數(shù)列不等式的放縮法

1、2021/6/161“放縮法放縮法” 證證明數(shù)列不等式明數(shù)列不等式2021/6/1622311111 ()2222nnN求證：例例1 1231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 12311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 31(niiak k為常數(shù)）形形（一一）如如2021/6/163不等式左邊可用等比數(shù)列前不等式左邊可用等比數(shù)列前n項和公式求和項和公式求和.分析分析左邊左邊11(1)22112n112n 12311111 ()2222nnN求證：例例1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實質

2、是實質是數(shù)列求和數(shù)列求和2021/6/164不等式左邊可用不等式左邊可用“錯位相減法錯位相減法”求和求和.分析分析由錯位相減法得由錯位相減法得 222nn2231232 ()2222nnnN求證：變變式式1 1表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實質是實質是數(shù)列求和數(shù)列求和231232222nn2021/6/165左邊不能直接求和，須先將其左邊不能直接求和，須先將其通項放縮通項放縮后后求和，如何放縮？求和，如何放縮？分析分析2311111 ()2 1212121nnN求證：變變式式2 2將通項放縮為將通項放縮為等比數(shù)列等比數(shù)列注意到注意到11212nn左邊左邊11(1)22112n112n

3、 12311112222n2021/6/166左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求左邊不能直接求和，須先將其通項放縮后求和，如何放縮？和，如何放縮？分析分析注意到注意到222nn2231232 ()2 122232nnnnN求證：變變式式3 3231232222nn左邊22nnnnn將通項放縮為將通項放縮為 錯錯位相減位相減模型模型2021/6/167【方法總結之一方法總結之一】2021/6/16811111()1 332055 7(21)(21)213)nnnN求證：(廣東文例例2 222211112 ()23nnN求證：變變式式1 122211171()234(2013)nnN求證：廣東

4、理變變式式2 222211151()233nnN求證：變變式式3 32021/6/169左邊可用左邊可用裂項相消法裂項相消法求和，先求和再放縮求和，先求和再放縮.分析分析11(1)221n1211111()1 332055 7(21)(21)213)nnnN求證：(廣東文例例2 2表面是證數(shù)列不等式，表面是證數(shù)列不等式，實質是實質是數(shù)列求和數(shù)列求和111111(1)()()23352121nn左邊1111()(21)(21)2 2121nnnn2021/6/1610左邊不能求和，應先將通項放縮為左邊不能求和，應先將通項放縮為裂項相消裂項相消模型模型后求和后求和.分析分析11 1n 22 ()n

5、保留第一項，保留第一項，從從第二項第二項開開始放縮始放縮111111 (1)()()2231nn 左邊21n22211112 ()23nnN求證：變變式式1 11(1)n n11()12nnn當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2021/6/1611變式變式2 2的結論比變式的結論比變式1 1強，要達目的，須將強，要達目的，須將變式變式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正，如何修正？進行修正，如何修正？分析分析22211171()234(2013)nnN求證：廣東理變變式式2 2保留前兩項，從保留前兩項，從第三項第三項開始放縮開始放縮思路一思路一211(1)nn n左邊左邊1

6、11142n 714n374()n211111111()()()223341nn 111nn(3)n 將變式將變式1 1的通項從第三項才開始放縮的通項從第三項才開始放縮. .當當n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2021/6/1612變式變式2 2的結論比變式的結論比變式1 1強，要達目的，須將變強，要達目的，須將變式式1 1放縮的放縮的“度度”進行修正，如何修正？進行修正，如何修正？分析分析2221117(201319(3) )1()234nnN廣東理第：問求證變變式式2 2保留第一項，保留第一項，從從第二項第二項開開始放縮始放縮思路二思路二22111nn左邊左邊11

7、111(1)221nn 111(1)22 274()n1111111(1)()()232411nn 111()211nn(2)n 將通項放得比變式將通項放得比變式1 1更小一點更小一點.當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2021/6/1613變式變式3 3的結論比變式的結論比變式2 2更強，要達目的，須將更強，要達目的，須將變式變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，如何修正？進一步修正，如何修正？分析分析保留前兩項，保留前兩項，從從第三項第三項開開始放縮始放縮思路一思路一左邊左邊11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n211111

8、1111()()()22243511nn 22211151()233nnN求證：變變式式3 322111nn111()211nn(3)n 將變式將變式2 2思路二中通項從第三項才開始放縮思路二中通項從第三項才開始放縮.當當n = 1, 2時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2021/6/1614變式變式3 3的結論比變式的結論比變式2 2更強，要達目的，須將更強，要達目的，須將變式變式2 2放縮的放縮的“度度”進一步修正，如何修正？進一步修正，如何修正？分析分析保留保留第一第一項，項，從從第第二項二項開始開始放縮放縮思路二思路二221114nn左邊左邊1112()321n 1123 25

9、3()n11111112 ()()()35572121nn 112()2121nn(2)n 將通項放得比變式將通項放得比變式2 2思路二更小一點思路二更小一點.22211151()233nnN求證：變變式式3 32441n當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2021/6/1615評注評注2021/6/1616【方法總結之二方法總結之二】 放縮法證明與數(shù)列求和有關的不等式的過程放縮法證明與數(shù)列求和有關的不等式的過程中，很多時候要中，很多時候要“留一手留一手”， 即采用即采用“有所保留有所保留”的方法，的方法，保留數(shù)列的第一項或前兩項，從數(shù)列的第保留數(shù)列的第一項或前兩項，從數(shù)列

10、的第二項或第三項開始放縮二項或第三項開始放縮，這樣才不致使結果放得過，這樣才不致使結果放得過大或縮得過小大或縮得過小. .2021/6/1617牛刀小試牛刀小試（變式練習（變式練習1 1）*22211151()35(21)4nnN求證：證明證明21(21)n111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn 14 (1)n n(2)n 2144nn111()41nn左邊當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2021/6/1618223311113()323232322nnnN求證：變式123111117()3232323214nnN求證：練習. .2

11、311115()2 12121213nnN求證：例例3 32231117()42424224nnnN變求證：式22021/6/1619分析分析思路思路左邊32nn211111333n 223311113()323232322nnnN求證：例例3 3利用指數(shù)函數(shù)的單調性放縮為等比模型利用指數(shù)函數(shù)的單調性放縮為等比模型23 1 ( ) 3nn123 1 ( ) 3n13n*111()323nnnnN11331213n2021/6/1620分析分析左邊左邊32n21111(1)733n 23111117()3232323214nnN求證：例例3 3 變變式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27

12、 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (2)n 保留第一項，從保留第一項，從第二項第二項開始放縮開始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項的方法將通項也放縮為也放縮為等比模型等比模型后求和？后求和？ 3171141(2)4n 當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2021/6/1621【方法總結之三方法總結之三】2021/6/1622分析分析左邊左邊32n21111(1)733n 23111117()3232323214nnN求證：例例3 3 變變式式2=3 (1)3nn223 (1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n (2)n 保留第一項，從保留第一項，從第二項第二項開始放縮開始放縮左邊不能直接求和，能否仿照例左邊不能直接求和，能否仿照例4的方法將通項的方法將通項也放縮為也放縮為等比模型等比模型后求和？后求和？ 3171141(2)4n 當當n = 1時，不等式顯然也成立時，不等式顯然也成立.2021/6/1623左邊32nn012111115 333n 2233111113()3232323210nnnN（變求證牛刀小試：式練習2）23 1 ( ) 3nn223 1 ( ) 3n25 3