中考數(shù)學(xué)與圓的綜合有關(guān)的壓軸題附答案

1、中考數(shù)學(xué)與圓的綜合有關(guān)的壓軸題附答案一、圓的綜合1 .已知AB, CD都是e O的直徑，連接 DB,過(guò)點(diǎn)C的切線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E.1 如圖 1,求證： AOD 2 E 1800；2如圖2,過(guò)點(diǎn)A作AF EC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F,過(guò)點(diǎn)D作DG AB ,垂足為點(diǎn)G,求證：DG CF;DG 33如圖3,在2的條件下，當(dāng) 時(shí)，在e O外取一點(diǎn)H,連接CH、DH分別交CE 4e O于點(diǎn)M、N,且 HDE HCE，點(diǎn)P在HD的延長(zhǎng)線上，連接 PO并延長(zhǎng)交CM于 點(diǎn)Q,若PD 11, DN 14, MQ OB ,求線段HM的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3) 8於 7【解析】【分析】

2、(1)由 /D+/E=90°,可得 2/D+2/E=180°,只要證明 /AOD=2/D 即可；(2)如圖2中，作OR，AF于R.只要證明 4AO宅 ODG即可；(3)如圖 3 中，連接 BG OM、ON、CN,彳BTL CL于 T,作 NK±CH于 K,設(shè) CH 交 DE于W.解直角三角形分別求出KM, KH即可；【詳解】1證明：如圖1中,QeO與CE相切于點(diǎn)C,OC CE, OCE 900，D E 90°，2 D 2 E 180°,Q AOD COB, BOC 2 D , AOD 2 D , AOD 2 E 1800 2證明：如圖2中，作O

3、R AF于R.Q OCF F ORF 900, 四邊形OCFR是矩形， AF/ /CD , CF OR ,A AOD , 在VAOR和VODG中，Q A AOD, ARO OGD 90°，OA DO ,VAOR VODG ,OR DG , DG CF ,3解：如圖3中，連接BC OM、ON、CN,彳BT CL于T,作NK CH于K,設(shè)CH交DE于W.設(shè) DG 3m,則 CF 3m, CE 4m ,Q OCF F BTE 900,AF/ /OC/ /BT ,Q OA OB,CT CF 3m,ET m ,QCD為直徑，CBD CND 90o CBE ,E 90oEBT CBT ,tan

4、E tan CBT ,BT CT, ET BTBT 3m m BTBT J3m（負(fù)根已經(jīng)舍棄），tan3mE 60°,Q CWD HDE H , HDEH E 600,MON 2 HCN 600，QOM ON ,VOMN是等邊三角形，MN ON ,QQM OB OM ,MOQ MQOQ MOQ PON 1800 MON 120°,MQOPON P,ON NP 14 11 25,CD 2ON 50, MN ON 25,P 180° H 120°,在 RtVCDN 中，cn Jcd2 dn2 h2 142 48，在 RtVCHN 中，tan H CN 至-J

5、3, HN HNHN 1673 ,在 RtVKNH 中，KH - HN 86, NK HN 24, 22在 RtVNMK 中，mK JMN2 NK2 J252 242 7,HM HK MK 8近 7 .本題考查圓綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或直角三角形解題 的關(guān)鍵.2.如圖，4ABC的內(nèi)接三角形，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，/PAC4 B, AD為。的直徑,過(guò)C作CGL AD于E,交AB于F,交。O于G.(1)判斷直線PA與。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：AG2=AFAB;(3)若。的直徑為1

6、0, AC=2J5, AB=4j5,求4AFG的面積.【答案】(1) PA與OO相切，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3) 3.【解析】試題分析：(1)連接CD,由AD為。的直徑，可得/ACD=90,由圓周角定理，證得/B=/D,由已知/PAC=Z B,可證得 DA, PA,繼而可證得 PA與。相切.(2)連接BG,易證得AF8 4AGB,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得結(jié)論 (3)連接BD,由AG2=AF?AB,可求得AF的長(zhǎng)，易證得 AEFABD,即可求得 AE的長(zhǎng)，繼而可求得 EF與EG的長(zhǎng)，則可求得答案.試題解析：解：(1) PA與。相切.理由如下：如答圖1 ,連接CD,.AD 為。的

