等面四面體的內切球與外接球

1、第六講 等面四面體的內切球與外接球引理2 任意四面體都有內切球及外接球。引理3 任意四面體的內切球在四個面上的切點與各面頂點連線給出切點處的周角的一個相同劃分。證明 如圖38，四面體ABCD的內切球在各面上的切點分別為O1、O2、O3、O4.由于球外一點向球引的切線長相等，可得AO2=AO3=AO4，BO1=BO3=BO4，. 于是O1BCO4BC，O2CDO1CD，.可設CO1D=CO2D=，DO1B=DO3B=，CO1B=CO4B=，AO3B=AO4B=，AO2C=AO4C=，AO2D=AO3D=z. 由周角360°,圖38 得 四式相加，除以2，得 式減式，得 式分別與、式聯立

2、，可解得引理3得證。定理5 等面四面體的各頂點到內切球的切線長相等。此定理的另一種敘述方式是：等面四面體內切球在各面上的切點是該面的外接圓圓心。證明 如圖38，由于ABCDCB，可移動并翻轉ABC，使其與DCB重合（A、B、C分別與D、C、B重合）. 現考察O4與O1的位置關系.假設O4與O1不重合，則O4在BO1D、BO1C、CO1D中的某一個內部或邊上。不失一般性，不妨設O4點在BO1內或在BO1上，則BO4D>BO1D,BO4D即是原ABC中的CO4A。由引理3，得CO4A=BO1D，存在矛盾，因此O4必與O1重合。于是O1B=O4C=O1C，同理O1D=O1C，即O1是BCD的外

3、心。同理可證O2、O3、O4分別是各面上的外心。定理6 四面體的內切球球心與外接球球心重合的充要條件是該四面體是等面四面體。證明 先證充分性。設等面四面體ABCD內切球球心為O，O點在各面上的射影為O1、O2、O3、O4，這四點分別是內切球與各面的切點。由定理5，這四點分別是各面三角形的外心，再由射影定理，得OA=OB=OC=OD，即O是四面體ABCD的外接球球心.再證必要性。由OA=OB=OC=OD，可得O1、O2、O3、O4是各面三角形的外心。以下相當于證明定理5的逆定理：由引理3，得CO1D=BO4A，又O1C=O1D=CO4=BO4=AO4，所以CO1DBO4A，所以CD=AB。同理可

4、得BC=AD，BD=AC。由此，ABCD是等面四面體。定理7 等面四面體的內切球球心、一面的重心及該面所對的頂點共線。圖39證明 作等面四面體ABCD的外接長方體。由定理6，等面四面體的內切球球心與外接球球心重合，且是外接長方體的中心（長方體對角線的交點）。如圖39，取AC、BD的中點E、F，EF與交于O。連結CF，交于M。顯然OMFMC，所以FM；MC=OF: C=1:2。M點是BCD的重心，所以A、O、M三點共線，定理得證。說明 對于一般四面體，每一面的重心與該面所對頂點連線共四條，這四條線段交于一點（此點是該四面體外接平行六面體的中心）。該點稱為四面體的重心。等面四面體的重心、內心（內切

5、球球心）、外心（外接球球心）重合，此點稱為等面四面體的中心。練 習1等面四面體每一頂點所處的三個面角之和必為180°。2等面四面體各個面都是銳角三角形。3已知四面體四個面都是邊長為10，17。的三角形，求以它六條棱中點為頂點的八面體的體積。4等面四面體的內切球球心到各面垂心的距離與到對頂點在該面上射影的距離相等。5等面四面體的四個旁切球球心都在其外接球上。練習答案或提示1等面四面體ABCD各個面全等，得BAC=CDB，CAD=DBC，DAB=BCD，由CDB+DBC+BCD=180°，得BAC+CAD+DAB=180°2利用三面角中任兩個面角之和大于第三個面角及第1題的結論。3先計算四面體外接長方體的各棱長，得6、8、15，內接八面體體積是該長方體體積的，為120。4如圖310，H是BCD是垂心，O是A在BCD上射影，由O作BCD各邊垂線OE，OG，OF。ABCDCB，DBGACG，B