高三數(shù)學第一輪總復習 11.3導數(shù)的概念及運算

1、1排列、組合、二排列、組合、二項式定理和概率項式定理和概率 第第 十十 一一 章章211.3導數(shù)的概念及運算導數(shù)的概念及運算 考考 點點 搜搜 索索瞬時速度瞬時速度切線的斜率切線的斜率邊際成本邊際成本導數(shù)的運算導數(shù)的運算高高 考考猜猜 想想以選擇題或填空題的形式考查導數(shù)的以選擇題或填空題的形式考查導數(shù)的幾何意義幾何意義.3 1. 導數(shù)的定義導數(shù)的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處附近有定義，當自處附近有定義，當自變量在變量在x=x0處有增量處有增量x時，則函數(shù)時，則函數(shù)y=f(x)相應相應地有增量地有增量y=_.如果如果x0時，時，x與與y的比的比 (也叫函數(shù)的平均變化率也叫函數(shù)的平

2、均變化率)有極有極限限(即即 無限趨近于某個常數(shù)無限趨近于某個常數(shù))，我們就把這，我們就把這個極限值叫做個極限值叫做_，記作，記作y|x=x0，即即f (x0)= .f(x0+x)-f(x0)函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù)yxyx0limxyx 4 2. 導函數(shù)導函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每點內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個處都有導數(shù)，此時對于每一個x(a，b)，都，都對應著一個確定的導數(shù)對應著一個確定的導數(shù)f (x)，從而構(gòu)成了一，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)個新的函數(shù)f (x)，稱這個函數(shù)，稱這個函數(shù)f (x)為函數(shù)為函數(shù)y=f(x)在開

3、區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，也可在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，也可記作記作y.即即 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x0處的導數(shù)處的導數(shù)y|x=x0就是函數(shù)就是函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a，b)(x0(a，b)上的導數(shù)上的導數(shù)f (x)在在x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即y|x=x0=_.f (x0)00()-( ) ( ) limlim.xxyf xxf xfxyxx 5 3. 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 (1)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0處可導，那么它處可導，那么它在該點的導數(shù)等于函數(shù)所表示的曲線在相應在該點的導數(shù)等于函數(shù)所表示的曲線在相應點點M(x0，f(x0)處的處的_. (2

4、)設(shè)設(shè)s=s(t)是位移函數(shù)，則是位移函數(shù)，則s(t0)表示物表示物體在體在t=t0時刻的時刻的_. (3)設(shè)設(shè)v=v(t)是速度函數(shù)，則是速度函數(shù)，則v(t0)表示物表示物體在體在t=t0時刻的時刻的_. (4)設(shè)設(shè)c是成本，是成本，q是產(chǎn)量，若是產(chǎn)量，若c=c(q)，則，則c(q0)表示產(chǎn)量表示產(chǎn)量q=q0時的時的_.切線斜率切線斜率瞬時速度瞬時速度加速度加速度邊際成本邊際成本6 4. 幾種常見函數(shù)的導數(shù)幾種常見函數(shù)的導數(shù) (1)C為常數(shù)，則為常數(shù)，則C=_; (2)(xn)=_. 5. 求導法則求導法則 如果如果f(x)，g(x)有導數(shù)，那么有導數(shù)，那么 f(x)g(x)=_； Cf(x

5、)= _. 盤點指南：盤點指南：f(x0+x)-f(x0); 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在在x=x0處的導數(shù)處的導數(shù); f (x0); 切線斜率；切線斜率； 瞬時速度；加速度；邊際成本；瞬時速度；加速度；邊際成本；0; nxn-1; f (x)g(x); Cf (x).0nxn-1f (x)gCf (x)7 如果質(zhì)點如果質(zhì)點M按規(guī)律按規(guī)律s=3+t2運動，則在一小運動，則在一小段時間段時間2,2.1中，相應的平均速度是中，相應的平均速度是( ) A. 4 B. 4.1 C. 0.41 D. 3 解解: . 選選B.B22(32.1 )-(32 )4.12.1-2svt8 若函數(shù)若函數(shù)f(x)=2x2