7、直徑,/ACD=90C/ D+/CAD=90 : . /B=/D, ZPAC=Z B,，/PAC=/ D. / PAC+Z CAD=90 ;即 DA± PA. 點(diǎn)A在圓上， .PA與。相切.答圖1(2)證明：如答圖2,連接BG,. AD 為。的直徑，CG± AD, . Ac Ad.，/AGF=/ ABG. /GAF=/ BAG,AAGFAABG.AG： AB=AF： AG. AG2=AF?AB.(3)如答圖3,連接BD,. AD 是直徑，/ ABD=90. AG2=AF?AB, AG=AC=25 , AB=4心，AF=75 .-. CG± AD,/ AEF=/ A

8、BD=90 .一 ，一 一 一 AE / EAF=/BAD, .-.AAEFAABD. ABefaf2 ae21 .eg Jag2 ae2 4 , FG EGc1-1S aFG-FGAE-32 322afADEF 4 1 3.,解得：AE=2.10答圖3考點(diǎn)：1.圓周角定理；2.直角三角形兩銳角的關(guān)系;3.相切的判定；4.垂徑定理;5.相似三角形的判定和性質(zhì)；6.勾股定理；7.三角形的面積uuu3.在。中，點(diǎn)C是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A, B重合)，/ACB=120,點(diǎn)I是/ABC的 內(nèi)心，CI的延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)D,連結(jié)AD,BD.(1)求證：AD=BD.(2)猜想線段AB與DI的數(shù)量關(guān)系，并

9、說(shuō)明理由.(3)若。的半徑為2,點(diǎn)E, 5是AB的三等分點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) C從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，求點(diǎn)I 隨之運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) AB=DI,理由見(jiàn)解析(3)對(duì)3【解析】分析：(1)根據(jù)內(nèi)心的定義可得 CI平分/ACB,可得出角相等，再根據(jù)圓周角定理，可證(2)根據(jù)/ACB=120, /ACD=/ BCD,可求出/ BAD的度數(shù)，再根據(jù) AD=BD,可證得 ABD是等邊三角形，再根據(jù)內(nèi)心的定義及三角形的外角性質(zhì)，證明/BID=/IBD,得出ID=BD,再本艮據(jù)AB=BD,即可證得結(jié)論；(3)連接DO,延長(zhǎng)DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形式以D為圓心，DIi為半徑的弧

10、，根據(jù)已知及圓周角定理、解直角三角形，可求出 AD的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn) E, F是弧AB ? 的三等分點(diǎn)，4ABD是等邊三角形，可證得 ZDAIi = ZAIiD,然后利用弧長(zhǎng)的公式可求出點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng).詳解：(1)證明：二.點(diǎn)I是/ABC的內(nèi)心.CI 平分 / ACB/ ACD=Z BCD弧 AD=M BD.AD=BD(2) AB=DI理由：/ACB=120, /ACD=/ BCD / BCDX 12住60 ° 弧 BD=M BD/ DAB=Z BCD=60 °,.AD=BD .ABD是等邊三角形，.AB=BD, /ABD=/ C.I是4ABC的內(nèi)心BI 平分 / A

11、BC/ CBI=Z ABI Z BID=Z C+Z CBI, / IBD=/ABI+/ABD/ BID=Z IBD.ID=BD.AB=BD.AB=DI(3)解：如圖，連接 DO,延長(zhǎng)DO根據(jù)題意可知點(diǎn)I隨之運(yùn)動(dòng)形成的圖形式以D為圓心，DIi為半徑的弧 . /ACB=120,°弧 AD=> BD/ AED=T / ACB=T X 120=60 °:圓的半徑為2, DE是直徑.DE=4, / EAD=90 °，AD=sin/AEDX D©X4迪 點(diǎn)E, F是弧AB ?的三等分點(diǎn)，4ABD是等邊三角形,/ ADB=60 ° 弧AB的度數(shù)為120

12、； 弧AM、弧BF的度數(shù)都為為40 °/ ADM=20 =/ FAB / DAIi=Z FAB+Z DAB=80° / AIiD=180 °-/ADM- / DAIi=180 -20 -80 =80 ° / DAIi=/AIiD弧I1I2的長(zhǎng)為：2ape邛 邛11，AD=IiD=2L80 - 9點(diǎn)睛：此題是一道圓的綜合題，有一定的難度，熟記圓的相關(guān)性質(zhì)與定理，并對(duì)圓中的 弦、弧、圓心角、圓周角等進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透4.如圖，OM與菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) M的坐標(biāo)為(3, - 1),點(diǎn)A的坐 標(biāo)為(-2, J3),點(diǎn)B

