2.1-.格林公式ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用(2)(2)二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)設(shè)D 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有.0ddLyQxP(2) 對(duì)對(duì)D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) 在在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyP LyQxPdd與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān)只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)函

2、數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià)則以下四個(gè)條件等價(jià):在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 注：兩個(gè)前提條件缺一不可注：兩個(gè)前提條件缺一不可說明說明: 積分與路徑無關(guān)時(shí)積分與路徑無關(guān)時(shí), 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP 2ddLyQxP21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP為為D 內(nèi)任意兩條由內(nèi)任意兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線, 那么那么(根據(jù)條件根據(jù)條件(1)BAyQxPddAByQxPdd證明證明 (2) (3)在在D內(nèi)取定點(diǎn)內(nèi)取定點(diǎn)),(00

3、yxA因曲線積分因曲線積分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 那么那么),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可證同理可證yu),(yxQ 因此有因此有yQxPuddd 和任一點(diǎn)和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù)有函數(shù) 證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd 那那么么),(),(yxQyuyxPxu P, Q 在在 D 內(nèi)

4、具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),也也連連續(xù)續(xù)所所以以xyuyxu 22,從而在從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyPxyuxQyxuyP 22,xyuyxu 22證明證明 (4) (1)設(shè)設(shè)L為為D中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖如圖) ,上因此在DxQyP利用格林公式利用格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(dd DD L0所圍區(qū)域?yàn)樗鶉鷧^(qū)域?yàn)樽C畢證畢yx說明說明: 根據(jù)定理根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi)若在某區(qū)域內(nèi),xQyP 那那么么2) 求曲線積分時(shí)求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡化計(jì)算可利用格林公式簡化計(jì)算,3) 可用積分法求可用積分法求d

5、 u = P dx + Q dy在域在域 D 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn),),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或或 yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為則原函數(shù)為 yyyyxQ0d),( xxxyxP0d),(若積分路徑不是閉曲線若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線可添加輔助線;取定點(diǎn)取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí)計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑可選擇方便的積分路徑;yA xoL例例1. 計(jì)算計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxL其中其中L 為上半為上半24xxy從從 O (0,

6、 0) 到到 A (4, 0).解解: 為了使用格林公式為了使用格林公式, 添加輔助線段添加輔助線段,AOD它與它與L 所圍所圍原式原式y(tǒng)xyxyxAOLd)(d)3(22 Dyxdd)4(OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周圓周區(qū)域?yàn)閰^(qū)域?yàn)镈 , 那那么么3648 例例2. 驗(yàn)證驗(yàn)證yyxxyxdd22是某個(gè)函數(shù)的全微分是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求并求出這個(gè)函數(shù)出這個(gè)函數(shù). 證證: 設(shè)設(shè),22yxQyxP那么那么xQyxyP2由定理由定理2 可知可知, 存在函數(shù)存在函數(shù) u (x , y) 使使yyxxyxuddd22 ),()0,0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0

7、, 0(。),(yx)0 ,(x xxx0d0yyxyd02yyxyd02 2221yx例例3. 驗(yàn)證驗(yàn)證22ddyxxyyx在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函內(nèi)存在原函數(shù)數(shù) , 并求出它并求出它. 證證: 令令2222,yxxQyxyP那么那么)0()(22222xyQyxxyxP由定理由定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy02

8、1dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxy內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式格林公式LyQxPdd2. 等價(jià)條件等價(jià)條件在在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).yPxQ在在 D D 內(nèi)有內(nèi)有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd對(duì)對(duì) D 內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線 L 有有0ddLyQxP在在 D 內(nèi)有內(nèi)有設(shè)設(shè) P, Q 在在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)設(shè),4:, 1:222412yxlyxL且都取正向且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確問下列計(jì)算是否正確

9、 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:時(shí)022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(2. 設(shè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC CCCDyxoaaC3. 設(shè)設(shè) C 為沿為沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx從點(diǎn)從點(diǎn)), 0(a依逆時(shí)針依逆時(shí)針), 0(a的半圓的半圓, 計(jì)算計(jì)算解解: 添加輔助線如圖添加輔助線如圖 ,利用格林公式利用格林公式 .原式原式 =321a aayayd)ln2( D222xaya 222xay yxdd C 到點(diǎn)到點(diǎn)D4. 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M 沿著以沿著以AB為直徑的半圓為直徑的半圓, 從從 A(1,2) 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)到到Dyxdd2點(diǎn)點(diǎn)B(3, 4),到原點(diǎn)的距離到原點(diǎn)的距離,解解: 由圖知由圖知 故所求功為故所求功為AByxxyddABBAABxxxd) 1(3122銳角銳角,其方向垂直于其