初高中數(shù)學(xué)銜接教材

1、第一講數(shù)與式的運(yùn)算在初中，我們已學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，我們把實(shí)數(shù)和代數(shù)式簡(jiǎn)稱(chēng)為數(shù)與式代數(shù)式中有整式（多項(xiàng)式、單項(xiàng)式）、分式、根式它們具有實(shí)數(shù)的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算在多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算中，我們學(xué)習(xí)了乘法公式（平方差公式與完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多項(xiàng)式的運(yùn)算簡(jiǎn)便由于在高中學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到更復(fù)雜的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算，因此本節(jié)中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補(bǔ)充三個(gè)數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的運(yùn)算中，我們已學(xué)過(guò)被開(kāi)方數(shù)是實(shí)數(shù)的根式運(yùn)算，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常會(huì)接觸到被開(kāi)方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒(méi)有涉及，因此本節(jié)中要補(bǔ)充基于同樣的原因，還要補(bǔ)充“繁分式”

2、等有關(guān)內(nèi)容一、乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計(jì)算：解：原式=說(shuō)明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個(gè)字母的降冪或升冪排列【公式2】(立方和公式)證明: 說(shuō)明:請(qǐng)同學(xué)用文字語(yǔ)言表述公式2.【例2】計(jì)算：解：原式=我們得到：【公式3】(立方差公式)請(qǐng)同學(xué)觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱(chēng)為乘法公式【例3】計(jì)算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=說(shuō)明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時(shí)，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿(mǎn)足乘法公式的結(jié)構(gòu) （2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、20的平方數(shù)和1、2、3、4、10的立方數(shù)，是非常有好

3、處的【例4】已知，求的值解： 原式=說(shuō)明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計(jì)算較煩瑣本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算請(qǐng)注意整體代換法本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉【例5】已知，求的值解：原式= ，把代入得原式=說(shuō)明：注意字母的整體代換技巧的應(yīng)用引申：同學(xué)可以探求并證明： 二、根式式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1) (2) (3) (4) 【例6】化簡(jiǎn)下列各式：(1) (2) 解：(1) 原式=(2) 原式=說(shuō)明：請(qǐng)注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對(duì)值符號(hào)但字母的范圍未知時(shí)，要對(duì)字母的取值分類(lèi)討論【例7】計(jì)算（沒(méi)有

4、特殊說(shuō)明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)）：(1) (2) (3) 解：(1) 原式=(2) 原式=(3) 原式=說(shuō)明：(1)二次根式的化簡(jiǎn)結(jié)果應(yīng)滿(mǎn)足：被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式(2)二次根式的化簡(jiǎn)常見(jiàn)類(lèi)型有下列兩種：被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)或整式化簡(jiǎn)時(shí)，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式開(kāi)出來(lái)；分母中有根式(如)或被開(kāi)方數(shù)有分母(如)這時(shí)可將其化為形式(如可化為) ，轉(zhuǎn)化為 “分母中有根式”的情況化簡(jiǎn)時(shí)，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個(gè)根式進(jìn)行化簡(jiǎn)(如化為，其中與叫做互為有理化因式)【例8】計(jì)算：(1) (2) 解：(1) 原式=(

5、2) 原式= 說(shuō)明：有理數(shù)的的運(yùn)算法則都適用于加法、乘法的運(yùn)算律以及多項(xiàng)式的乘法公式、分式二次根式的運(yùn)算【例9】設(shè)，求的值解：原式=說(shuō)明：有關(guān)代數(shù)式的求值問(wèn)題：(1)先化簡(jiǎn)后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時(shí)，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時(shí)整體代入可簡(jiǎn)化計(jì)算量三、分式當(dāng)分式的分子、分母中至少有一個(gè)是分式時(shí)，就叫做繁分式，繁分式的化簡(jiǎn)常用以下兩種方法：(1) 利用除法法則；(2) 利用分式的基本性質(zhì)【例10】化簡(jiǎn)解法一：原式=解法一：原式=說(shuō)明：解法一的運(yùn)算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)一般根據(jù)題目特點(diǎn)綜合使用兩種方