13、的坐標(biāo)為(-3, 0),點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè).(1)求菱形ABCD的周長(zhǎng)；(2)若。M沿x軸向右以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，同時(shí)菱形ABCD沿x軸向右以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)菱形移動(dòng)的時(shí)間為t (秒)，當(dāng)。M與BC相切，且切點(diǎn)為BC的中點(diǎn)時(shí)，連接 BD,求: t的值;ZMBD的度數(shù)；1時(shí)，求t的值.(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn) M與BD所在的直線的距離為【答案】(1)8; (2)7;105° ( 3) t=6 -點(diǎn)或6+火.3【解析】分析：(1)根據(jù)勾股定理求菱形的邊長(zhǎng)為2,所以可得周長(zhǎng)為 8;(2) 如圖2,先根據(jù)坐標(biāo)求 EF的長(zhǎng)，由EE - FE=EF=7,

14、列式得：3t -2t=7,可得t 的值； 先求/EBA=60°,則/FBA=120°,再得ZMBF=45 °,相加可得：/ MBD = Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ；(3)分兩種情況討論：作出距離MN和ME,第一種情況：如圖 5由距離為1可知：BD為。M的切線，由BC是。M的切線，得 /MBE=30°,列式為3t+J3=2t+6,解出即可；第二種情況：如圖 6,同理可得t的值.詳解：(1)如圖1,過(guò)A作AE± BC于E.點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(-2, J3),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(-3, 0) ,AE=V3 , BE=3-2=1,A

15、B= Tae1 Be7 =4Q2 12 =2.四邊形 ABCD是菱形，.-.AB=BC=CD=AD=2,菱形 ABCD的周長(zhǎng)=2 X 4=8 (2)如圖2, OM與x軸的切點(diǎn)為F, BC的中點(diǎn)為E. , M (3, T) , . F (3, 0). . BC=2,且 E為 BC 的中點(diǎn)，E(4, 0), . EF=7,即 EE FE=EF, .-.3t-2t=7, t=7;由(1)可知：BE=1 , AE= J3,AE 3tanZ EBA= J=J3, . . / EBA=60 ,如圖 4, . / FBA=120 .BE 1.四邊形 ABCD是菱形， . / FBD=1 / FBA=2 12

16、0 =60 °.22BC是 O M 的切線，MF ± BC. F是BC的中點(diǎn)，.-.BF=MF=1,4BFM是等腰直角三角形，/ MBF=45 ；/ MBD=Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ；°(3)連接BM,過(guò)M作MN± BD,垂足為N,作MEXBCT E,分兩種情況： 第一種情況：如圖5./CBD=60 ：Z NBE=60 °.MN=1,，BD 為。M 的切線./DBC=60 °,Z NBE=120 °.MN=1,，BD 為。M 的切線. 四邊形ABCD是菱形，ZABC=120 °, 點(diǎn)M與B

17、D所在的直線白距離為 1,BC是 O M 的切線，/ MBE=30 °.ME=1,，EB=Q, . 3t+T3=2t+6,第二種情況：如圖 6. 四邊形ABCD是菱形，ZABC=120 °, 點(diǎn)M與BD所在的直線白距離為 1, BC是 O M 的切線，/ MBE=60 °. ME=MN=1, .RtBEM 中,MEtan60 =,BEEB=-1 =-2 ,tan 603.-3t=2t+6+，3綜上所述：當(dāng)點(diǎn)0 A0C E3M與BD所在的直線的距離為1 時(shí)，t=6 - V3 或 6+3點(diǎn)睛：本題是四邊形和圓的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)和判定、特殊的 三

18、角函數(shù)值、等腰直角三角形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，此類問(wèn)題比較復(fù)雜，弄清動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 方向、速度、時(shí)間和路程的關(guān)系，并與方程相結(jié)合，找等量關(guān)系，求出時(shí)間t的值.5.如圖，4ABC 內(nèi)接于。O,弦 ADLBC 垂足為 H, Z ABC= 2 Z CAD.（1）如圖1,求證：AB= BC;（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BMLCD垂足為 M, BM交。于E連接 AE、HM ,求證：AE/ HM;（3）如圖3,在（2）的條件下，連接 BD交AE于N, AE與BC交于點(diǎn)F,若NH=275 ,AD= 11,求線段 AB的長(zhǎng).1國(guó)U*喇.曲）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） AB的長(zhǎng)為10.【解析】分析：

