2.1-初等積分法ppt課件

1、)5 . 9()()(ygxfdxdy1. 變量分離的方程變量分離的方程9-2 初等積分法初等積分法例如例如11;1;cos222xydxdyeyyxyxyyyx等都是變量分離的方程.xyyxdxdysincos5則不是變量分離的方程.而方程)5 . 9()()(ygxfdxdy設(shè)y=y(x)(axb)是方程9.5的解，則有).),()()(bxaxygxfdxxdy假設(shè) 則上式可化為),0)(bxaxyg.)()()(dxxfxygxdy),0)()(1)(),()(ygygxGxfxF再若已知則由 一階微分方程形式不變性，上式可寫成一階微分方程形式不變性，上式可寫成),()(xdFxydG

2、）（9.6,)()(CxFxyG于是有其中C 為任意常數(shù). 即微分方程9.5的使0)(xyg的解y(x)必滿足9.6）. 反過來，若由函數(shù)方程CxFyG)()(能確定出隱函數(shù)y(x)(其中G(y)與F(x)分別是)()(1xfyg與的原函數(shù)），則y(x)就是微分方程(9.5)的解.因此當(dāng)0)(yg時,只需求隱函數(shù)方程dxxfygdy)()(的解.)5 . 9()()(ygxfdxdy將方程將方程(9.5)分離變量分離變量,得得, 0)(,)()(ygdxxfygdy變量x,y已分離在方程兩端， 然后兩端積分，得 12,dyG yCf x dxF xCg y若 CxFyG)()(那么,yx C(

3、隱式解隱式解)(顯式解顯式解)通解通解. . 000,0,g yyg y若 有根即程的一個解程的一個解,此解可能不包含在通解中此解可能不包含在通解中, 此時稱之為奇解此時稱之為奇解顯然顯然y(x)= 也是方也是方0y例例 1 求解微分方程解解,kdxydy)7 . 9(,1kxCeey然后兩端積分得. 0,kkydxdy其中常數(shù)0k為任意常數(shù),即11,lnCCkxy,1kxCeey當(dāng) 時， .故若令),(1C0 ),(1Ce,12CeC那么9.7式可寫成,)(2kxeCxy) 8 . 9(. 0 ),(2C其中又 顯然也是方程的一個解，這個解也可表成0y其中C是任意常數(shù).).0()(22CeC

4、xykx 因而將此解與因而將此解與9.8式表示的解式表示的解合并，得所求方程的通解為合并，得所求方程的通解為,)(kxCexy例例 1 求求)0(43yydxdy的全部解，并作積分曲線的圖形.解解 當(dāng) 時，分離變量得0y,43dxydy兩端積分得,44Cxy故通解為,)(25614CxCxyC為任意常數(shù).又y=0時 ，故 也是其一個解.這個解不包含在通解中.0y)(0 xy)0(43yydxdy2. 可化為變量分離方程的幾類方程可化為變量分離方程的幾類方程(1) 形如dyf axbycadx ,b,c為常數(shù)zaxbyc作變量替換 即得 dzdyababf zdxdx,該方程是關(guān)于新未知函數(shù)z的

5、變量分離方程.例例 4 求求 的全部解的全部解.)1sin(yxy解解令z=x+y+1,那么.sin11zyz當(dāng)當(dāng) 即即1sinz),2, 1,0(232 kkz.)(dxzbfadz分離變量并積分锝,sin1dxzdz即即.)24tan(Cxz,0)214tan(yxCx其中C是任意常數(shù).又可看出),2, 1,0(232 kkz也是方程的解. 故方程還有特解).,2, 1,0(2321 kkyx.sin11zyz(2) 形如),(ddyxfxy其中右端的函數(shù)f(x,y) 是齊次函數(shù) .的方程,齊次方程齊次方程f(x,y)是齊次函數(shù)是指對于任意的).,(),(, 0yxftytxft若f(x,