6、-1的圖象上一點的圖象上一點P(1,1)及及鄰近一點鄰近一點Q(1+x,1+y)，則，則 =( ) A. 4 B. 4+2x C. 4+x D. 4x+(x)2 解：解： . 選選B. Byx22(1)- (1)2(1) -1 -(2 1 -1) 4 2yfxfxxxxx 9 若存在過點若存在過點(1,0)的直線與曲線的直線與曲線y=x3和和 都相切，則都相切，則a等于等于( ) A. -1或或 B. -1或或 C. 或或 D. 或或7 215-94yaxx25642147474256410 解解:設(shè)過設(shè)過(1,0)的直線與的直線與y=x3相切于相切于點點(x0, )， 所以切線方程為所以切線

7、方程為y- =3 (x-x0)， 即即y=3 x-2 . 又又(1,0)在切線上，則在切線上，則x0=0或或x0= . 當當x0=0時，由時，由y=0與與 相切可得相切可得a= ， 當當x0= 時，由時，由y= x- 與與 相切可得相切可得a=-1，所以選，所以選A. 30 x30 x30 x20 x20 x32215-94yaxx215-94yaxx25643227427411 1. 求下列函數(shù)的導數(shù)：求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y=(2x3-1)(3x2+x); (2)y=3(2x+1)2-4x. 解：解：(1)因為因為y=6x5+2x4-3x2-x， 所以所以y=(6x5+2x4-3x2-

8、x)=30 x4+8x3-6x-1. (2)因為因為y=3(4x2+4x+1)-4x=12x2+8x+3， 所以所以y=(12x2+8x+3)=24x+8.題型題型1 求可導函數(shù)的導數(shù)求可導函數(shù)的導數(shù)12 點評：點評：求多項式型函數(shù)的導數(shù)按求多項式型函數(shù)的導數(shù)按各項分別求導即可，如果不是最簡形各項分別求導即可，如果不是最簡形式，則按整式的運算法則先化簡成多式，則按整式的運算法則先化簡成多項式，注意去括號時易出現(xiàn)漏項、符項式，注意去括號時易出現(xiàn)漏項、符號變錯等錯誤號變錯等錯誤. 13 函數(shù)函數(shù)y=(x+2a)(x-a)2的導數(shù)的導數(shù)為為( ) A. 2(x2-a2) B. 3(x2+a2) C.

9、 3(x2-a2) D. 2(x2+a2) 解：解：因為因為y=(x+2a)(x2-2ax+a2)=x3-3a2x+2a3， 所以所以y=3x2-3a2=3(x2-a2)，故選，故選C.C14 2. 設(shè)設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n)(nN*)，求，求 f (0). 解解:設(shè)設(shè) f(x)=an+1xn+1+anxn+a1x+a0(nN*)， 則則f (x)=(n+1)an+1xn+nanxn-1+a2x+a1， 所以所以f (0)=a1, 易知易知a1=12n=n!， 所以所以f (0)=n!. 點評：點評：函數(shù)的導函數(shù)也是函數(shù)函數(shù)的導函數(shù)也是函數(shù),求得導函數(shù)求得導函數(shù)后后,再代入

10、求值可得導函數(shù)的值再代入求值可得導函數(shù)的值.涉及到系數(shù)問題涉及到系數(shù)問題,可結(jié)合二項展開式原理及方法求得指定項的系數(shù)可結(jié)合二項展開式原理及方法求得指定項的系數(shù). 題型題型2 求導函數(shù)的值求導函數(shù)的值15 已知已知f(x)=ax3+9x2+6x-7，若，若f (-1)=4，則，則a的值等于的值等于( ) A. B. C. D. 解：解：因為因為f (x)=3ax2+18x+6， 所以由所以由f (-1)=4，得，得3a-18+6=4，即，即a= ， 故選故選B.B19316610313316616 3. 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3-x. (1)求曲線求曲線y=f(x)在點在點M(t，f(t)

