留數(shù)定理與幾類積分的計算

1、留數(shù)定理與幾類積分的計算中文摘要本文主要總結(jié)幾類可用留數(shù)定理計算的積分的特征并給出對應(yīng)的用留數(shù)定理算積分的步驟以及可行性說明。其中類型3是對文獻1中給出的結(jié)論的推廣，類型3中的引理2是筆者對文獻1的一道習(xí)題的推廣并給出了證明。接著筆者補充了參考文獻2中多值函數(shù)積分部分4個引理的證明并給出相應(yīng)的應(yīng)用例子，類型7筆者根據(jù)個人理解將分成瑕積分和黎曼積分兩類給出計算方法。 關(guān)鍵詞：留數(shù)定理，積分計算，單值函數(shù)，多值函數(shù) 正文（一）單值函數(shù)類型1：形如的實積分，其中是有理函數(shù)，并且在圓周上分母不為零。解決技巧：令，將實積分轉(zhuǎn)化為單位圓周上的復(fù)積分。由可得：其中，是在單位圓周內(nèi)的所有孤立奇點，在單位閉圓盤

2、除去外的其他點都解析。例子：類型2：形如的實反常積分，其中是有理函數(shù)，在實軸上分母不為零，并且分母的次數(shù)至少比分子次數(shù)高2。計算公式為（其中為R(z)在上半平面的所有孤立奇點，R(z）在上半平面除去這些點外的其他點解析）解決技巧：圍道積分法。添加圓弧將實反常積分轉(zhuǎn)化到計算留數(shù)和半徑趨向于無窮的圓弧積分，其中取逆時針方向。如圖所示：圖1可行性分析：由留數(shù)定理可得當(dāng)時，有于是只要圓弧積分在半徑趨于無窮時存在極限則可以算出原反常積分。要求分母的次數(shù)至少比分子次數(shù)高2可使得半徑趨向于無窮的圓弧積分為零。證明：，由于分母次數(shù)至少比分子次數(shù)高2，因而必有，證得。令可得例子：類型3：形如的積分，其中在上可能

3、有有限個孤立奇點外，在其余點解析，而且，在實軸上的孤立奇點只能是可去奇點或者一階極點。 從對于類型2的可行性分析可知留數(shù)定理計算反常積分的可行性關(guān)鍵在于圓弧積分當(dāng)半徑趨于無窮時的極限好算，最好是為零。為了用留數(shù)定理解決類型3的積分需用Jordan引理。引理1（Jordan引理）:若函數(shù)在上連續(xù)，且，則對任意正的常數(shù)，都有，其中 用此引理可知滿足引理要求的與的乘積做被積函數(shù)的圓弧積分當(dāng)半徑趨于無窮時極限為零，可用留數(shù)定理計算反常積分。類型3.1形如的積分，其中在上半平面上可能有有限個孤立奇點外,分母在實軸上沒有零點，在其余點解析，而且解決技巧：圍道積分法。與類型2的解決技巧相同。計算公式及推導(dǎo)：

4、若在上半平面除去等所有孤立奇點外連續(xù)，在連續(xù)，且，則可得，分離實部和虛部可得：例子：類型3要求分母在實軸上不為零，此時我們會提出疑問如果被積函數(shù)在實軸上有有限個點使得分母為零，此時能否使用留數(shù)定理？為簡單起見，只討論這些實值均是f(x)的一階極點的情況。解決技巧：采用選取合適的積分閉路繞過奇點。如圖2所示： 圖2可行性分析：由留數(shù)定理可得：由此式我們可知計算關(guān)鍵在于小圓弧積分當(dāng)r趨于零時是否容易求極限。直觀判斷：時，可用替代，近似于。由于z=0只是一階極點，可存在，用其替代分子的位置。猜想，證明兩者相等的方法是作差，然后對作差結(jié)果的模進行合適放大來說明模必定為零。文獻2對以上猜想的一般化是下面

5、的引理2，此處略去證明。引理2：函數(shù)在區(qū)域D：上連續(xù)，且則（）含實值一階極點的類型3積分計算公式：其中是在實軸上的所有一階極點且除此之外無其他奇點。證明：不妨設(shè)在實軸上只有兩個一階極點，取積分閉路,其中分別以為中心，以r為半徑的半圓周，取順時針方向。（r足夠小，保證兩半圓周無交）由留數(shù)定理可得：+由Jordan引理得，由引理2得=令可得=最后用歸納法可證得f(z)有個實值一階奇點時成立。例子：（二）多值函數(shù)類型4：形如的反常積分，在上除去外解析，這些點均不在包括原點的正實軸上，是的m階零點（）解決技巧：做積分閉路C(R,r)如圖3所示： 圖3可行性分析：利用多值函數(shù)在正實軸下沿是上沿的取值乘上

6、一個不為1的常數(shù)，用留數(shù)定理可得,將轉(zhuǎn)換到大圓弧積分，小圓弧積分和留數(shù)的計算。引理3：若單值函數(shù)在上除去外解析，這些點均不在包括原點的正實軸上，是f(z)的m階零點（）則有（在正實軸上取實值的一個單值解析分支內(nèi)算留數(shù)）證明：考慮多值函數(shù)。在復(fù)平面上取正實軸作為割線，得一區(qū)域，再去掉后得到的區(qū)域D內(nèi)可以分解成單值解析分支。取在割線上沿取實值的分支，記為，做積分閉路如圖3所示，其中R足夠大，使得均在的內(nèi)區(qū)域。以原點為圓心，r為半徑。在實軸下沿，因為在實軸上沿要取實值，可取k=0。在下沿有。由留數(shù)定理可得先計算。,因為是f(z)的m零點（），故存在常數(shù)c,當(dāng)R足夠大時有,此時有;得再計算。由在z=0

