南通市2013屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)

1、南通市2013屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)I參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：160分）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上1已知全集U=R，集合，則 答案：2已知復(fù)數(shù)z=(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第 象限 答案：三3已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是6，高為，這個(gè)正四棱錐的側(cè)面積是 答案：48.4定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意xR都有，當(dāng) 時(shí)，則 答案：5已知命題：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則是的 （從“逆命題、否命題、逆否命題、否定”中選一個(gè)填空）開始結(jié)束Yn1輸入x輸出xnn+1x2x

2、+1n3N（第8題）答案：否命題6已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與圓x2+y210x=0的圓心重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 答案：7若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S9=36，S13=104，則a5與a7的等比中項(xiàng)為 答案：8已知實(shí)數(shù)x1，9，執(zhí)行如右圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為 答案：9在ABC中，若AB=1，AC=，則= 答案：10已知，若，且，則的最大值為 答案：211曲線在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為 答案：(第12題)O12如圖，點(diǎn)O為作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體的平衡位置，取向右方向?yàn)檎较颍粽穹鶠?cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開始計(jì)時(shí)則

3、該物體5s時(shí)刻的位移為 cm 答案：1.513已知直線y=ax+3與圓相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線y=2x上，且PA=PB,則的取值范圍為 答案：14設(shè)P(x，y)為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，記，則當(dāng)m最小時(shí)，點(diǎn) P的坐標(biāo)為 答案：(2，3)ABCDEFA1B1C1(第15題)二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)把答案寫在答題卡相應(yīng)的位置上解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15(本題滿分14分)如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E是側(cè)面AA1B1B對(duì)角線的交點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面AA1C1C對(duì)角線的交點(diǎn)，D是棱BC的中點(diǎn)求證：（1）平面ABC；（2）平面AEF平面A1ADABCDEFA1B1C1(第

4、15題)解：（1）連結(jié)因?yàn)榉謩e是側(cè)面和側(cè)面的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以分別是的中點(diǎn)所以 3分又平面中，平面中，故平面 6分（2）因?yàn)槿庵鶠檎庵?，所以平面，所以故由，?8分又因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，且為正三角形，所以故由，得 10分而，平面，所以平面12分又平面，故平面平面14分16.（本題滿分14分）在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圓直徑為1，求的取值范圍解：(1)因?yàn)?，即，所以，?，得 4分所以，或(不成立)即 , 得 7分(2)由因， 8分故ABCD（第17題）P= 11分，故14分17.（本題滿分14分）某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種

5、長(zhǎng)方形薄板，其周長(zhǎng)為4米，這種薄板須沿其對(duì)角線折疊后使用如圖所示，為長(zhǎng)方形薄板，沿AC折疊后，交DC于點(diǎn)P當(dāng)ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能，凹多邊形的面積最大時(shí)制冷效果最好（1）設(shè)AB=x米，用x表示圖中DP的長(zhǎng)度，并寫出x的取值范圍；（2）若要求最節(jié)能，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？（3）若要求制冷效果最好，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬？解：（1）由題意，因，故 2分設(shè)，則因，故由 ，得 ，5分（2）記的面積為，則 6分，當(dāng)且僅當(dāng)(1，2)時(shí)，S1取得最大值8分故當(dāng)薄板長(zhǎng)為米，寬為米時(shí)，節(jié)能效果最好 9分（3）記的面積為，則，10分于是，11分關(guān)于的函數(shù)在上遞增，在上遞減所以當(dāng)時(shí)，取得最大值 13分故當(dāng)薄板長(zhǎng)

6、為米，寬為米時(shí)，制冷效果最好 14分18.（本題滿分16分）已知數(shù)列an中，a2=1，前n項(xiàng)和為Sn，且（1）求a1；（2）證明數(shù)列an為等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，試問是否存在正整數(shù)p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說明理由解：(1)令n=1，則a1=S1=0 3分(2)由，即， 得 ，得 于是， +，得，即 7分又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，數(shù)列an是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，an=n1 9分(3)假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p，q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列，則lgb1，lg

7、bp，lgbq成等差數(shù)列，于是， 11分所以，()易知(p，q)=(2，3)為方程()的一組解 13分當(dāng)p3，且pN*時(shí)，<0，故數(shù)列(p3)為遞減數(shù)列，于是<0，所以此時(shí)方程()無正整數(shù)解綜上，存在唯一正整數(shù)數(shù)對(duì)(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列 16分注 在得到式后，兩邊相除并利用累乘法，得通項(xiàng)公式并由此說明其為等差數(shù)列的，亦相應(yīng)評(píng)分但在做除法過程中未對(duì)n2的情形予以說明的，扣1分19.（本題滿分16分）已知左焦點(diǎn)為F(1，0)的橢圓過點(diǎn)E(1，)過點(diǎn)P(1，1)分別作斜率為k1，k2的橢圓的動(dòng)弦AB，CD，設(shè)M，N分別為線段AB，CD的中點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