6、法【例11】化簡(jiǎn)解：原式=說(shuō)明：(1) 分式的乘除運(yùn)算一般化為乘法進(jìn)行，當(dāng)分子、分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解再進(jìn)行約分化簡(jiǎn)；(2) 分式的計(jì)算結(jié)果應(yīng)是最簡(jiǎn)分式或整式練 習(xí) A 組1二次根式成立的條件是()ABCD是任意實(shí)數(shù)2若，則的值是()ABCD3計(jì)算：(1) (2) (3) (4) 4化簡(jiǎn)(下列的取值范圍均使根式有意義)：(1) (2) (3) (4) 5化簡(jiǎn)：(1) (2) B 組1若，則的值為()：ABCD2計(jì)算：(1) (2) 3設(shè)，求代數(shù)式的值4當(dāng)，求的值5設(shè)、為實(shí)數(shù)，且，求的值6已知，求代數(shù)式的值7設(shè)，求的值8展開(kāi)9計(jì)算10計(jì)算11化簡(jiǎn)或計(jì)算：(1) (2) (3) (4) 第一

7、講習(xí)題答案A組1 C 2 A3 (1) (2) (3) (4) 45B組1 D 2 3 456 3 789101143第二講 因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等一、公式法(立方和、立方差公式)在第一講里，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式) (立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式

8、反過(guò)來(lái)寫(xiě)，就得到：這就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的立方和(差)，等于這兩個(gè)數(shù)的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和)運(yùn)用這兩個(gè)公式，可以把形式是立方和或立方差的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項(xiàng)式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中解：(1) (2) 說(shuō)明：(1) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，經(jīng)常要逆用冪的運(yùn)算法則，如，這里逆用了法則；(2) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時(shí)，一定要看準(zhǔn)因式中各項(xiàng)的符號(hào)【例2】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2) 中提取公因式后，括號(hào)內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或解：(1) (2) 二、分組分解法從前面

9、可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項(xiàng)式，主要是二項(xiàng)式和三項(xiàng)式而對(duì)于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，如既沒(méi)有公式可用，也沒(méi)有公因式可以提取因此，可以先將多項(xiàng)式分組處理這種利用分組來(lái)因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組1分組后能提取公因式【例3】把分解因式分析：把多項(xiàng)式的四項(xiàng)按前兩項(xiàng)與后兩項(xiàng)分成兩組，并使兩組的項(xiàng)按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時(shí)另一個(gè)因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式解：說(shuō)明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項(xiàng)為一組，二、三項(xiàng)為一組，同學(xué)不妨一試【例4】把分解因式分析：按照原先分組方式，無(wú)公因式可提

10、，需要把括號(hào)打開(kāi)后重新分組，然后再分解因式解：說(shuō)明：由例3、例4可以看出，分組時(shí)運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用2分組后能直接運(yùn)用公式【例5】把分解因式分析：把第一、二項(xiàng)為一組，這兩項(xiàng)雖然沒(méi)有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式，其中一個(gè)因式是；把第三、四項(xiàng)作為另一組，在提出公因式后，另一個(gè)因式也是.解：【例6】把分解因式分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項(xiàng)作為一組，它是一個(gè)完全平方式，再和第四項(xiàng)形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式解：說(shuō)明：從例5、例6可以看出：如果一個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)分組后，各組都能直

11、接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以分組分解法來(lái)分解因式三、十字相乘法1型的因式分解這類(lèi)式子在許多問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點(diǎn)是：(1) 二次項(xiàng)系數(shù)是1；(2) 常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；(3) 一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和因此，運(yùn)用這個(gè)公式，可以把某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式【例7】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同【例8】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說(shuō)明：此例可以看出，常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，

12、應(yīng)分解為兩個(gè)異號(hào)的因數(shù)，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同【例9】把下列各式因式分解：(1) (2) 分析：(1) 把看成的二次三項(xiàng)式，這時(shí)常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項(xiàng)系數(shù) (2) 由換元思想，只要把整體看作一個(gè)字母，可不必寫(xiě)出，只當(dāng)作分解二次三項(xiàng)式解：(1) (2) 2一般二次三項(xiàng)式型的因式分解大家知道，反過(guò)來(lái)，就得到：我們發(fā)現(xiàn)，二次項(xiàng)系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，把寫(xiě)成，這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行這種借助畫(huà)十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法必須注