7、處解析得存在使得在原點的某一領(lǐng)域內(nèi)，故可得。由得。令可得：例子：類型5:形如的積分。若單值函數(shù)在上除去外解析，這些點均不在包括原點的正實軸上，此外是的m階零點，。解決技巧：所做的積分閉路與類型4一樣?？紤]多值函數(shù)，因為我們無法得到的等式，可以保證不被抵消而得到便于計算的等式。引理4：若函數(shù)滿足類型5的要求，則有證明：考慮多值函數(shù)，在復(fù)平面上取正實軸作為割線，得一區(qū)域，在這一區(qū)域除去后得的區(qū)域D內(nèi)可將分成解析函數(shù)分支。取在割線上沿取實值的分支，記為。做積分閉路如類型4，由留數(shù)定理可得在正實軸下沿，?？傻茫骸Ｓ墒堑碾A零點知:必定存在常數(shù)，當(dāng)R足夠大時，故可得。（）下面估算小圓弧積分。（），在原點解

8、析，由局部保號性知存在.由于可知令可得分離實部和虛部可得：例子：類型6：形如的反常積分，f(x)是x的偶函數(shù)，在上半平面除去外是解析的，在除去外連續(xù)，并且當(dāng)z的模充分大時，有是常數(shù)。解決技巧：做積分閉路如下圖所示。圖4引理5：若滿足類型6的要求，則有：證明：考慮多值函數(shù)，在復(fù)平面上取正實軸為割線，得一區(qū)域，去掉外得到的區(qū)域D內(nèi)可以分解成單值連續(xù)分支。取在割線上沿取實值的一支，記為.做積分閉路如圖4所示，由留數(shù)定理可得。由引理4的證明可以看出大圓周積分當(dāng)R趨于無窮時為零，小圓周積分當(dāng)r趨于0時為零，該分支中負(fù)半軸取值，于是可得。分離實部和虛部則得：例子：計算類型7：形如的黎曼積分。單值函數(shù)在實軸

9、上取實值在上除去外解析，且不在上，的分母至少比分子高3次。解決技巧：做積分閉路如下圖所示。分別是以原點,z=1為圓心,r為半徑的圓周。圖5引理6：若f(z)滿足類型7的要求，則有：（為某一單值連續(xù)函數(shù)，該分支在割線上沿取實值）證明：考慮多值函數(shù)。由支點的定義可知均是h(z)的支點，無窮原點不是支點。取線段作為割線，可得一區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)再除去后得到區(qū)域D，在D內(nèi)可把h(z)分解成單值解析分支。取在割線上沿取實值的一支，記為，在下沿，根據(jù)幅角的變化可得。可得=R,f(z)的分母至少比分子高3次，可知存在常數(shù)當(dāng)R足夠大時，于是可得.仿照引理5也易得。取極限可得證得例子：類型8：形如的瑕積分，若單值

10、函數(shù)在實軸上取實值，在上除去外解析，且不在上，是的可去奇點。解決技巧：作積分閉路C(R,r)如下圖所示，其中均在的外區(qū)域，在的內(nèi)區(qū)域。圖6引理7：若滿足類型8的要求，則有：證明：作積分閉路如圖6所示，考慮多值函數(shù)。由支點的定義知只有均是h(z)的支點，取線段作為割線，可得區(qū)域，在該區(qū)域內(nèi)再除去后得到區(qū)域D，在D內(nèi)可把h(z)分解成單值解析分支。取在割線上沿取正值的一支，記為，在下沿由幅角的變化知；由，的定義以及多連通區(qū)域Cauchy積分定理可知有： 再由無窮原點的留數(shù)的定義可得故因為均在外，所以由留數(shù)定理可得： ，因為，由引理2可知。由易得。令可得：例子：總結(jié)：對于被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)

11、或者很難求解出原函數(shù)的積分，數(shù)學(xué)分析往往采用含參變量積分的技巧處理，然而這種處理技巧一般比較復(fù)雜。用留數(shù)定理求解積分簡便巧妙，把積分轉(zhuǎn)化到解析函數(shù)在某些孤立奇點的留數(shù)的計算，降低運算量。本文通過將具體的習(xí)題結(jié)論抽象成一般性的結(jié)論，加以證明并給出相應(yīng)的計算公式，一方面可以揭示留數(shù)定理解決類型1類型8積分的原理，一方面當(dāng)遇到這八類積分時可以省下很多工作量，因為只要計算相應(yīng)的留數(shù)然后代入對應(yīng)的計算公式變得積分結(jié)果。用留數(shù)定理算積分，關(guān)鍵在于選取合適的輔助函數(shù)和積分閉路，將實積分的計算轉(zhuǎn)化到留數(shù)的計算還有添加的路線上的積分估計。留數(shù)定理解決積分計算的可行性取決于添加路線上的積分，由前面的證明可以看得出來。有些積分的輔助函數(shù)和積分閉路的選擇就不像本文提到的幾種類型規(guī)則，比如選取和扇形周線，選取和長方形周線。具體參見文獻4（248251）可見積分閉路具體選擇時形狀是多種多樣的。輔助函數(shù)和閉路選擇的原則是添加的路線上的積分容易估計并且不能將我們關(guān)心的積分抵消掉，最后