第八章第六節(jié)直線與圓錐曲線

1、第六節(jié)直線與圓錐曲線突破點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系抓牢雙基-自學回扣基本知識判斷直線I與圓錐曲線 C的位置關(guān)系時，通常將直線I的方程Ax+ By + C= 0(A, B不同時為0)代入圓錐曲線 C的方程F(x, y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或 變量y)的一元方程.即由 fx + By+ C= 0， 消去 y,得 ax2 + bx+ c= 0. IF(X, y = 0(1)當aM 0時，設(shè)一元二次方程ax2 + bx+ c= 0的根的判別式為,> 0?直線與圓錐曲線C相交; 則0?直線與圓錐曲線C相切;V 0?直線與圓錐曲線C相離.(2)當a= 0, bM 0

2、時，即得到一個一次方程，則直線 I與圓錐曲線C相交，且只有一個 交點，此時，若 C為雙曲線，則直線 I與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線 與拋物線的對稱軸平行或重合基本能力一、判斷題(對的打，錯的打“X” )(1)直線I與橢圓C相切的充要條件是：直線I與橢圓C只有一個公共點.(2)直線I與雙曲線C相切的充要條件是：直線I與雙曲線C只有一個公共點.(3)直線I與拋物線C相切的充要條件是：直線答案："(2)X (3) XI與拋物線C只有一個公共點.二、填空題1.設(shè)拋物線y2= 8x的準線與x軸交于點Q, 直線I的斜率的取值范圍是.若過點Q的直線I與拋物線有公共點，則長為答案：1,

3、12.已知斜率為21的直線I過橢圓x" + y2= 1的右焦點，交橢圓于 A, B兩點，弦AB的4答案：83.雙曲線216=1的右頂點為A，右焦點為F，過點F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點 B,則 AFB的面積為答案：3215X2 + （y+1）2= 1相切且與拋物線硏透高考深化提能典例（1）（2019河南九校聯(lián)考）已知直線y= kx+1與圓2C： x = 4y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是（(汽一3) U (0,B.(汽一2)U (0,(-3,0)(-2,0)（2）若過點（0,1）作直線，使它與拋物線y2= 4x僅有一個公共點，則這樣的直線有（）B. 2條

4、£+役=1,即卩k2= t2 + 2t.將直線方程代入拋物線U1+ k方程并整理得 x2- 4kx- 4t= 0,于是 = 16k2 + 16t= 16(t2 + 2t)+ 16t> 0，解得 t> 0 或 tv 解析因為直線與圓相切，所以3.選 A.（2）結(jié)合圖形（圖略）分析可知，滿足題意的直線共有3條，分別為直線 x= 0，直線y= 1以及過點（0,1）且與拋物線相切的直線（非直線x= 0） 故選C.答案(1)A (2)C方法技巧直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判定方法（1）代數(shù)法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關(guān)于x, y的方程組，消去 y（或x）得一元方程，此方程根的

5、個數(shù)即為交點個數(shù)，方程組的解即為交點坐標.（2）幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據(jù)圖象判斷公共點個數(shù).提醒聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元后，應(yīng)注意討論二次項系數(shù)是否為零的情況.針對訓練2 21.若直線mx+ ny= 4和圓O： x2+ y2= 4沒有交點，則過點（m, n）的直線與橢圓:+ *=1的交點個數(shù)為（）A .至多一個B. 2D. 0解析：選B 直線mx+ ny= 4和圓0: x2+ y2= 4沒有交點，.圓心到直線的距離d2 2 2 . 2422 m n m 4 m=嚴 > 2, m2+ n2< 以 6+7< 6+F2 2 2y = 1的內(nèi)部，過點(m, n)的

6、直線與橢圓X + y = 1 I494- 215m2< 1,.點(m, n)在橢圓 X +369的交點有2個.2 22.雙曲線 C：予一b2= 1(a>0, b>0)的右焦點為F，直線I過焦點F，且斜率為k則直線I與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是A. k>-bB. kVbb , b D aV kV a解析：選D由雙曲線漸近線的幾何意義知b<k<I突破點二圓錐曲線中弦長及中點弦問題抓牢雙基自學回扣基本知識圓錐曲線的弦長公式設(shè)斜率為k(kM 0)的直線I與圓錐曲線 C相交于A, B兩點，A(Xi, yi), b(X2, y2),則|AB|=U 1+ k2

