小學(xué)三年級(jí)奧數(shù) 數(shù)陣圖二 知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題

1、數(shù)陣圖(二)上一講我們講了僅有一個(gè)“重疊數(shù)”的輻射型數(shù)陣圖的填數(shù)問題，這一講我們講有多個(gè)“重疊數(shù)”的封閉型數(shù)陣圖。例1 將18這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。分析與解：中間兩個(gè)數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次，所以兩個(gè)重疊數(shù)之和為21×2-(1+2+8)=6。在已知的八個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)之和為6的只有1與5，2與4。每個(gè)大圓上另外三個(gè)數(shù)之和為21-6=15。如果兩個(gè)重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個(gè)數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下圖的填法。如果兩個(gè)重疊數(shù)為2與4，那么同理可得上頁右下圖的填法。例

2、2 將16這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)內(nèi)，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。分析與解：本題有三個(gè)重疊數(shù)，即三角形三個(gè)頂點(diǎn)內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù)，并且各重疊一次。所以三個(gè)重疊數(shù)之和等于11×3-(1+2+6)=12。16中三個(gè)數(shù)之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三個(gè)重疊數(shù)是1，5，6，那么根據(jù)每條邊上的三個(gè)數(shù)之和等于11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn)，所填數(shù)不是16，不合題意。同理，三個(gè)重疊數(shù)也不能是3，4，5。經(jīng)試驗(yàn)，當(dāng)重疊數(shù)是2，4，6時(shí)，可以得到符合題意的填法(見右上圖)。例3 將16這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)中，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都相等。

3、分析與解：與例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因?yàn)槿齻€(gè)重疊數(shù)都重疊了一次，由(1+2+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和×3，得到每邊的三數(shù)之和等于(1+2+6)+重疊數(shù)之和÷3=(21+重疊數(shù)之和)÷3=7+重疊數(shù)之和÷3。因?yàn)槊窟叺娜龜?shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)。考慮到重疊數(shù)是16中的數(shù)，所以三個(gè)重疊數(shù)之和只能是6，9，12或15，對(duì)應(yīng)的每條邊上的三數(shù)之和就是9，10，11或12。與例2的方法類似，可得下圖的四種填法：每邊三數(shù)之和=9 每邊三數(shù)之和=10 每邊三數(shù)之和=11 每邊三數(shù)之和=12例4將29這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的里，使每條邊

4、上的三個(gè)數(shù)之和都等于18。分析與解：四個(gè)角上的數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。所以四個(gè)重疊數(shù)之和等于18×4-(2+3+9)=28。而在已知的八個(gè)數(shù)中，四數(shù)之和為28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1，1不是已知的八個(gè)數(shù)之一，所以，8和9只能填對(duì)角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法：“試填”的結(jié)果，只有右上圖的填法符合題意。以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。一般地，在m邊形中，每條邊上有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。與“輻射型m-n圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。對(duì)于封閉型數(shù)陣

5、圖，因?yàn)橹丿B數(shù)只重疊一次，所以已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和=每邊各數(shù)之和×邊數(shù)。由這個(gè)關(guān)系式，就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖，雖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復(fù)雜些，但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進(jìn)行分析，就能解決很多數(shù)陣問題。例5把17分別填入左下圖中的七個(gè)空塊里，使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)之和都等于13。分析與解：這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù)，記為a)；有重疊1次的(三個(gè)數(shù)，分別記為b，c，d)。根據(jù)題意應(yīng)有(1+2+7)+a+a+b+c+d=13×3，即 a+a+b+c+d=11。因?yàn)?+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a

6、=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。練習(xí)1.把18填入下頁左上圖的八個(gè)里，使每個(gè)圓圈上的五個(gè)數(shù)之和都等于20。2.把16這六個(gè)數(shù)填入右上圖的里，使每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)之和都相等。3.將18填入左下圖的八個(gè)中，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。4.將18填入右上圖的八個(gè)中，使得每條直線上的四個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都相等。5.將17填入右圖的七個(gè)，使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個(gè)空塊中，使得每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都等于34。答案與提示每個(gè)圓周的四數(shù)之和=12每個(gè)圓周的四數(shù)之和=13每個(gè)圓周的四數(shù)之和=14每個(gè)圓周的四數(shù)之和=15每個(gè)圓周的四數(shù)之和=163.提示：四個(gè)頂點(diǎn)數(shù)之和為15×4(128)=24，四個(gè)頂點(diǎn)數(shù)有3，6，7，8和4，5，7，8兩種可能。經(jīng)試驗(yàn)只有左下圖一個(gè)解。4.提示：每條直線或每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都等于(128)÷718。填法見右上圖。(填法不唯一)5.提示：頂上的數(shù)重疊2次，其它數(shù)都重疊1次。(127)×2頂上數(shù)=每條線上的和&