13、意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過(guò)多次嘗試，才能確定一個(gè)二次三項(xiàng)式能否用十字相乘法分解【例10】把下列各式因式分解：(1) (2) 解：(1) (2) 說(shuō)明：用十字相乘法分解二次三項(xiàng)式很重要當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不是1時(shí)較困難，具體分解時(shí)，為提高速度，可先對(duì)有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為負(fù)數(shù)，用減法”湊”，看是否符合一次項(xiàng)系數(shù)，否則用加法”湊”，先”湊”絕對(duì)值，然后調(diào)整，添加正、負(fù)號(hào)四、其它因式分解的方法1配方法【例11】分解因式解：說(shuō)明：這種設(shè)法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項(xiàng)式化為兩個(gè)平方式，然后用平方差公式分解當(dāng)然，本題還有其它方法，請(qǐng)大家試驗(yàn)2拆、添項(xiàng)

14、法【例12】分解因式分析：此多項(xiàng)式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行細(xì)查式中無(wú)一次項(xiàng)，如果它能分解成幾個(gè)因式的積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)，必是把一次項(xiàng)系數(shù)合并為0了，可考慮通過(guò)添項(xiàng)或拆項(xiàng)解決解： 說(shuō)明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項(xiàng)式分成兩組，滿(mǎn)足系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件本題還可以將拆成，將多項(xiàng)式分成兩組和一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：(1) 如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來(lái)分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來(lái)分解；(4)

15、 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止練 習(xí)A 組1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) 3把下列各式分解因式：(1) (2) (3)(4) (5) (6) 4把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) B 組1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 2已知，求代數(shù)式的值3證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時(shí)，能被120整除4已知，求證：第二講因式分解答案A組12

16、34 5B組1 234第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：(1) 當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：(2) 當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：(3) 當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，

17、判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：(1) (2) (3) 解：(1) ， 原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2) 原方程可化為： ， 原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3) 原方程可化為： ， 原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根說(shuō)明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍：(1) 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4) 方程無(wú)實(shí)數(shù)根解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 【例3】已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足，試求、的值解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：

18、二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩個(gè)根為：所以：，定理：如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么：說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱(chēng)為”韋達(dá)定理”上述定理成立的前提是【例4】若是方程的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算這里，可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想【例5】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值

19、(1) 方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根滿(mǎn)足分析：(1) 由韋達(dá)定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類(lèi)討論解：(1) 方程兩實(shí)根的積為5 所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為5(2) 由得知：當(dāng)時(shí)，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故；當(dāng)時(shí)，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時(shí)，方程的兩實(shí)根滿(mǎn)足說(shuō)明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿(mǎn)足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿(mǎn)足【例6】已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值解：(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立 一元二次方程的

20、兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ， 又是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ，但 不存在實(shí)數(shù)，使成立 (2) 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為說(shuō)明：(1) 存在性問(wèn)題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說(shuō)明存在，否則即不存在 (2) 本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會(huì)對(duì)為整數(shù)的分析方法練 習(xí)A 組1一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()ABCD2若是方程的兩個(gè)根，則的值為()ABCD3已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于的方程的根，則等于()ABCD4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()ABCD大小關(guān)系不能確

21、定5若實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足，則代數(shù)式的值為()ABCD6如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)恰是方程的兩個(gè)根，則這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 _ 8若方程的兩根之差為1，則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _ ，= _ 10已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則= _ ，= _ ，= _ 11對(duì)于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無(wú)論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？請(qǐng)您說(shuō)明理由12若，關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值13已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2) 若方程的兩根為，且滿(mǎn)足，求的值1

22、4已知關(guān)于的方程的兩根是一個(gè)矩形兩邊的長(zhǎng)(1) 取何值時(shí)，方程存在兩個(gè)正實(shí)數(shù)根？(2) 當(dāng)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是時(shí)，求的值B 組1已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)您說(shuō)明理由2已知關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于11求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根3若是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且都大于1(1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 若，求的值第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案A組1 B2 A3A4A5A67 38 9或91011正確1241314B組1(2) 不存在2(1)當(dāng)時(shí)，方程為，有實(shí)根；(2) 當(dāng)時(shí)，

23、也有實(shí)根3(1) ；(2) 第四講不 等 式初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法高中階段將進(jìn)一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識(shí)本講先介紹一些高中新課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識(shí)一、一元二次不等式及其解法 1形如的不等式稱(chēng)為關(guān)于的一元二次不等式【例1】解不等式分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號(hào)法則 - 正正(負(fù)負(fù))得正、正負(fù)得負(fù)”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組解：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是說(shuō)明：當(dāng)把一元二次不等式化為的形式后，只要左邊可以分解為兩個(gè)一次因式，即可運(yùn)用本題的解法【例2】解下列不等式：(1) (2) 分析：要先將不等式化為的形式，