8、方程；（2）若P為線段AB的中點(diǎn)，求k1；（3）若k1+k2=1，求證直線MN恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)解：依題設(shè)c=1，且右焦點(diǎn)(1，0)所以，2a=，b2=a2c2=2，故所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4分(2)設(shè)A(，)，B(，)，則，得 所以，k1= 9分(3)依題設(shè)，k1k2設(shè)M(,)，直線AB的方程為y1=k1(x1)，即y=k1x+(1k1)，亦即y=k1x+k2，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得 于是， 11分同理，當(dāng)k1k20時(shí)，直線MN的斜率k=13分直線MN的方程為，即 ，亦即 此時(shí)直線過定點(diǎn) 15分當(dāng)k1k2=0時(shí)，直線MN即為y軸，此時(shí)亦過點(diǎn)綜上，直線MN恒過定點(diǎn)，且坐標(biāo)為 16分20.

9、（本題滿分16分）已知函數(shù)且x1)（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；（2）若，使f(x1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：（1）因f(x)在上為減函數(shù)，故在上恒成立 2分所以當(dāng)時(shí)，又，故當(dāng)，即時(shí)，所以于是，故a的最小值為 6分（2）命題“若使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有” 7分由（1），當(dāng)時(shí)， 問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有” 8分當(dāng)時(shí)，由（1），在上為減函數(shù)，則=，故 10分當(dāng)時(shí)，由于在上為增函數(shù)，故的值域?yàn)?，?i)若，即，在恒成立，故在上為增函數(shù)，于是，=，不合 12分(ii)若，即，由的單調(diào)性和值域知，唯一，使，且滿足：當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；所以，=，所以，與矛盾，不合 15分綜上，

10、得 16分南通市2013屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)附加題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（考試時(shí)間：30分鐘 滿分：40分）21【選做題】本題包括A，B，C，D共4小題，請(qǐng)從這4題中選做2小題，每小題10分，共20分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上準(zhǔn)確填涂題目標(biāo)記，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修41：幾何證明選講ABEFDCO(第21A題)如圖，ABC是O的內(nèi)接三角形，若AD是ABC的高，AE是O的直徑，F(xiàn)是的中點(diǎn)求證：（1）； （2）證明：（1）連，則，又，所以ABEADC，所以 5分（2）連，是的中點(diǎn)，由(1)，得， 10分B選修42：矩陣與變換已知曲線，在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線，在矩陣N對(duì)應(yīng)的變換作

11、用下得到曲線，求曲線的方程解：設(shè)A=NM，則A， 3分設(shè)是曲線C上任一點(diǎn)，在兩次變換下，在曲線上的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則 ， 即 7分又點(diǎn)在曲線上， ，即10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與x軸的正半軸重合曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，tR)試在曲線C上求一點(diǎn)M，使它到直線l的距離最大解：曲線C的普通方程是 2分直線l的普通方程是 4分設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是，則點(diǎn)M到直線l的距離是 7分因?yàn)?，所以?dāng)，即Z)，即Z)時(shí)，d取得最大值 此時(shí)綜上，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為時(shí)，該點(diǎn)到直線l的距離最大 10分注 凡給出點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為，不扣分D選修45：不等式選

12、講已知且，求的最大值解：, 2分且，即，, 5分,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 10分ORPxyQM（第22題）22(本小題滿分10分)解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟如圖，已知定點(diǎn)R(0，3)，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在x軸和y軸上移動(dòng)，延長(zhǎng)PQ至點(diǎn)M，使，且（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1；（2）圓C2： ，過點(diǎn)(0，1)的直線l依次交C1于A，D兩點(diǎn)（從左到右），交C2于B，C兩點(diǎn)（從左到右），求證：為定值解：（1）法一：設(shè)M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，則由及R(0，3)，得化簡(jiǎn)，得 4分所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線 5分法二：設(shè)M(x，y)由，得 所以，由，得 ，

13、即化簡(jiǎn)得 4分所以，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C1是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上的拋物線 5分（2）證明：由題意，得 ，C2的圓心即為拋物線C1的焦點(diǎn)F設(shè)，則 7分同理 設(shè)直線的方程為 由得，即所以， 10分23(本小題滿分10分)解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟已知數(shù)列an滿足：（1）若，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若，試證明：對(duì)，an是4的倍數(shù)解：(1)當(dāng)時(shí)，令，則因?yàn)槠鏀?shù)，也是奇數(shù)且只能為，所以，即 3分 (2)當(dāng)時(shí)， 4分下面利用數(shù)學(xué)歸納法來證明：an是4的倍數(shù)當(dāng)時(shí)，命題成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，則存在N*，使得，其中，當(dāng)時(shí)，命題成立由數(shù)學(xué)歸納法原理知命題對(duì)成立 10分南通市2013屆高三第一次調(diào)研測(cè)