6、y)可以寫成 的函數(shù) 則它一定是齊次函數(shù).xy),(xyh.212222xyxyxyxyxyxyy例如xyxyxyxy2dd22是齊次方程. 因為)(),(xyhyxfdxdy齊次方程齊次方程 的解法：的解法：令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduhxuxuxxuuhud)(d兩邊積分, 得xxuuhud)(d積分后再用xy替代 u,便得原方程的通解.分離變量: 例例 5 求解方程求解方程).0(xxeyyxxy解解首先將方程寫作).0(xexyyxy令,xyu ,xuy 則,ddddxuxuxy代入原方程得),0(ddxeuxuxuu),0(ddxexuxu分離

7、變量:),0(dxxdxeuu兩端積分得),0(lnxCxeu即原方程通解為.lnCexxy(C 為任意常數(shù))例例 5 求解方程求解方程).0( ,22xyyxyx解解將方程寫作.)(12xyxyy,xyu 令令方程可化為,12uuuxu)14. 9(.1d2xudxu即時，有當(dāng)1u,12xdxudu積分得,lnarcsin1xCu即. 0,arcsinarcsin1CCeeexuuC)0( 1xu又 也是方程(9.14)的解. 原方程的解為).0, 0(,arcsinCxCexxy及).0( xxy(3) 形如形如111222.1,2iiia xb ycdyfaidxa xb yc ,b ,

8、c為常數(shù), 11220abab i 11122200a xb yca xb yc的方程的方程.當(dāng)當(dāng) 時，方程時，方程(9.15)的右端為的右端為x,y的齊次函數(shù)的齊次函數(shù).021 cc 當(dāng)當(dāng) 中至少有一個不等于零時，分下面兩種兩種情況討論中至少有一個不等于零時，分下面兩種兩種情況討論.21,cc),(00yx有唯一解.記此解為 .即 滿足),(00yx. 2 , 1),(00iybxaciii于是11220abab ii 1122110,a ba bk a b當(dāng)時,記11za xb y令111112zcdzdyabab fdxdxkzc則 00,uxx vyy令111cybxa),()(010

9、1yybxxa222cybxa).()(0202yybxxa則方程(9.5)化為,1211vbuavbuafdudv這是關(guān)于u,v的齊次方程.變量分離的方程變量分離的方程1120,abb當(dāng)=0時,由 =0,=01122a xcyfa xc111222.cabyfa xb yc當(dāng)=0時,方程為變量分離的方程變量分離的方程形如形如)(cbyaxfy例例 5 求解方程求解方程.32412yxyxy解解這里分子分母中的x,y項的系數(shù)成比例.令,2yxz那么32122zzyz.32) 1(5zz分離變量并積分得,5132dxdzzz由此可求出通積分,152xzCez再用x,y表示z，得原方程的通積分,1

10、22xyCeyx其中C 為任意常數(shù).3. 一階線性微分方程一階線性微分方程 dyPxyQxdx如方程txtdtdxxyyyxycos,sin,222等都是線性方程.而而ydxdyedtdxyeytxx,2等都是非線性方程.0)(ddyxPxy1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeCyd)(一階線性微分方程的上述通解包含了它的一切解一階線性微分方程的上述通解包含了它的一切解 dyPxyQxdx假設(shè) Q(x) 0, 假設(shè) Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .稱為齊次方程 ;0)(yxPdxdy對應(yīng)齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解非齊次方

11、程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy那么xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例 8 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法求特解. 令,) 1()(

12、2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(例例9 求解伯努利方程求解伯努利方程)1,0()()(ddyxQyxPxyy以)()(dd1xQyxPxyy令,1 yzxyyxzdd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQzxPxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解解(線性方程) 補例 3 求方程 的通解.2)(lnyxaxydxdy),(ln112xayxdxdyy即),(ln1)(11xayxdxyd則上述方程成為令,1 yz),(ln1xaz

13、xdxdz通解為CdxexQezdxxPdxxP)()()(Cdxexaezdxxdxx11)ln(解解 以以 除方程的兩端，得除方程的兩端，得2y.)(ln22xaCxz，代以zy1.1)(ln22xaCyx 補補 例例 解方程解方程 .1yxdxdy 解解 把所給方程變形為把所給方程變形為,yxdydxCdyeyQexdyyPdyyP)()()(得所求方程的通解為.1yCexy,yxdydx.1)(yQyP這里4. 全微分方程與積分因子全微分方程與積分因子使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d則稱0d),(d),(yyxQxyxP為全微分方程 ( 又叫做恰當(dāng)方程

