數(shù)列求和方法全套匯編例題變式解析規(guī)范標準答案強烈推薦

1、-!1.7數(shù)列前n項和求法知識點一倒序相加法特征描述:此種方法主要針對類似等差數(shù)列中anaan 1 a2 L L，具有這樣特點的數(shù)列.思考： 你能區(qū)分這類特征嗎?知識點二錯位相減法bn是公比為qq=1和q豐1兩種特征描述：此種方法主要用于數(shù)列anbn的求和，其中an為等差數(shù)列,的等比數(shù)列，只需用 Sn qSn便可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和，但要注意討論情況.思考：錯位時是怎樣的對應關(guān)系?知識點三分組劃歸法 特征描述：此方法主要用于無法整體求和的數(shù)列，例如1 1 1+，可將其通項寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進行求和，再綜2 42n1合求出所有項的和.思考：求出通項公式后如何分組?知識點四奇偶求合

2、法特征描述：此種方法是針對于奇、偶數(shù)項，要討論的數(shù)列 例如Sn 1 3 5 7 L ( 1)n1(2n 1)，要求Sn,就必須分奇偶來討論，最后進行綜合.思考：如何討論?知識點五裂項相消法1特征描述：此方法主要針對 1La1a2a2a3這樣的求和，其中an是等差數(shù)列.an 1an思考：裂項公式你知道幾個?知識點六分類討論法特征描述：此方法是針對數(shù)列an的其中幾項符號與另外的項不同，而求各項絕對值的和的問題，主要是要分段求.思考：如何表示分段求和?考點一倒序相加法例題1:等差數(shù)列求和Sna1 a2L an變式1:求證：C： 3C15Cn(2n1)C；(n 1)2n變式2：數(shù)列求和sin21

3、76;-2 c° sin 2-2 c °Isin 3Lsin2 89°考點二錯位相減法例題2：試化簡下列和式:2x 3x2nxn 1(x 0)變式1:已知數(shù)列 1,3a, 5a2,(2n1)an 1(a0），求前n項和。變式2:求數(shù)列 a,2a2,3a3,L ,nan,L;的前n項和變式3:求和：Sn2a23a3nan考占三:V 八、分組劃歸法例三：求數(shù)列1, 11 1+丄的和.2 42n 1變式1:5, 55, 555, 5555，9> "，;變式2：1 3,2 4,3 5,L , n(n2),L ；變式3：數(shù)列 1,(1+2),(1+2+22)

4、,(1+2+2 2+2 n-1),前n項的和是A. 2 nB. 2 n- 2C. 2 n+1- n - 2D. n2n考點四：奇偶求合法例四：Sn 1 3 5 7 L ( 1)n 1(2 n 1)變式1 :求和：Sn(-1 )n1(4 n-3)n N變式2：已知數(shù)列an中ai =2, an+an+i=1, S為an前n項和，求Sn變式 3：已知數(shù)列an中 ai=1，a2=4，an=an-2+2(n>3), Sn為an前n項和，求S考點五：裂項相消法例五：an為首項為ai,公差為d的等差數(shù)列，求Sn匚L亠an 1ana3a4變式1：丄丄二1 3'2 4'3n(n 2)丄；變

5、式2：數(shù)列通項公式為an1d;求該數(shù)列前 n項和Vn 1變式3：求和Sn壬1 3423 52(2n) (2n 1)(2 n 1)考點六：分類討論法例六：在公差為d的等差數(shù)列an中，已知ai= 10,且ai, 2a2 + 2, 5a3成等比數(shù)列.(1)求 d, an； 若 d<0,求 |a i| + |a2| + |a 3| + |a n|.變式變式3:已知等比數(shù)列an中，a1=64, q=-:在等差數(shù)列an中，a16 a仃a18 a936,其前n項和為Sn .(1)求Sn的最小值，并求出Sn的最小值時n的值;(2)求 Tnaia2an變式2:設數(shù)列an滿足ai5, an 12an 3n

6、1 ,已知存在常數(shù)p, q使數(shù)列an pn q為等比數(shù)列.求aia2an，設bn=log2 an，求數(shù)列| bn|的前n項和Sn .-!答案及解析 考點一 例一: 等差數(shù)列求和Saia2 Lanai (ai d) Lai (n1)d2把項的次序反過來，則:Sian(an d) L an(n 1)d+得:6 4ai4 4 4 44 7個 4 4 an4 4 4 48(ai an) L(a, an)變式n(ain(a1：思路分析:證：令Sn則Snan)an)2由 cm CnnC 3c1(2n i)C；m可用倒序相加法求和。5Cn(2n5C23C1(1)CnQ n mCn(2)有:2Sn(2n2)C