14、試數(shù)學(xué)講評(píng)建議第1題 考查集合運(yùn)算注意集合的規(guī)范表示法，重視集合的交并補(bǔ)的運(yùn)算第2題 考查復(fù)數(shù)的基本概念及幾何意義對(duì)復(fù)數(shù)的概念宜適當(dāng)疏理，防止出現(xiàn)知識(shí)盲點(diǎn)第3題 考查常見幾何體的表面積與體積的計(jì)算應(yīng)熟練掌握常見幾何體的表面積的計(jì)算，靈活應(yīng)用等體積法計(jì)算點(diǎn)面距第4題 本題考查一般函數(shù)的性質(zhì)周期性在解題中的應(yīng)用第5題 本題考查簡(jiǎn)易邏輯的知識(shí)應(yīng)注意四種命題及其關(guān)系，注意全稱命題與特稱性命題的轉(zhuǎn)換第6題 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)與圓的有關(guān)知識(shí)對(duì)雙曲線的講評(píng)不宜過分引申第7題 本題主要考查等差數(shù)列的基本概念及其簡(jiǎn)單運(yùn)算 法一 用性質(zhì)S9=9a5= -36，S13= 13a7= -104，于是a

15、5= -4，a7= -8，等比中項(xiàng)為 法二 用基本量S9=9a1+36d= -36，S13=13a1+78d= -104，解得a1=4，d= -2下同法一第8題 本題主要考查算法及幾何概型等知識(shí) 法一 當(dāng)輸入x=1時(shí)，可輸出x=15；當(dāng)輸入x=9時(shí)，可輸出y=79于是當(dāng)輸入x的取值范圍為1，9時(shí)，輸出x的取值范圍為15，79，所求概率為 法二 輸出值為由題意：，故第9題 本題主要考查向量與解三角形的有關(guān)知識(shí) 滿足的A，B，C構(gòu)成直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且A為直角，于是=1第10題 本題主要考查對(duì)數(shù)與線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識(shí)及簡(jiǎn)單運(yùn)算講評(píng)時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)的真數(shù)應(yīng)大于0強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)a之間的關(guān)系第

16、11題 本題主要考查基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及其導(dǎo)數(shù)的幾何意義 在方程中，令x=0，則得 講評(píng)時(shí)應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)處的切線”的區(qū)別第12題 本題主要考查三角函數(shù)及其應(yīng)用考題取自教材的例題教學(xué)中應(yīng)關(guān)注課本，以及有關(guān)重要數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，講評(píng)時(shí)還要強(qiáng)調(diào)單位書寫等問題 S(t)=，求S(5)= -1.5即可第13題 本題主要考查直線與圓的有關(guān)知識(shí) 圓心C(-1，0)到直線l：y=ax+3的距離為，解得a>0或a< 由PA=PB，CA=CB，得PCl，于是，進(jìn)而可求出x0的取值范圍第14題 考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力，考查運(yùn)用基本不等式解決問題講評(píng)時(shí)應(yīng)注意

17、加強(qiáng)對(duì)學(xué)生運(yùn)用整體法觀察問題解決問題能力的培養(yǎng) 法一 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)m取得最小，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為法二 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值下略第15題 本題主要考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力以及空間想象能力講評(píng)時(shí)應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)規(guī)范化的表達(dá)注意所用解題依據(jù)都應(yīng)來自于課本的有關(guān)定義、公理、定理等第16題 本題主要考查三角函數(shù)及解三角形的有關(guān)知識(shí)，涉及兩角和與差的三角公式、正余弦定理等講評(píng)時(shí)，應(yīng)適當(dāng)滲透切化弦、化同名、邊角互化、減少變量等策略，同時(shí)注意三角形內(nèi)本身一些關(guān)系在解決問題時(shí)的應(yīng)用，例如兩邊之和大于第三邊，sin(A+B)=sinC，面積公式及等積變換等 (2)法一：由因，故=，故法二：由正弦定理得：

18、由余弦定理得：，故 因?yàn)椋杂?，故，得因此，?7題 本題主要考查應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力試題以常見的圖形為載體，再現(xiàn)對(duì)基本不等式、導(dǎo)數(shù)等的考查講評(píng)時(shí)，應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)解決應(yīng)用問題的一般步驟與思維規(guī)律，教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生克服解決應(yīng)用題時(shí)的畏懼心理，在學(xué)生獨(dú)立解決應(yīng)用問題的過程中不斷增強(qiáng)他們的自信心 在使用基本不等式應(yīng)注意驗(yàn)證取等號(hào)的條件，使用導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)謹(jǐn)慎決斷最值的取值情況第18題 本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算，考查創(chuàng)新能力兩個(gè)基本數(shù)列屬C能要求，屬高考必考之內(nèi)容，屬各級(jí)各類考試之重點(diǎn) 第(3)問中，若數(shù)列an為等差數(shù)列，則數(shù)列(k>0且k1)為等比數(shù)列；反之若數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列(a>0且a1)為等差數(shù)列 第(3)問中，如果將問題改為“是否存在正整數(shù)m，p，q(其中m<p<q)，使bm，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(m，p，q)；若不存在，說明理由”那么，答案仍然只有