19、（1）根據(jù)題意，設(shè)/CAD=a,然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余的關(guān)系，推導(dǎo)出/BAC=/ ACB,再根據(jù)等角對(duì)等邊得證結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AD、BM交于點(diǎn)N,連接ED根據(jù)圓周角定理得出 ZN=ZDEN=Z BAN,進(jìn)而根據(jù) 等角對(duì)等邊，得到 DE=DN,BA=BN再根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，求得MH / AE；（3）連接CE,根據(jù)（2）的結(jié)論，由三角形全等的判定與性質(zhì)證得HF=HQ然后結(jié)合勾股定理求出Ad-AH2=CC2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=8最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)得到詳解：(1)證明：設(shè)Z CAD=a,貝U / ABC=2a/ C=90 -a, / BAD=90 -

20、2a,/ BAC=90 -2a+a=90 -a °/ BAC=Z ACB.1. AB=BC(2)證明：延長(zhǎng) AD、BM交于點(diǎn)N,連接ED.AB. / DEN=Z DAB,/ N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z DEN=Z BAN .DE=DN,BA=BN又 ; BH±AN,DM±ENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)連接CE./ BDA=Z BCA,/ BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD&

21、#177; EF. AFNBAENB,同理可證 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NE . NH / EC,EC=2NHZ ; NH=2而，EC=4V5/ EAC=2Z AEC=2a=/ ABC可證弧 AC或 EC, .ac=ec=4,5設(shè) HD=x, AH=11-x,/ ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG,可證 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=CD2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x2X1=3,X2=27 (舍去),. CD=5,CH=4,AH=8. 2一 AHCH. -._.又&#

22、39;幻有7tan2a,.-.BH=6ab=JbM2 AH2，62 8210BH DH點(diǎn)睛：此題主要考查了圓的綜合，結(jié)合圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定與性 質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，靈活添加輔助線，構(gòu)造方程求解是解題關(guān)鍵6.已知：AB是。0直徑，C是。0外一點(diǎn)，連接BC交。0于點(diǎn)D, BD=CD連接AD、AC.(1)如圖 1,求證：/BAD=/ CAD(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CH AB于點(diǎn)F交。0于點(diǎn)E延長(zhǎng)CF交。0于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)作EHI± AG于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)K,求證AK=2OF;(3)如圖3,在(2)的條件下，EH交AD于點(diǎn)L,若0K=1,AC=CG線段AL的長(zhǎng)

23、.A0B圖D CAG,E D C(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析 而5【解析】試題分析：(1)由直徑所對(duì)的圓周角等于90°,得到 /ADB=90°,再證明 AB4 4ACD即可得到結(jié)論；(2)連接BE.由同弧所對(duì)的圓周角相等，得到 ZGAB=ZBEG.再證 KF瞌 BFE,得到BF=KF=- BK.由 OF=OB-BF, AK=ABBK,即可得到結(jié)論.2(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAB=.先證CM垂直平分AG,得到AM=GM, Z AG(+ZGCM=90°,再證 / GAF=/GCM = .通過(guò)證明AG®4CMG,得到1BG=GM=-AG

24、.再證明 /BGC=/MCG= .設(shè) BF=KF=a,可得 GF=2a, AF=4a.2由 OK=1,得到 OF=a+1, AK=2 (a+1) , AF= 3a+2,得到 3a+2=4a,解出 a 的值，得到 AF,HK 1AB, GF, FC的值.由tan a =tsd HAK= 一，AK=6,可以求出 AH的長(zhǎng).再由AH 21tan GAF tan BADtan BAD tan BCF 一 ,利用公式 tan Z GAD= ,得至U31 tan GAF tan BADZ GAD=45 ；則AL=&AH,即可得到結(jié)論.試題解析：解：(1) .AB 為 OO 的直徑，ZADB=90&