11、處的切線處的切線方程；方程； (2)設(shè)設(shè)a0，如果過點，如果過點(a，b)可作曲線可作曲線 y=f(x)的三條切線，證明：的三條切線，證明：-abf(a). 解：解：(1)函數(shù)函數(shù)f(x)的導數(shù)為的導數(shù)為f (x)=3x2-1. 曲線曲線y=f(x)在點在點M(t，f(t)處的切線方程為處的切線方程為 y-f(t)=f (t)(x-t)，即，即y=(3t2-1)x-2t3.題型題型3 導數(shù)幾何意義的應用導數(shù)幾何意義的應用 17 (2)證明證明:因為切線過點因為切線過點(a，b)，則存在，則存在t,使使b=(3t2-1)a-2t3. 于是，若過點于是，若過點(a, b)可作曲線可作曲線y=f(x

12、)的的三條切線，則方程三條切線，則方程2t3-3at2+a+b=0有三個相有三個相異的實數(shù)根異的實數(shù)根. 記記g(t)=2t3-3at2+a+b，則，則g(t)=6t2-6at=6t(t-a). 當當t變化時，變化時，g(t)，g(t)的變化情況如的變化情況如下表：下表： 18t(-,0)0(0,a)a(a,+)g(t)+0-0+g(t)極大極大值值a+b極小值極小值b-f(a) 當當a+b=0時，解方程時，解方程g(t)=0得得t=0，或，或t= ，即方程即方程g(t)=0只有兩個相異的實數(shù)根；只有兩個相異的實數(shù)根； 當當b-f(a)=0時，解方程時，解方程g(t)=0得得t= ，或，或t=

13、a，即方程，即方程g(t)=0只有兩個相異的實數(shù)根只有兩個相異的實數(shù)根.32a2a19 綜上，如果過綜上，如果過(a，b)可作曲線可作曲線y=f(x)的的三條切線，即三條切線，即g(t)=0有三個相異的實數(shù)根，有三個相異的實數(shù)根， 則則 , 即即-ab0 b-f(a)020 過點過點P(-1，2)且與曲線且與曲線y=3x2-4x+2在在M(1，1)處的切線平行的直線處的切線平行的直線方程是方程是_. 解：解：因為因為y=6x-4， 所以切線的斜率為所以切線的斜率為k=y|x=1=61-4=2. 故所求直線為故所求直線為y-2=2(x+1)，即即2x-y+4=0.2x-y+4=021 1. 一質(zhì)

14、點做直線運動，它所經(jīng)過的路一質(zhì)點做直線運動，它所經(jīng)過的路程和時間的關(guān)系是程和時間的關(guān)系是s=3t2+t，則，則t=2時的瞬時時的瞬時速度為速度為_. 解：解：因為因為s=6t+1，故，故t=2時的瞬時速時的瞬時速度為度為v=s|t=2=13.1322 2. 求過點求過點P(2，0)且與曲線且與曲線y=x3相切的相切的直線方程直線方程. 解：解：設(shè)切點設(shè)切點P1(x1， ). 因為因為y=(x3)=3x2， 所以切線方程為所以切線方程為 ， 即即 . 將將P(2，0)代入，得代入，得 ，解得，解得x1=0或或x1=3. 故所求切線方程為故所求切線方程為y=0或或y=27x-54.31x32111

15、-3( -)y xxx x23113-2yx xx231106-2xx23 1. 高考對這一節(jié)的考查主要是導數(shù)的概高考對這一節(jié)的考查主要是導數(shù)的概念、導數(shù)的背景、導數(shù)的求導公式及運算法念、導數(shù)的背景、導數(shù)的求導公式及運算法則則. 2. 導數(shù)公式導數(shù)公式(xn)=nxn-1中，指數(shù)中，指數(shù)n為正整為正整數(shù)，但數(shù)，但n其實可為有理數(shù)，這個推廣能夠方其實可為有理數(shù)，這個推廣能夠方便地解決很多問題便地解決很多問題.如經(jīng)常出現(xiàn)的函數(shù)如經(jīng)常出現(xiàn)的函數(shù)y=ax+ ，就可以應用這個公式求導：，就可以應用這個公式求導： y=a- ，進而可以處理相關(guān)的問題了，如單，進而可以處理相關(guān)的問題了，如單調(diào)性、最值等調(diào)性、最值等.bx2bx24 3. 導數(shù)的幾何意義是重點考查內(nèi)容，導數(shù)的幾何意義是重點考查內(nèi)容，這也體現(xiàn)了導數(shù)的工具性這也體現(xiàn)了