7、 |xi X2|=p1 + k2 (X1 + X2 2 4X1X2 = yj1 + k |y1 y2|=<1+k (y1+y2f-伽2.基本能力、判斷題(對的打，錯的打“X” )(1)如果直線|y1 y2|.(x = ty + a與圓錐曲線相交于A(X1, yj.B (X2, y2)兩點，則弦長|AB| =(2)過拋物線答案：(1)2)y2= 2px(p>0)焦點的弦中最短弦的弦長是2p.()2x y+ 1 = 0所得的弦長為Vl5,二、填空題1頂點為坐標原點，焦點在 X軸上的拋物線，截直線 則拋物線方程為答案：y2= 12x 或 y2= 4x12.橢圓X2+ 4/= 16被直線y

8、=尹+ 1截得的弦長為答案：(352 23過雙曲線缶-25=1的一個焦點作x軸的垂線，則垂線與雙曲線的一個交點到兩焦點的距離分別為硏透高考深化提能全析考法考法一弦長問題 22例1(2019孝義模擬)已知橢圓C: X2+ y2= 1(a> b>0)的左、右焦點分別為F1, F?,a b且點F1到橢圓C上任意一點的最大距離為3，橢圓C的離心率為2.(1) 求橢圓c的標準方程；(2) 是否存在斜率為一1的直線I與以線段F1F2為直徑的圓相交于 A, B兩點，與橢圓 相交于C, D，且闔=也7 ?若存在，求出直線I的方程；若不存在，說明理由.解(1)根據(jù)題意，設(shè)F1, F2的坐標分別為a

9、+ c= 3,(c,0), (c,0),由題意可得 ¥ 1解得 a = 2, c= 1,貝y b2= a2 c2 = 3,22故橢圓c的標準方程為T+y = 1.4 3(2)假設(shè)存在斜率為1的直線I,設(shè)為y= 由(1)知Fi, F2的坐標分別為(一1,0), (1,0),所以以線段F1F2為直徑的圓為X2+ y2= 1,x+ m,由題意知圓心(0,0)到直線I的距離d=< 1,得|m|v也.|AB|= 21 - d2 = 2 寸1 = /2x 寸2 m2,y,得 7x2 8mx + 4m2 12= 0,消去48m2=跡"49=|CD|=|xi X2|=邁 X4X 4嚴

10、7 X 屮-m2 = 873|AB |解得m=到3.3即存在符合條件的直線I,其方程為y= x±.3方法技巧求解弦長的4種方法(1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，解方程組求出兩個交點坐標，代入兩點間的距離公式求解.(3)聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，消元得到關(guān)于X或y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到(X1 X2)2或(yi y2)2，代入兩點間的距離公式.(4)當弦過焦點時，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.提醒利用弦長公式求弦長要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交點坐標再求弦長.涉及焦點弦長時要注意圓錐曲線定義的應(yīng)用.考法

11、二中點弦問題考向一例2由中點弦確定直線方程2= i中，以點M(i,2)為中點的弦所在直線方程為92在橢圓+解析設(shè)弦的兩端點為A（xi, yi）, b（x2, y2）,2 2嚴+yi = ii6+ 9，代入橢圓方程得 22嚴+膛=ili6+ 9'，兩式相減得(xi+：6対X2)+(yi+y29yiy2=0,所以（xi+ X2：（xi x2 = （yi + y2：（yi-y2169即9兇如）=y2 i6（yi + y2） Xi X2'因為 Xi+ X2= 2, yi+ y2= 4,所以 y2 =-32,故該直線方程為y 2= (x 1),32即 9x+ 32y 73= 0.答案9x

12、 + 32y 73= 0考向二由中點弦確定曲線方程例3過點M(2, 2p)作拋物線x .2 yi 1 xi 3 =1，2r 2 y2.則 X2 3 = 1，I Xi+ X2= 2xo, I yi + y2= 2yo,由一得,(X2 Xi)(X2 + xi)= 3(y2 yi)(y2 + yi),顯然 xi* x2.= 2py(P>0)的兩條切線，切點分別為A, B,若線 段AB的中點的縱坐標為 6，則拋物線方程為解析 設(shè)點 A(X1, yi)，b(x2, y2)，依題意得，y = x，切線MA的方程是y yi = xi(x xi),PP即y=討Xp.P 2p2又點M(2, 2p)位于直線