25、#176;, /. ZADC=90°. BD=CD, / BDA=Z CDA AD=AD,AABD AACD,/ BAD=Z CAD.(2)連接 BE. . BG=BG, . ./GABEG.,.CU AB, ./KFE=90：1 .EHXAG,Z AHE=Z KFE=90 ； /AK+/EKF,Z HAK=ZKEF=Z BEF.2 . FE=FE, Z KFE=Z BFE=90 ； .-.KFEABFBF=KF= BKL2OF=O曰BF, AK=AB-BK,AK=2OF.(3)連接CO并延長(zhǎng)交AG于點(diǎn)M,連接BG.設(shè)/ GAB=. AC=CG,點(diǎn)C在AG的垂直平分線上.OA=OG,

26、點(diǎn)O在AG的垂直平分線上, .CM 垂直平分 AG, .-.AM=GM, / AGO/GCM=90 ：. AFXCG,Z AGC+/ GAF =90/ GAF=/GCM =. AB 為。的直徑，Z AGB= 90 ,° /AGB=/CMG=90 :-.AB=AC=CG,AAGBACMG,1 _ " BG=GM= AG2,在 RtAGB 中，tan GAB tanGB 1AG 2 / AMC=Z AGB= 90 BG/ CM,/ BGC=Z MCG=設(shè) BF=KF=a, tan BGF tanBFGF1廣GF-,GF=2a,tanGAFtan2AFAF=4a. OK=1, O

27、F=a+1, AK=2OF=2 (a+1),AF=AK+KF=a+2 (a+1) =3a+2, ，3a+2=4a,3 .a=2, AK=6, .-.AF=4a=8, AB=AC=CG=10, GF=2a=4, FC=CG-GF=6.HK 122tan = =taniHAK=_ ,設(shè) KH=m ,貝U AH=2m ,，AK=Jm2 (2 m) =6,解得:AH 2,m=6石, . AH=2m=12迷.在 RBFC中, 55tan BCFBFFC- ZBAD+ZABD=90 °, / FBG/BCF=90 °, . . / BCF=/BAD,tan BADtanBCF1, .

28、tan / GAD=3tan GAF tan BAD1 tan GAF tan BAD1 1萬(wàn)3 11 -2 3/ GAD=45 ；HL=AH, AL=/2 AH= 1210 .57.已知：如圖，AB是。的直徑，PB切。O于點(diǎn)B, PA交。于點(diǎn)C, /APB是平分線 分別交BC, AB于點(diǎn)D、E,交OO于點(diǎn)F, / A=60° ,并且線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方 程x2 - kx+2 J3 =0的兩根(k為常數(shù)).(1)求證：PA?BD=PB?AE(2)求證：。的直徑長(zhǎng)為常數(shù)k;(3)求 tan/FPA的值.【答案】 見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3) tan/FPA=2- J3 .【解

29、析】試題分析：(1)由PB切。于點(diǎn)B,根據(jù)弦切角定理，可得 /PBD=/ A,又由PF平分/APB,可證得PBAPAE,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得 PA?BD=PB?AE(2)易證得BE=BD,又由線段 AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程 x2-kx+2J5=0的兩根(k為常 數(shù))，即可得 AE+BD=k,繼而求得 AB=k,即：。的直徑長(zhǎng)為常數(shù) k；(3)由/A=60。，并且線段 AE、BC的長(zhǎng)是一元二次方程 x2-kx+2/=0的兩根(k為常數(shù))，可求得 AE與BD的長(zhǎng)，繼而求得tan/FPB的值，則可得tan/FPA的值. 試題解析：(1)證明：如圖， PB切。O于點(diǎn)B,/ PBD=

30、Z A,. PF 平分 / APB,/ APE=Z BPD, .,.PBDAPAE, .PB: PA=BD AE,PA?BD=PB?AE(2)證明：如圖， / BED=Z A+/ EPA / BDE=Z PBD+Z BPD. 又 / PBD=Z A, / EPABPD,/ BED=Z BDE.BE=BD.線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程 x2- kx+2禽=0的兩根(k為常數(shù))， .AE+BD=k,.AE+BD=AE+BE=AB=k即。O直徑為常數(shù)k.(3) .PB切。于B點(diǎn)，AB為直徑./ PBA=90 : / A=60 ,°PB=PA?sin60PA,又 PA?BD=PB?AE3

31、BD= AE,線段AE、BD的長(zhǎng)是一元二次方程 x2- kx+2后=0的兩根(k為常數(shù)) .1.ae?bd=273 ,即 WAE2=2、/W,解得：AE=2, BD=,.AB=k=AE+BD=2+/-；, BE=BD=,在 RtPBA 中，PB=AB?tan60 = (2+/3)V3=3+2.入占be 對(duì)在 RtA PBE 中，tan / BPf 口 =LPB 3+爾3 / FPA之 BPF .tan / FPA=2- JI.【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以 及根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí).此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.8.如圖，已知