24、通常使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)解：(1) 原不等式可化為：，即于是：所以原不等式的解是(2) 原不等式可化為：，即于是：所以原不等式的解是2一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡(jiǎn)稱(chēng)：三個(gè)二次)以二次函數(shù)為例：(1) 作出圖象；(2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與軸的交點(diǎn)是，即當(dāng)時(shí)，就是說(shuō)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩實(shí)根是(3) 當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的上方就是說(shuō)的解是當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)圖像位于軸的下方就是說(shuō)的解是一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1) 將二次項(xiàng)系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測(cè)相應(yīng)的二次函數(shù)圖象如果圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

25、(也可由根的判別式來(lái)判斷) 那么(圖1)： 如果圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(也可由根的判別式來(lái)判斷) 那么(圖2)： 無(wú)解如果圖象與軸沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根 (也可由根的判別式來(lái)判斷) 那么(圖3)： 取一切實(shí)數(shù) 無(wú)解如果單純的解一個(gè)一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：(1) 化二次項(xiàng)系數(shù)為正；(2) 若二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)一次因式的積，則求出兩根那么“”型的解為(俗稱(chēng)兩根之外)；“”型的解為(俗稱(chēng)兩根之間)；(3) 否則，對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求解【例3】解下列不等式：(1) (2) (3) 解

26、：(1) 不等式可化為 不等式的解是 (2) 不等式可化為 不等式的解是 (3) 不等式可化為【例4】已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：顯然不合題意，于是：【例5】已知關(guān)于的不等式的解為，求的值分析：對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根是和，且對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解解：由題意得：說(shuō)明：本例也可以根據(jù)方程有兩根和，用代入法得：，且注意，從而二、簡(jiǎn)單分式不等式的解法【例6】解下列不等式：(1) (2) 分析：(1) 類(lèi)似于一元二次不等式的解法，運(yùn)用“符號(hào)法則”將之化為兩個(gè)一元一次不等式組處理；或者因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)(式)相除異號(hào)，那么這兩個(gè)數(shù)(式)相乘也異號(hào)，可

27、將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 (2) 注意到經(jīng)過(guò)配方法，分母實(shí)際上是一個(gè)正數(shù)解：(1) 解法(一) 原不等式可化為： 解法(二) 原不等式可化為：(2) 原不等式可化為：【例7】解不等式解：原不等式可化為：說(shuō)明：(1) 轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)，一定要先將右端變?yōu)? (2) 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號(hào)：三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式(1) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(2) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為：；(3) 當(dāng)時(shí)，不等式化為：； 若，則不等式的解是全體實(shí)數(shù)； 若，則不等式無(wú)解【例8】求關(guān)于的不等式的解解：原不等式可化為：(1) 當(dāng)時(shí)，不等式的解為；(

28、2) 當(dāng)時(shí)， 時(shí)，不等式的解為； 時(shí)，不等式的解為； 時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)(3) 當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解綜上所述：當(dāng)或時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為全體實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，不等式無(wú)解【例9】已知關(guān)于的不等式的解為，求實(shí)數(shù)的值分析：將不等式整理成的形式，可以考慮只有當(dāng)時(shí)，才有形如的解，從而令解：原不等式可化為：所以依題意：練 習(xí) A 組1解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 2解下列不等式：(1) (2) (3) (4) 3解下列不等式：(1) (2) 4已知不等式的解是，求的值5解關(guān)于的不等式6已知關(guān)于的不等式的解是，求的值7已知不等式的解是，求不等式的解 B 組1已知

29、關(guān)于的不等式的解是一切實(shí)數(shù)，求的取值范圍2若不等式的解是，求的值3解關(guān)于的不等式4取何值時(shí)，代數(shù)式的值不小于0？5已知不等式的解是，其中，求不等式的解第四講不等式答案A 組123(1) 無(wú)解 (2) 全體實(shí)數(shù)45(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，；(3) 當(dāng)時(shí)，取全體實(shí)數(shù)67B 組123(1) 時(shí)，；(2) 時(shí)，無(wú)解；(3) 時(shí)，45第五講二次函數(shù)的最值問(wèn)題二次函數(shù)是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況(當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最小值，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得最大值，無(wú)最小值本節(jié)我們將在這個(gè)基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)當(dāng)自變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)