13、MA上，于是有2p= -X 2 半，即x2 4xi 4p2= 0;P 2p同理有 x2 4X24p2= 0,因此 xi, X2 是方程 x2 4x 4p2= 0 的兩根，則 Xi + X2= 4, Xix2=4p2.由線段AB的中點的縱坐標是 6得，yi + y2= 12,即Xl±x2 = (X1 + X2f 2X1X2 = 12, i± = 12,2p2p 2p解得p= 1或p= 2.故拋物線的方程為 x2= 2y或x2= 4y.答案x2= 2y 或 x2= 4y考向三由中點弦解決對稱問題2例4已知雙曲線x2 y = 1上存在兩點 M , N關(guān)于直線y= x+ m對稱，且

14、MN的中3點在拋物線y2= 18x上，則實數(shù) m的值為解析設(shè) M(xi,yi), n(x2, y2), MN 的中點 p(xo, yo),X2X2S = 3,即 kMN 2=3,/ M , N關(guān)于直線 y= x+ m對稱,二 kiMN = 1,yo= 3Xo.又：y0= X0+ m, P (- 4,竽)代入拋物線方程，得 1卩2= 18 m )解得m= 0或8，經(jīng)檢驗都符合題意.答案0或8方法技巧(1)點差法設(shè)出弦的兩端點坐標后,處理中點弦問題常用的 2種方法代入圓錐曲線方程， 并將兩式相減，式中含有Xi+ X2, yi + y2.yiy三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公

15、式即可求得斜率.X1 X2(2)根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.提醒中點弦問題常用的兩種求解方法各有弊端：根與系數(shù)的關(guān)系在解題過程中易產(chǎn) 生漏解，需關(guān)注直線的斜率問題；點差法在確定范圍方面略顯不足.集訓沖關(guān)2 21.考法二 考向一已知P(1,1)為橢圓X4 + 2 = 1內(nèi)一定點，經(jīng)過P引一條弦，使此弦被P 點平分，則此弦所在直線的方程為y 1= k(x 1), A(xi,解析：法一：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為 yi) , B(X2, y2).jy 1= k(x 1 ,由 &2 V消去 y 得，(2k2 + 1)

16、x2 4k(k 1)x + 2(k2 2k 1) = 0,17+ 2 =1丄4k(k 1 )-X1 + X2=lkw，又X1+X2=2，:k2+1 =2,解得 k=- 21故此弦所在的直線方程為y 1 = 2(x 1),即 x + 2y 3= 0.法二：易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)斜率為k.72 2Xiy1y1 y21 k= X1-X22.此弦所在的直線方程為1y 1 = 2（x 1）,即 X + 2y 3= 0.答案：X+ 2y 3= 02.考法二考向二焦點是F(0,/2),并截直線y= 2x 1所得弦的中點的橫坐標是 2的橢圓的標準方程為解析：設(shè)所求的橢圓方程為 *+詁=1(a>

17、; b>0)，直線被橢圓所截弦的端點為A(x1, y1),B（X2, y2）.由題意，可得弦 ab的中點坐標為 2Xi + X2 yi + y2、xi + X22yi + y=7,將A,b兩點坐標代入橢圓方程中，得2 2 學+b2=1,t 221學+b2=1.設(shè) a(x1, y1), b(x2, y2),則亍+專=1,2 2X2+ y2= 1,得（X1+X2!x1X2 M1+y2p1y2=0, Xi + X2= 2,yi + y2= 2,X1yX2+ y1 y2= 0,62 兩式相減并化簡，得 72= y1 y2 y2 = 2X二7= 3,bX1 X2 X1 十 x24所以 a2= 3b

18、2.又 c2 = a2 b = 50,所以 a2 = 75, b2= 25.2 2故所求橢圓的標準方程為75+ 25=1.2 2答案：75 +針13.考法二 考向三拋物線x2= 4y與直線x 2y+ 2 = 0交于A, B兩點，且A, B關(guān)于直 線y= 2x+ m對稱，則 m的值為解析：設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2),聯(lián)立 F= 4y，消去 y,得 x2 2x 4= 0.X 2y+ 2 = 0yi + y23 貝U X4+ X2= 2 , X1 ； X2= 1.-yi + y2= 2(xi + X2)+ 2= 3,22./ A, B關(guān)于直線y= 2x+ m對稱, AB的中點在直線y= 2x+ m上,37即2= 2X 1 + m,解得 m= 2答案：72 24.考法一經(jīng)過橢圓M :字+ *= 1(a> b>0)的右焦點的直線X+ y衍=0交橢圓M于A, B兩點，P為AB的中點，且直線 OP的斜率為；(1)求橢圓M的方程;(2)C, D為橢圓M上兩點，若四邊形 ACBD的對角線CD丄AB，求四邊形 ACBD的面 積的最大值.解：(1)令 A(X1, y1), B(X2, y2),易知右焦點為(V3, 0