32、在 ABC中，/A=90：(1)請(qǐng)用圓規(guī)和直尺作出 OP,使圓心P在AC邊上，且與AB, BC兩邊都相切(保留作圖 痕跡，不寫作法和證明).(2)若/B=60°, AB=3,求。P 的面積.【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；(2) 3兀【解析】【分析】(1)與AB、BC兩邊都相切.根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知要作/ABC的角平分線，角平分線與AC的交點(diǎn)就是點(diǎn)P的位置.(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)和30。角的直角三角形的性質(zhì)可求半徑，然后求圓的面積.【詳解】/ ABP=30 ,° / A=90 ；BP=2APRtAABP 中,AB=3,由勾股定理可得：AP=J3,，Sop=3兀9. AB是OO

33、直徑，在AB的異側(cè)分別有定點(diǎn) C和動(dòng)點(diǎn)P,如圖所示，點(diǎn) P在半圓弧 AB 上運(yùn)動(dòng)(不與 A、B重合)，過(guò)C作CP的垂線CD ,交PB的延長(zhǎng)線于 D,已知AB 5, BC ： CA = 4 ： 3.(1)求證：AC CD = PC BC ;(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧的中點(diǎn)時(shí)，求 CD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PCD的面積最大？請(qǐng)直接寫出這個(gè)最大面積.X【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)CD=14X2；(3)當(dāng)PC為。直徑時(shí)，4PCD的最大面積50=.3【解析】【分析】AC BC(1)由圓周角定理可得 / PCD=Z ACB=90,可證ABJPCD,可得 即可得CP CD '證.(2

34、)由題意可求 BC=4, AC=3,由勾股定理可求 CE的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求PE的長(zhǎng)，即可得PC的長(zhǎng)，由AC?CD=PC?BCT求CD的值；14(3)當(dāng)點(diǎn)P在Ab上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Svpcd PC CD ,由(1)可得：CD -PC ,可得23_1422Svpcd一PCPC PC ,當(dāng)PC最大時(shí)， PCD的面積最大，而PC為直徑時(shí)最233大，故可求解.【詳解】證明：(1)CD,. AB為直徑，/ ACB=90 ° PCX CD,/ PCD=90 °/ PCD=/ ACB,且 / CAB=Z CPB .ABCAPCD.AC BCCP CD .AC?CD=PC?BC(2) AB=5

35、, BC： CA=4： 3, ZACB=90°.BC=4, AC=3,當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到Ab的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)點(diǎn)p是Ab的中點(diǎn)，B作BE, PC于點(diǎn)E/ PCB=45 ；且 BC=4.-.CE=BE=2 BC=2 . 2 / CAB=Z CPBBCtanZ CAB=AC=tan / CAB=3PEPE=.PC=PE+CE=32+2、2 =27.2.AC?CD=PC?BC.CA”31（3）當(dāng)點(diǎn) p在 AB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Szpcd=- >pc>cd,2由（1）可得：CD=4 PC 3一 1422Sa pcd=PC PC = pC,233當(dāng)PC最大時(shí)，APCD的面積最大，2 2 50當(dāng)PC

36、為。直徑時(shí)，4PCD的最大面積=-X2=33【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，銳角三角函數(shù)，求 出PC的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.10.如圖，在 4ABC中，AB= AC,以AB為直徑的。O與邊BC交于點(diǎn)D, DEX AC,垂足為E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：EF是。的切線；(2)若/C= 60 °, AC= 12,求?D 的長(zhǎng).(3)若 tanC= 2, AE= 8,求 BF的長(zhǎng).E C【答案】 見(jiàn)解析；(2) 2/萬(wàn).【解析】分析：(1)連接OD,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角，得/ABC=/ C,/ABC=/ ODB,從而得到ZC=Z ODB,根據(jù)

