根據(jù)matlab的Lorenz系統(tǒng)的仿真研究

1、MATLAB以下報(bào)告完成的是大作業(yè)第七題:7. Simuli nk仿真在高等數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用21130223宋沛儒基于MATLAB/Simulink對(duì)Lorenz系統(tǒng)仿真研究21130223 宋沛儒1.引言1963年Lorenz通過(guò)觀察大量大氣現(xiàn)象并進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)和理論思考，得到了一系列混沌運(yùn)動(dòng)的基本特征， 提出了第一個(gè)奇異吸引子Lorenz吸引子1，Lorenz通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬一個(gè)由三階微分方程描 述的天氣模型時(shí)發(fā)現(xiàn)，在某些條件下同一個(gè)系統(tǒng)可以表現(xiàn)出非周期的無(wú)規(guī)則行為。Lorenz揭示了一系列混沌運(yùn)動(dòng)的基本特征，成為后人研究混沌理論的基石和起點(diǎn)，具有非常重要的意義。Lorenz系統(tǒng)方程如下:&a

2、mp; a(y x),(1)& cx y xz,& xy bz.其中，a，b，c為正的實(shí)常數(shù)。本人利用了數(shù)學(xué)工具 matlab，對(duì)Lorenz系統(tǒng)進(jìn)行了仿真研究,加深了對(duì)其的認(rèn)知。2.matlab 求解 Lorenz 系統(tǒng)首先創(chuàng)建文件“ Lorenz.m ”定義Lorenz方程，假設(shè)固定a=10,b=2.6667，c=30,程序如下：fun cti ondx=Lore nz(t,x)dx=-10*(x(1)-x(2);30*x(1)-x (2)-x(1)*x(3);x(1)*x (2)-2.6667*x(3);end然后利用ode45（ Runge-Kutta算法）命令求解Lo

3、renz方程并繪制圖形，初值取x=y=z=0.1,程序如下:>> cif>> x0=0.1,0.1,0.1;>> t,x=ode45('Lore nz',0,100,x0);>> sub plot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3)>> title('(a)')>> sub plot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3)>> title('(b)')>> sub plot(2,2,3)>

4、;> plot(x(:,1),x(:,2)>> title('(c)')>> sub plot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)>> title('(d)')運(yùn)行后，得如下波形：TOO500 soI1冋4020河Ki 0 K. 帥S'Q .50圖中，（a）為L(zhǎng)orenz混沌吸引子在X-Z平面上的投影，（b）為其在y-z平面上的投影，（c）為其在x-y平面上的投影，（d）為L(zhǎng)orenz混沌吸引子的三維圖。四張圖都類似于“ 8”字形。3. Lorenz系統(tǒng)對(duì)初值的敏感

5、性此時(shí)因?yàn)楣潭▍?shù)a=10, b=2.6667, c=30時(shí)，為混沌系統(tǒng)，對(duì)初值具有敏感性，初值很小的差異會(huì)引起系統(tǒng)的大變化。 例如在上例中取初值x=z=0.1 , y=0.11，繪制此時(shí)混沌吸引子在X-Z上的投影,并與x=y=z=0.1在同一張圖比較。（初值為x=y=z=0.1時(shí)投影用藍(lán)色, 初值為x=z=0.1，y=0.11時(shí)投影用紅色）程序如下:>> clf>> x0=0.1,0.1,0.1;>> t,x=ode45('ex_lore nz',0,100,x0);>> plot(x(:,1),x(:,3)>> h

6、old on>> x0=0.1,0.11,0.1;>> t,x=ode45('ex_lore nz',0,100,x0);>> plot(x(:,1),x(:,3),'r*')得到圖形如下：可以看到初值y僅變化0.01，圖中紅色與藍(lán)色不重合出明顯。證明 了 Lorenz系統(tǒng)的敏感性。4.matlab對(duì)Lorenz系統(tǒng)的仿真由文獻(xiàn)1可知在上述方程組（1）中，令 x y z 0，當(dāng)c>1時(shí),系統(tǒng)有三個(gè)平衡點(diǎn)：S0（O,O,O），S ( Jb(c 1), Jb(c 1),c1)，S (Jb(c 1),Jb(c 1),c 1)。

7、當(dāng) c=1 時(shí),系統(tǒng)在原點(diǎn)失去穩(wěn)定。當(dāng)CV1時(shí),原點(diǎn)是唯一的平衡點(diǎn)并且是匯點(diǎn)。利用matlab的Simulink功能，搭建Lorenz系統(tǒng)模型，并探討參數(shù)對(duì)Lorenz系統(tǒng)的影響。仿真模型如圖:-Q*fT|Scopel»QDP«froductSDope2sXYQraphiki”ar2XGnphlKV Graph20020406080100120140160180ProdliCt-T在仿真模型中，取參數(shù)a=10, b=8/3，觀察參數(shù)c取不同值時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。根據(jù)文獻(xiàn)1的分析,當(dāng)參數(shù)0VCV1時(shí)，只有一個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn) 0(0,0,0 )。取初值為x=y=z=2,參數(shù)c=0.5

