高考數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用知識分析

1、數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用知識要點：1數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。3縱觀多年來的高考試題，巧

2、妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。4數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在三角函數(shù)解題中，運用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野?？键c一：利用數(shù)形結(jié)合的方法解決有關(guān)方程和不等式問題：【例題分析】 例1. 若關(guān)于的方程的兩根都在區(qū)間(1，3）內(nèi)，求的取值范圍。解：由的圖象可知，要使兩根都在區(qū)間（1，3）內(nèi)，只需，同時成立，

3、解得，故說明：，其圖象與軸交點的橫坐標就是方程的根，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)可以得出對應(yīng)的方程情況。其他函數(shù)和方程也可以類似得出解決的方法。 例2. 已知，則方程的實根個數(shù)為（ ） A. 1個B. 2個C. 3個D. 1個或2個或3個解：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象的交點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選B。說明：數(shù)形結(jié)合法可以解決一些既不是無理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。例如本例題中的方程。考點二：利用數(shù)形結(jié)合法解決有關(guān)最大值最小值的問題 例3. 如果實數(shù)滿足，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 解：等式有明顯

4、的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，圓心為，半徑，（如圖），而則表示圓上的點與坐標原點（0，0）的連線的斜率，如此一來，該問題可轉(zhuǎn)化為如下幾何問題：動點在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線的斜率的最大值，由下圖可見，當點在第一象限，且與圓相切時，的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為。 例4. 已知滿足的最大值與最小值。解：對于二元函數(shù)在限定條件下求最值問題，常采用構(gòu)造直線的截距的方法來求之。 令，原問題轉(zhuǎn)化為：在橢圓上求一點，使過該點的直線斜率為3，且在軸上的截距最大或最小，由圖形知，當直線與橢圓相切時，有最大截距與最小截距。 由，得，故的最大值為13，最小值為。例5. 求函數(shù)的值

5、域。幾何法：的形式類似于斜率公式，表示過兩點的直線的斜率。 由于點在單位圓上（見下圖） 顯然， 設(shè)過的圓的切線方程為，則有，解得 即 函數(shù)值域為考點三：利用數(shù)形結(jié)合法解決其它問題： 例6. 若集合，集合，且，則的取值范圍為_。解：，顯然，表示以（0，0）為圓心，以3為半徑的圓在軸上方的部分，（如圖），而則表示一條直線，其斜率，縱截距為，由圖形易知，欲使，即是使直線與半圓有公共點，顯然的最小逼近值為，最大值為，即 例7. 點是橢圓上一點，它到其中一個焦點的距離為2，為的中點，表示原點，則（ ）A. B. C. 4D. 8解：（1）設(shè)橢圓另一焦點為，（如下圖），則而又注意到各為的中點是的中位線 （

6、2）若聯(lián)想到第二定義，可以確定點的坐標，進而求中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出，但這樣就增加了計算量，方法較之（1）顯得有些復(fù)雜。例8. 雙曲線C的兩個焦點是F1、F2，雙曲線上任意一點P，過F2作F1PF2的平分線的垂線平分線交于M，則M的軌跡是A. 圓 B. 直線 C. 雙曲線 D. 拋物線解：如圖，PM是F1PF2的平分線，F(xiàn)2N是PM的垂線，則F2PM和NPM全等，所以F2M=MN，PF2=PN，根據(jù)雙曲線的定義PF1-PF2=2a，所以NF1=2a，而在三角形F1NF2中OM為中位線，所以：|OM|=a，所以M點的軌跡為以原點為圓心a為半徑的圓。說明：數(shù)形結(jié)合法解決數(shù)學(xué)問題的

7、關(guān)鍵是要找到數(shù)學(xué)量的幾何意義或者幾何圖形的性質(zhì)，然后根據(jù)題意構(gòu)造幾何圖形，實現(xiàn)代數(shù)和幾何的相互聯(lián)系?！灸M試題】一. 選擇題： 1. 方程的實根的個數(shù)為（ ） A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個 2. 函數(shù)的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件 C. 充要條件D. 不充分也不必要條件 4. 若不等式的解集為，且，則的值為（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 若時，不等式恒成立，則的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 6. 定義在上的函數(shù)在上為增函數(shù)，

8、且函數(shù)的圖象的對稱軸為，則（ ）A. B. C. D. 二. 填空題： 7. 若對任意實數(shù)，都有，則，由小到大依次為_。 8. 若關(guān)于的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為_。 9. 函數(shù)的最小值為_。 10. 若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是。三. 解答題：11. 若方程在上有唯一解，求的取值范圍。12. 若不等式的解集為，且，求的取值范圍。13. 設(shè)，試求下述方程有解時的取值范圍： 【試題答案】一. 選擇題： 1. C解：畫出在同一坐標系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10，y=lgx在(0，+)內(nèi)遞增，所以和的圖象應(yīng)該有三個交點。2. D解：畫出的圖象。 情形

9、1：情形2：3. A解：命題甲：，命題乙：-3，由甲可以得出乙，反之不成立4. B解：畫出的圖象，依題意，從而，由5. C解：令，若，兩函數(shù)圖象如下圖（一）所示，顯然當時，要使，只需使，即。 綜上可知，當時，不等式對恒成立 若，兩函數(shù)圖象如右圖（二）所示，顯然當時，不等式恒不成立。 6. A解：的圖象是由的圖象向左平移2個單位而得到的，又知的圖象關(guān)于直線（即軸）對稱，故可推知，的圖象關(guān)于直線對稱，由在上為增函數(shù)，可知在上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。二. 填空題： 7. 解： 由知，的圖象關(guān)于直線對稱，又為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由的圖象，易知的大小。8. 解： 設(shè)畫出兩函數(shù)圖

10、象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使9. 解：最小值為對，聯(lián)想到兩點的距離公式，它表示點到（1，0）的距離；表示點到點（3，3）的距離，于是表示動點到兩個定點（1，0），（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得。 10. 解：表示傾角為，縱截距為的直線族，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在軸上方的部分（包括圓與軸的交點）如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即三. 解答題： 11. 解：原方程等價于則上述不等式組在上只有一個解。 令在同一坐標系內(nèi)，畫出它們的圖象。 其中注意，當且僅當兩函數(shù)的圖象在0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當或時，原方程有唯一解，因此的取值范圍為 說明：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。 12. 解：令，其中表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在軸的上方的部分（