37、同位角相等，兩直線平行，得到 OD/AC,從 而得證ODL EF,即EF是。的切線；1(2)根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，由 AB=AC=12,求得OB=OD=AB=6,進(jìn)而根據(jù)等邊三角形的判定得到OBD是等邊三角形，即 ZBOD=600,從而根據(jù)弧長(zhǎng)公式七屆即可；(3)連接AD,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，由在R9DEC中，tanC 匹 2設(shè)CE=xMCE一一. 一AE 一 .一 一.DE=2x,然后由RtA ADE中，tan ADE 2 ,求得DE、CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)相似三DE角形的判定與性質(zhì)求解即可 .詳解：(1)連接 OD AB=AC . / ABC玄 C. OD=OB . . / ABC=/ ODB，/

38、C=/ ODB . .OD/ AC又DE，AC OD± DE,即 OD± EF.EF是。的切線1(2) AB=AC=12 OB=OD AB =6由(1)得：/ C=/ ODB=600/ BOD=600 1- Bd = 6' 6 2 即 Bd 的長(zhǎng) 2 180(3)連接 AD-DE，AC /DEC=Z DEA=90在 RtDEC中，tanC DE 2 設(shè) CE=x,J DE=2x CE AB 是直徑/ ADB=Z ADC=900 / ADE+/ CDE=90)在 RtA DEC中，/ C+Z CDE=9dAE 一/ C=Z ADE 在 RtA ADE 中，tan AD

39、E 2DE AE=8, DE=4 則 CE=2，AC=AE+CE=10直徑 AB=AC=10 貝U OD=OB=51.OD/AEAODFAAEFOFOD口uBF55即：AFAEBF108解得：BF=即BF的長(zhǎng)為.33點(diǎn)睛：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形以及 相似三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思 想的應(yīng)用.11.如圖，點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是-2,以原點(diǎn)。為原心、OB的長(zhǎng)為半徑作優(yōu)弧 AB, 使點(diǎn)A在原點(diǎn)的左上方，且 tan/AOB= J3 ,點(diǎn)C為OB的中點(diǎn)，點(diǎn) D在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù) 為4.(1) S扇形AOB= (大

40、于半圓的扇形)；(2)點(diǎn)P是優(yōu)弧AB上任意一點(diǎn)，則 /PDB的最大值為 °(3)在(2)的條件下，當(dāng) /PDB最大，且/AOPv 180°時(shí)，固定4OPD的形狀和大小， 以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將 OPD順時(shí)針旋轉(zhuǎn) “(0° WaW 360° 連接CP, AD.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，CP與AD有何數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；當(dāng)PD/AO時(shí)，求AD2的值； 直接寫出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn) C到PD所在直線的距離d的取值范圍.10,、【答案】(1) (2) 30 (3)AD=2P20+8 遍或20+8百1 wd W 3【解析】【分析】(1)利用扇形的面積公式計(jì)算即可.(2)如圖1中

41、，當(dāng)PD與。相切時(shí)，/PDB的值最大.解直角三角形即可解決問(wèn)題.(3) 結(jié)論：AD=2PC.如圖2中，連接 AB, AC.證明COW4AOD,即可解決問(wèn)題. 分兩種情形：如圖 3中，當(dāng)PD/ OA時(shí)，設(shè)OD交。于K,連一接PK交OC于H.求出 PC即可.如圖 中，當(dāng)PA/ OA時(shí)，作PK± OB于K,同法可得.判斷出PC的取值范圍即可解決問(wèn)題.【詳解】(1) tan Z AOB=黎,/ AOB= 60 ;3002210，一 .、.S扇形aob= 300 (大于半圓的扇形)，3603OPXPD,/ OPD= 90 ；八 OP sin PDO - OD/ PDB= 30 °,

42、同法當(dāng)DP與。相切時(shí)， /PDB的最大值為30 °, 故答案為30.(3)結(jié)論：AD=2PC./ BDP = 30°,理由：如圖2中，連接AB, AC.02.OA=OB, /AOB= 60；.AOB是等邊三角形，BC= OC, .AC，OB, / AOC= / DOP= 60 °,/ COP= / AOD,AO OD 2, OC OP.-.COPAAOD,AD AO 八 2,PC OC.AD=2PC.如圖3中，當(dāng)PD/ OA時(shí)，設(shè)OD交。于K,連接PK交OC于H.D3,. OP=OK, / POK= 60； .OPK是等邊三角形，1. PD/ OA,/ AOP=