8、，仿真停止時(shí)間取為50，運(yùn)行仿真。得到X、y、z的相圖以及x-z，y-z，x-y的圖形依次如下所示:32.521.510.50rT1.rIlli32.521.510.532.521.510.500501001501J5Q-&0£10'可見(jiàn)，系統(tǒng)很快地趨向并穩(wěn)定在 0(0,0,0),驗(yàn)證了前面所述。當(dāng)c>1時(shí)，系統(tǒng)有三個(gè)平衡點(diǎn)：原點(diǎn)0(0,0,0)和S+, S-。此時(shí)原點(diǎn)的特征值中有正值，因此原點(diǎn)為鞍點(diǎn)，是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。當(dāng)1VCV13.926時(shí)，不穩(wěn)定流形最終螺旋地趨于與之同側(cè)的平衡點(diǎn)S+或 S-;當(dāng)c=13.926時(shí)，不穩(wěn)定流形剛好無(wú)限趨于原點(diǎn)0,即出現(xiàn)同宿軌；

9、當(dāng)013.926時(shí)，不穩(wěn)定流形將繞到另一側(cè)，最終趨于與之異側(cè)的S+或S-。可見(jiàn)，C是一個(gè)同宿分岔點(diǎn)。因此，取初值 x=y=z=2, c=8，仿真停止時(shí)間為50,運(yùn)行仿真，得到X、y、z的相圖以及 X-Z , y-z , x-y的圖形依次如下所示:7654320501001502002503003507654321502002503003504004501210864230040050060070000 100 20010-SH 1 riiji%活C55可以看到，系統(tǒng)趨于與之同側(cè)的平衡點(diǎn) S+或 S-。取初值x=y=z=2, c=18,仿真停止時(shí)間為50,運(yùn)行仿真，得到x、y、z的相圖以及 x-

10、z，y-z，x-y的圖形依次如下所示:10050010001500151510105-500-5，'1 V"1, , . '' -5.1.|1-10'1 '-1 -10.? -1-15-15-20 -20005001000150050010001500302520152010-10-20沼 0-20 1C 010 卻30 r2010T0-10-a)/fl*200 1D 2-0'5030'20IQfiO30'1020-100102030可以看到，系統(tǒng)趨于與之同側(cè)的平衡點(diǎn) S+或 S-。為了觀察c=13.926的同宿分岔點(diǎn)現(xiàn)

11、象，在c=13.926附近不斷嘗試，最終在c= 15.39682328時(shí)觀察到比較明顯的過(guò)渡跡象。取初值x=y=z=2，c=15.39682328，仿真停止時(shí)間為50,運(yùn)行仿真，得到X、y、z的相圖以及X-Z，y-z，x-y的圖形依次如下所示:201515- 111011 110111-11'11.11 111 ! '_ 1 -嚴(yán)-5-1 -'.1 ' ' .5'.1 11'11011P0-r1-5-5II丨N-10-10“I 111:-150500100015000500100015005020£0102020-10010和1

12、(11可以看到，雖然最終軌線趨向于與之同側(cè)的平衡點(diǎn)S+或S-，但302010010 2D 如?115.39682330有著明顯的過(guò)渡跡象?？梢酝茰y(cè)，當(dāng)c取15.39682328到 間的某一個(gè)數(shù)值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)同宿軌現(xiàn)象。根據(jù)文獻(xiàn)1，當(dāng)024.74時(shí)，S+與 S-變?yōu)椴环€(wěn)定的，也就是說(shuō)系統(tǒng)進(jìn)入“混沌區(qū)”。此時(shí)三個(gè)平衡點(diǎn) O S+、S-都不穩(wěn)定。取初值x=y=z=2, c=30,仿真停止時(shí)間為100,運(yùn)行仿真，得到x、y、z的相圖以及x-z , y-z , x-y的圖形依次如下所示:1001008040200-2060-4040200-208060050010001500200025003000350

13、040004500500010090807060504030201000500100015002000250030003500400045005000eo=0403020100-102C-3C'JCSO 33=100 JO 'SCi咒3CJC可以看到，上述圖形中，軌線繞著 S+若干圈后，又繞著S-若干圈，如此循環(huán)，符合文獻(xiàn)1的描述。為了觀察由系統(tǒng)趨向于與之異側(cè)的平衡點(diǎn)向系統(tǒng)的混沌狀態(tài)的 過(guò)渡現(xiàn)象，在c=24.74附近反復(fù)不斷嘗試，最終發(fā)現(xiàn)當(dāng)c=23.299時(shí),可以觀察到明顯的過(guò)渡跡象。因此，取初值x=y=z=2, c=23.299，仿真停止時(shí)間為100,運(yùn)行仿真，得到X、y、z的相圖以及x-z，y-z，x-y的圖形依次如下所示:4040303020201010-10-10-205001000150020002500-20b05001000150020002500504540353025201510505001000150020002500可以看到，在上圖中，軌線看起來(lái)穩(wěn)定在一條圍繞與之異側(cè)的平衡點(diǎn)的軌道上。僅從仿真運(yùn)行的這段時(shí)間，無(wú)法判斷系統(tǒng)是處于混沌 狀態(tài)還是會(huì)趨向于與之異側(cè)的平衡點(diǎn)，可以看出明顯的過(guò)渡跡象。5.結(jié)論本文初步了解了 Lorenz系統(tǒng)，并簡(jiǎn)單觀察了 Lorenz混沌系統(tǒng)對(duì)初值的敏感性，比較分析