2,即 mi=2(k2+1).k2+1而| MN =4 + k2 ,y(x1+ x2)2 4x1x2業(yè) + 匚=48 (3k2 m+4). 23k+ 4、1 + k2 、48 (k2+2)4V3 k4+ 3k2+2=3k2+4=3k2+ 4'又|MN =挈，所以撞一耍孚至二畢73 k 十 47即5k43k22 = 0,解得k=±1,且滿足 A>0,故k的值為±1.能力提升題組22

34、x2 y211.(2019 北東東城區(qū)倜研)已知圓M (x 2)2+y2=1經(jīng)過橢圓C：萬+ = 1(n>3)的一個(gè)焦點(diǎn)，圓M與橢圓C的公共點(diǎn)為A, B,點(diǎn)P為圓M上一動點(diǎn)，則P到直線AB的距離的最大值為()B.210 4D.410-10A.2 匹-5C.4 和11 解析 易知圓M與x軸的交點(diǎn)為(1 , 0), (3,0), m- 3=1或m- 3= 9,則m= 4或m= 12.(x2) 2+y2=1,當(dāng)m= 12時(shí)，圓M與橢圓C無交點(diǎn)，舍去.所以m= 4.聯(lián)立得 x2 16x3- (8 - 2y/10) = 2干0+ 24 = 0.又*2,所以x= 82/.故點(diǎn)P到直線AB距離的最大值

35、為 -5.答案 A2212 .(2019 廣州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線x + 42y242=。與橢圓C：旨+，=1(a>b>0)相切，且橢圓C的右焦點(diǎn)F(c, 0)關(guān)于直線l： y=cx的對稱點(diǎn)E在橢圓C上，則 b OEF勺面積為()1 A.-2B-C.1D.2解析聯(lián)立方程可得消去 x,化簡得(a2+2b2)y28b2y+b2(8 a2) = 0,由A=0得2b2+a28=0.設(shè)F'為橢圓 C的左焦點(diǎn)，連接 F' E,易知F' E/l ,所以22c cF' E± EF,又點(diǎn)F到直線l的距離d=jK=g,所以| EF| = 在 RtAF EF中，甲 E|2+|EF2=|F F| 2,化簡得 2b2= a；2c _，| F'曰=2a-| EF = a2b2代入 2b2+a28=0得 b2= 2,1一a= 2 ,所以 | EF = | F 日=2 ,所以 S；AOEk 2S；A EF= 1.答案 C2213 .已知直線l ： y=kx+2過橢圓，1(a>b>0)的上頂點(diǎn)B和左焦點(diǎn)F,且被圓