43、/ OPD= 90 °, / POH+Z AOC= 90 ； / AOC= 60 ；/ POH= 30 ；,-.PH= 1OP=1, OH=囪PH= V3, 2 PC= . PH2 CH2.12 (1 、3)2.5 2.3, .AD=2PC,.AD2=4 (5+2 J3) = 20+8 73 .如圖 中，當(dāng)PA/ OA時(shí)，作PK!OB于K,同法可得：PG=12+ (8 -1) 2=5- 2向，AD2=4PC2=20-85/3 .由題意1巾Cc§，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn) C到PD所在直線的距離d的取值范圍為1甫W3.【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

44、，旋轉(zhuǎn)變換，勾股定 理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題.12.如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線 AC上，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑的。與AD、AC分 別交于點(diǎn)E、F,且/ ACB= / DCE(1)判斷直線CE與。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2) OO的半徑為旦4(1)首先連接 OE,由OE=OA與四邊形ABCD是矩形，易求得 / DEC吆OEA=90 ,即OE± EC即可證得直線 CE與。的位置關(guān)系是相切；(2)首先易證得CD4CBA,然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得DE的長(zhǎng)，又由勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，然后設(shè) OA為x,即可得方程(7

45、3)2 x2 (志 x)2,解此方程即可求得 。的半徑.【詳解】解：(1)直線CE與。相切.理由：連接OE,四邊形ABCD是矩形，Z B= ZD= ZBAD=90 °, BC/ AD, CD= AB,/DCEf/DEC= 90 °, /ACB=/DAC,又 / DC& / ACB, / DE&Z DAC= 90 °, .OE= OA,/ OEA= / DAC, / DE&Z OEA= 90 °,/ OEC= 90 ；.-.OE± EC, .OE為圓O半徑， 直線CE與。O相切；（2） ,. /B=/D, /DCE=/AC

46、B.CDECBA,BC AB，DC DE又 CD= AB=亞,BC= 2,.DE=1根據(jù)勾股定理得EC=書,又 ac Jab2 bc2設(shè) OA為 x,則（J3）2 x2 （娓 x）2,解得x ,4 O O的半徑為.4D【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知 識(shí).此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，注 意輔助線的作法.13.已知AC= DC, AC± DC,直線 MN經(jīng)過(guò)點(diǎn) A,作DBXMN,垂足為B,連結(jié) CB.感知如圖，點(diǎn)A、B在CD同側(cè)，且點(diǎn) B在AC右側(cè)，在射線 AM上截取AE= BD,連結(jié)CE

47、,可證 BC必 ECA,從而得出 EC= BC, Z ECB= 90°,進(jìn)而得出Z ABC=度；探究如圖，當(dāng)點(diǎn)A、B在CD異側(cè)時(shí)，感知得出的/ABC的大小是否改變？若不改變，給出證明；若改變，請(qǐng)求出 /ABC的大小.應(yīng)用在直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng) /BCD= 30°, BD=0時(shí)，直接寫出BC的長(zhǎng).【答案】【感知】：45;【探究】：不改變，理由詳見(jiàn)解析；【拓展】： BC的長(zhǎng)為3+1 或73-1. 【解析】感知證明BC*ECA (SAS 即可解決問(wèn)題；探究結(jié)論不變，證明 BCgECA (SAS 即可解決問(wèn)題;應(yīng)用分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題.【詳解】AM上截取 AE=

48、 BD,連結(jié) CE / CDB4/ CAB= 180 ； / CA中 / CAE= 180 °/ D= / CAE CD= AC, AE= BD,.,.BCDAECA (SAS ,BC= EC, / BCD= / ECA / ACEfZECD= 90 °, / ECDfZ DCB= 90 ;即 / ECB= 90°,Z ABC= 45 .故答案為45【探究】 不改變.理由如下: 如圖，如圖中，在射線 AN上截取 AE=BD,連接CE,設(shè)MN與CD交于點(diǎn) 0. . AC± DC, DBXMN, Z AC A Z DBA= 90 , Z AOC= Z DOB,Z D= Z EAQ CD=AC,.BCDAECA(SA§ , BC= EC, Z BCD= Z ECA Z AC曰/ECt”90 ,Z ECE>/ DCB=90 ,即/ ECB= 90 ,Z ABC= 45 .【拓展】如圖-1中，連接AD.圖1 Z ACEH-ZABD=180 , . .A, C, D, B四點(diǎn)共圓，Z DAB= Z DCB= 30 ； ，AB= (為口=<而， .EB=AB-AB=K1，74K/e, .ECB是等腰直角三角