30、的最值問(wèn)題同時(shí)還將學(xué)習(xí)二次函數(shù)的最值問(wèn)題在實(shí)際生活中的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對(duì)稱(chēng)軸的草圖，觀察圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時(shí)相應(yīng)自變量的值 解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【例2】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值解：作出函數(shù)的圖象當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由上述兩例可以看到，二次函數(shù)在自變量的給定范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一段那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸的位置，函數(shù)在所給自變量的范圍的圖象形狀各異下面給出一些常見(jiàn)情況：【例3】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍解：作出函數(shù)在內(nèi)的圖

31、象可以看出：當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的取值范圍是【例4】當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱(chēng)軸與其范圍的相對(duì)位置解：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為畫(huà)出其草圖(1) 當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍左側(cè)即時(shí)：當(dāng)時(shí)，；(2) 當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍之間即時(shí)：當(dāng)時(shí)，；(3) 當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在所給范圍右側(cè)即時(shí)：當(dāng)時(shí)，綜上所述：在實(shí)際生活中，我們也會(huì)遇到一些與二次函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題：【例5】某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷(xiāo)售量(件)與每件的銷(xiāo)售價(jià)(元)滿(mǎn)足一次函數(shù)(1) 寫(xiě)出商場(chǎng)賣(mài)這種商品每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)與每件銷(xiāo)售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2) 若商場(chǎng)要想每天獲得

32、最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為多少？解：(1) 由已知得每件商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，那么件的銷(xiāo)售利潤(rùn)為，又(2) 由(1)知對(duì)稱(chēng)軸為，位于的范圍內(nèi)，另拋物線開(kāi)口向下當(dāng)時(shí)，當(dāng)每件商品的售價(jià)定為42元時(shí)每天有最大銷(xiāo)售利潤(rùn)，最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為432元練 習(xí) A 組1拋物線，當(dāng)= _ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在軸上；當(dāng)= _ 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)2用一長(zhǎng)度為米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 _ 3求下列二次函數(shù)的最值：(1) ；(2) 4求二次函數(shù)在上的最大值和最小值，并求對(duì)應(yīng)的的值5對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍6求函數(shù)的最大值和最小值7已知關(guān)

33、于的函數(shù)，當(dāng)取何值時(shí)，的最小值為0？B 組1已知關(guān)于的函數(shù)在上(1) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；(2) 當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，求函數(shù)的最大值2函數(shù)在上的最大值為3，最小值為2，求的取值范圍3設(shè)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值4已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值5求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))第五講 二次函數(shù)的最值問(wèn)題答案A 組14 14或2， 23(1) 有最小值3，無(wú)最大值；(2) 有最大值，無(wú)最小值4當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，56當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或1時(shí)，7當(dāng)時(shí)，B 組1(1) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， (2) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，234或5當(dāng)時(shí)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)第六講簡(jiǎn)單的二元二次方程組在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一

34、次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解法，掌握了用消元法解二元一次方程組高中新課標(biāo)必修2中學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，需要用到二元二次方程組的解法因此，本講講介紹簡(jiǎn)單的二元二次方程組的解法含有兩個(gè)未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元二次方程由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組，或由兩個(gè)二元二次方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組一、由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法求解其蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解【例1】解方程組分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(

35、1)，得，代入方程(2)消去解：由(1)得： (3)將(3)代入(2)得：，解得：把代入(3)得：；把代入(3)得：原方程組的解是：說(shuō)明：(1) 解由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的步驟： 由二元一次方程變形為用表示的方程，或用表示的方程(3)； 把方程(3)代入二元二次方程，得一個(gè)一元二次方程； 解消元后得到的一元二次方程； 把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3)，求相應(yīng)的未知數(shù)的 值； 寫(xiě)出答案 (2) 消，還是消，應(yīng)由二元一次方程的系數(shù)來(lái)決定若系數(shù)均為整數(shù)，那 么最好消去系數(shù)絕對(duì)值較小的，如方程，可以消去，變形 得，再代入消元 (3) 消元后，求出一元二次方程

36、的根，應(yīng)代入二元一次方程求另一未知數(shù)的值， 不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因?yàn)檫@樣可能產(chǎn)生增根，這一點(diǎn) 切記【例2】解方程組分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點(diǎn)，可以把、看成是方程的兩根，則更容易求解解：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把、看成是方程的兩根，解方程得： 原方程組的解是：說(shuō)明：(1) 對(duì)于這種對(duì)稱(chēng)性的方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時(shí)，未知數(shù)要換成異于、的字母，如 (2) 對(duì)稱(chēng)形方程組的解也應(yīng)是對(duì)稱(chēng)的，即有解，則必有解二、由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組1可因式分解型的方程組方程組中的一個(gè)方程可以因式分解化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組

