四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)

1、四點(diǎn)共圓的判定與性質(zhì)一、四點(diǎn)共圓的判泄（-）判定方法1、若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)泄點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。2、若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)（和為180° ）,則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。3、若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。4、若兩個(gè)點(diǎn)在一條線(xiàn)段的同旁，并且和這條線(xiàn)段的兩端連線(xiàn)所夾的角相等，那么這兩 個(gè)點(diǎn)和這條線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。5、同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。6、若AB、CD兩線(xiàn)段相交于P點(diǎn)，且PAXPB=PCXPD,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓（相交 弦泄理的逆定理）。7、若AB、CD兩線(xiàn)段延長(zhǎng)后相交于P。且PAXPB=PCXPD,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓（割 線(xiàn)泄

2、理）。8、若四邊形兩組對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線(xiàn)的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（托勒密定 理的逆左理。（二）證明1、若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)泄點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓。若可以判斷岀OA=OB=OC=OD,則A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為圓心OA為半徑的圓上。2、若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)（和為180° ）,則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。若ZA+ZC=180° 或ZB+ZD=180° ,則點(diǎn) A. B、C、D 四點(diǎn)共圓。3、若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)點(diǎn)共圓。若ZB二ZCDE,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓證法同上。4、若兩個(gè)點(diǎn)在一條線(xiàn)段的同旁，并且和這條線(xiàn)段的兩端

3、連線(xiàn)所夾的角相等，那么這 兩個(gè)點(diǎn)和這條線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)共圓。若ZA=ZD 或ZABD二ZACD,則 A、B、C、D 四點(diǎn)共圓。5、同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。如圖2,若ZA=ZC=90° ,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓。6、若AB、CD兩線(xiàn)段相交于P點(diǎn)，且PAXPB二PCXPD,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓（相交弦定理的逆定理）7、若AB. CD兩線(xiàn)段延長(zhǎng)后相交于巴且PAXPB二PCXPD,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓（割線(xiàn)定理），8、若四邊形兩組對(duì)邊乘枳的和等于對(duì)角線(xiàn)的乘積，則四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓（托勒密定理的逆定理）。已知四邊形ABCD,若ABXCD+BDX AC=ADX BC.則A、B、C、

4、D四點(diǎn)共圓。（三）例題25 己知公山。/中，.13=05 = 2, COD 中，CD = 0C = 3, ZL15<? =ZDCO.連接 JZ）、BC 9 點(diǎn)M、P分別為OD、AC的中點(diǎn)亠圖1圖2<如圖若加.0、C三點(diǎn)在同一宜線(xiàn)上，且Z“l(fā)S0=6（r,則FWY的形狀是AD _,此吋龐； &AD （2）如圖2.若兒。、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上.且厶仏0 = 2。證明RIAS®加.并計(jì)算荒 的值用含&的式子表示）:p 在圖2中，固定叭將COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，宜接與岀P"的最大值"25.如圖一，在中，分別以丄5C為直徑在丄5C外作半圓Q和半圓0：,其

5、中0： 和0.分別為兩個(gè)半圓的圓心.F是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別頭兩個(gè)半圓圓孤的中點(diǎn). “(1) 連結(jié) O.F.O.pzDF.a0:Er EF,證明：5DO罟F0工;a(2) 如圖二 過(guò)點(diǎn)A分別作半圓°：和半圓的切線(xiàn)，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)和CE的延長(zhǎng)線(xiàn) 于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，若ZACB=90°:DB=5, CE=3,求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng);“(3) 如圖三，過(guò)點(diǎn)H作半圓0的切線(xiàn)，交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)0作直線(xiàn)圧的垂線(xiàn), 交購(gòu)的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)耳 連結(jié)刃.證明：皮杲半圓0：的切線(xiàn)e圖二圖三3如圖1, Q9U為等腰直角三角形，厶N(yùn)C3為直角，D為丄3中點(diǎn)，E為辺丄C上一動(dòng)點(diǎn)， DF丄D巴交£C于 m平分Z3.4C交DE于"平分AABC交防于工 心(1) 求證：A JD£ACDP? q(2) 求證：Z.WC.Y=45°；卩 如圖丄，當(dāng)C-±D7時(shí)，延長(zhǎng)©-交.45于衛(wèi),若衛(wèi)=忑，試證明彷的長(zhǎng)是方程忑