14、 ) .判別: P, Q 在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),xQyPDyx),( 為全微分方程 那么求解步驟:方法1 湊微分法;方法2 利用積分與路徑無關(guān)的條件.1. 求原函數(shù) u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解為 u (x, y) = C .例例 10 求解微分方程. 042324dyyxdxxy解解)(42yxd因為,42324dyyxdxxy因而, 0)(42yxd故其通積分為,42CyxC為任意常數(shù).例例 11 求解微分方程. 0)2sin21()2cos(2222dyyyxyxdxxyyx解解因為2),(,4sinRyxxQxyyxyP且它們在全平面上連續(xù)，所以方程為全

15、微分方程.求原函數(shù)u(x,y).由 . 對x積分得22cos),(xyyxyxPxu)28. 9(),(cos21),(222yyxyxyxu其中 為待定的可微函數(shù).上式對y求偏導(dǎo)數(shù)得)(y).(2sin2122yyxyxyu另一方面，),(yxQyu,2sin21222yyxyx,)(2yy ,31)(3yy 代入9.28式得,31cos21),(3222yyxxxyxu故原方程通解為,31cos213222CyyxxxC為任意常數(shù).),(yxyxo補例補例 求解求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解 因為因為yP236yyx ,xQ故這是全微分方程. , 0, 0

16、00yx取則有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解為Cyyxyxx332253123)0 ,(x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,),(),(),(000CdyyxQdxyxPyxuyyxx（3） (2) 積分因子：積分因子： 命題命題滿足滿足 ,MNyxF xN x y ,NMxyG yM x y或或那那么么 0 xxF t dtxe 定義定義 若方程若方程M(x, y)dx+N(x, y)dy=0不是全微分方不是全微分方程程,但存在但存在 一個函數(shù)一個函數(shù) 使方程使方程 m(x, y)M(x, y)dx+m(x, y)N

17、(x,y)dy=0 是全微分方程，則函數(shù)是全微分方程，則函數(shù)m(x, y) 叫做此方程的積分因子叫做此方程的積分因子,0 x y,0M x y dxN x y dy若方程中的函數(shù)若方程中的函數(shù),M N 0yyG t dtye是該微分方程的一個積分因子是該微分方程的一個積分因子xNyMyMxN例例 12 求解微分方程)40. 9(. 0)3()2(32dyyxdxyxy解解, 0)21 (2) 14(1xyxyyMxN因而不是全微分方程，但,2yMyMxN所以. 0,1)(2|ln2)2(1yyeeyydtyy),40. 9()(y得全微分方程. 0322yydxxdyydyxdx通積分為,23

18、22CyxyxC為任意常數(shù). 比較簡單的情形下可用觀察法求積分因子. 例如，方程 y d x - x d y = 0 不是全微分方程， 但 由于 可知 是一個積分因子. 易知 1 / x y , 都是積分因子.乘上其中任何一個并積分， 便能得到所求方程的通解： 又例如，方程 （1 + x y) y d x + ( 1 - x y ) x d y = 0 也不是全微分方程，但將它的各項重新合并，得,)(2yxdyydxyxd21y21x.Cyxy d x + x d y ) + x y ( y d x - x d y ) = 0 , 0)(22ydyxdxyxxyd.0)(22ydyxdxyxx

19、yd積分得通解為即).(ln1111CxyeCceyxCyxxy容易看出 為積分因子，乘上它，方程變?yōu)?21yx, 0)(22ydyxdxyxxyd常見的全微分表達式常見的全微分表達式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可選用積分因子可選用積分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 解法：解法： 5. 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程 (1) 不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù)y的方程的方程,0F x y y .0),( zzxF令，令， 則方程化為關(guān)于新未則方程化為關(guān)于新未 知知zy,zy z函數(shù)函數(shù) 的一階方程的一階方程若求出該方程的通積分為,0),(1Czx再求解一階微分方程0),(1Cdxdyx即可.例例 14 求解方程.)(12yy 解解方程不顯含未知函數(shù)y,令 ， 則方程yzyz 降為一階方程,12z