37、可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)方程組，其中每個(gè)方程組都是由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)二元一次方程組成【例3】解方程組分析：注意到方程，可分解成，即得或，則可得到兩個(gè)二元二次方程組，且每個(gè)方程組中均有一個(gè)方程為二元一次方程解：由(1)得： 或 原方程組可化為兩個(gè)方程組：用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：說(shuō)明：由兩個(gè)二元二次方程組成的方程組中，有一個(gè)方程可以通過(guò)因式分解，化為兩個(gè)二元一次方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)方程組，其中每一個(gè)方程組均有一個(gè)方程是二元一次方程【例4】解方程組分析：本題的特點(diǎn)是方程組中的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，我們可以消去常數(shù)項(xiàng)，可得到一個(gè)二次三項(xiàng)式的方程對(duì)其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為例3的類(lèi)型解：

38、(1) (2)得：即 原方程組可化為兩個(gè)二元一次方程組：用代入法解這兩個(gè)方程組，得原方程組的解是：說(shuō)明：若方程組的兩個(gè)方程均缺一次項(xiàng)，則消去常數(shù)項(xiàng)，得到一個(gè)二元二次方程此方程與原方程組中的任一個(gè)方程聯(lián)立，得到一個(gè)可因式分解型的二元二次方程組【例5】解方程組分析：(1) +(2)得：，(1) -(2)得：，分別分解(3)、(4)可得四個(gè)二元一次方程組解：(1) +(2)得：，(1) -(2)得：解此四個(gè)方程組，得原方程組的解是：說(shuō)明：對(duì)稱(chēng)型方程組，如、都可以通過(guò)變形轉(zhuǎn)化為的形式，通過(guò)構(gòu)造一元二次方程求解2可消二次項(xiàng)型的方程組【例6】解方程組分析：注意到兩個(gè)方程都有項(xiàng)，所以可用加減法消之，得到一個(gè)

39、二元一次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組解：(1) 得：代入(1)得：分別代入(3)得： 原方程組的解是：說(shuō)明：若方程組的兩個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，則可用加減法消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，把它與原方程組的任意一個(gè)方程聯(lián)立，解此方程組，即得原方程組的解二元二次方程組類(lèi)型多樣，消元與降次是兩種基本方法，具體問(wèn)題具體解決練 習(xí)A 組1解下列方程組：(1) (2) (3) (4) 2解下列方程組：(1) (2) 3解下列方程組：(1) (2) (3) (4) 4解下列方程組：(1) (2) B 組1解下列方程組：(1) (2) 2解下列方程組：(1) (2)

40、3解下列方程組：(1) (2) 4解下列方程組： (1) (2) 第六講簡(jiǎn)單的二元二次方程組答案A 組12 3 4(1) (2) B 組1234，第七講分式方程和無(wú)理方程的解法初中大家已經(jīng)學(xué)習(xí)了可化為一元一次方程的分式方程的解法本講將要學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無(wú)理方程的解法并且只要求掌握(1)不超過(guò)三個(gè)分式構(gòu)成的分式方程的解法，會(huì)用”去分母”或”換元法”求方程的根，并會(huì)驗(yàn)根；(2)了解無(wú)理方程概念，掌握可化為一元二次方程的無(wú)理方程的解法，會(huì)用”平方”或”換元法”求根，并會(huì)驗(yàn)根一、可化為一元二次方程的分式方程1去分母化分式方程為一元二次方程【例1】解方程 分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程解：原方程可化為：方程兩邊各項(xiàng)都乘以：即，整理得： 解得：或檢驗(yàn)：把代入，不等于0，所以是原方程的解； 把代入，等于0，所以是增根所以，原方程的解是說(shuō)明：(1) 去分母解分式方程的步驟： 把各分式的分母因式分解； 在方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母； 去括號(hào)，把所有項(xiàng)都移到左邊，合并同類(lèi)項(xiàng)； 解一元二次方程； 驗(yàn)根(2) 驗(yàn)根的基本方法是代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，但代入原方程計(jì)算量較大而分式方程可能產(chǎn)生的增根，就是使