7、：(2n2)Cn(2n2)C2(2n 2)CnnSn(n i)C0Cn2Cnn (ni) 2n等式成立變式2：L sin2 89o,2yo L L sin2io,Lsin2 87設 S sin2io sin 22o sin2 3o 又 S sin 289o sin 288o89- 2S 89 , S考點二例二：Si i 2x 3x2 Lnxn i(x 0)-!1解：若 x=1，則 Sn=1+2+3+n =n(n 1)2若XM 1,則Sn12x3x2 Lnxn 1xSn X2x23x3nnx兩式相減得:(1 X)Sn1 nx變式1 :Sn思路分析:nxn(1 x)2n nx已知數(shù)列各項是等差數(shù)列

8、1, 3，5，2n-1與等比數(shù)列a0,a,a2,an 1對應項積，可用錯位相減法求和。Sn 1 3a 5a21)an1 1aSn2a 3a5a3(2n1)an 22 : (1a) Sn1 2a2a22a3a (2nDa：a)(1(2n 1)an 12當a 1時,Snn22an 1(2n1 時,(1a)Sn 1 n1)a2a(1n 1 (2n D"51a_2-32a 3aLnna,當a1 時，Sn12 3.nn(n 1)2當a1 時，Sna2a23a3 -n na ,aSn2 a2a33a4n 1 na兩式相減得（1a)Sna23a an a變式2：n naa(1 a1 an)n na

9、-!二 Snn 2 na(n八 n 11)aa(1a)* 2變式3:123nSn23naaaa解：a 1時，Sn12 3nn(n 1)1時,因為Sn由一得:(11)Sn2n 1n3nn 1aaa11n2nn 1aaa3naa111)a2n a丄(1所以Sna(an 1)n(a1)n /2a (a 1)2綜上所述,a(ann(n1)(a1)1) n(a 1)an(a 1)21)考點三例三:求數(shù)列1, 12* 1的和.解：an2n111 (1 寸)(14)l-!(1 1 1 L24(2 1)(22)(2(21)2n(1右）6 7個856 7個8Si 5 55 555 L55L 5(9 999999

10、 L 99L 9)5(1091) (1021) (1031)L (10n 1)550 n5-10102 103L 10nn (10n 1) n 變式1:12門12n 2變式2: n(n2)n2 2n ,原式(12 2232n2)2 (13n)n(n 1)(2n 7)變式3: C 考點四例四：解：當 n = 2k (kN+)時,S!k(1 3)(57)(4k3)(4 k1)2k2k1(kN )時S!k 1S2ka2k2k (4k 1)2k 1綜合得：Sn ( 1)n變式1:解：當n為偶數(shù)時:Sn13當n為奇數(shù)時:13(4T-3)n-124-3) n變式2:解：當n為偶數(shù)時:Sna1a2a3a4a

11、nana2) 3a4)(an 1 an )當n為奇數(shù)時:S,a3)4a5)(an 1 an)變式3:解： an- an-2=2 (n > 3)- a1,a 3,a 5,a 2n-1為等差數(shù)列;a2,a4,a6,a 2n為等差數(shù)列當n為奇數(shù)時:an1)?2 n當n為偶數(shù)時:an1)?2即 n NW,an(1)nn為奇數(shù)時:Sn(1 n)n為偶數(shù)時:Sn(13n)考點五例五：解:SkSk 1ak(ak d)1 ;gakdakd ak(ak d)Sn1 1 1 1 1一()(d ak ak d d ak1(丄丄)1，111 a2 dd a1(a2a3)1-)1ak1 ( 1 d an 11-)

12、anGa2)(an 1扌(丄d a1aiai (n 1)d變式1:1n(n- Sn丄2)2 n11-(1 -)23n(224)(11)L(丄n變式2:解： anVnSn1J2(運 1)(73 血)L_ 1Tn"(妬Tn)變式3:思路分析：分式求和可用裂項相消法求和 解ak2(2k)(2k1)( 2k 1)2(2k)211(2k1)(2k1)(2k 1)(2k1)右）Sna1 a2an1 1n2(13)1(111)1(2n 112n 1) n1 12(1 2n 1)2n(n 1)2n 1練習：求Sn22 a答案：Snn(n 1)a(an 1) n(a 1)心(a 1)(a 1)2考點六

13、例六：解：(1)由題意得 即 d2 3d 4 = 0.所以d= 1或d = 4.所以 an= n+ 11, n N或 an= 4n + 6, n N .(2)設數(shù)列an的前n項和為S.因為d<0,當 nW 11 時，|a1| + |a2| + |a3| + |an|1 221=n + R.2a1 5a3= (2a 2+ 2),由(1)得d =-1, an = n+ 11,則當 nA 12 時，|a i| + |a2| + |a 3| + |a n|1 221=Sn+ 2S1 =尹 一 2門+ 110.1 2 21尹 + yn, nW 11,綜上所述,|a 1| + |a 2| + |a 3| + |a n| =和2 爭+ 110, nA 12.變式1:解：（1 ）當20或21時，Sn的最小值為-630.（2）Tn3 -n2變式2：a2變式3：解:an