解線性方程組的列主元素高斯消去法和LU分解法

1、實驗報告、實驗名稱解線性方程組的列主元素高斯消去法和LU分解法二、實驗?zāi)康募耙笸ㄟ^數(shù)值實驗，用熟悉的算法語言編寫程序，從中體會解線性方程組選主元素的必要性 和Lu分解法的優(yōu)點，以及方程組系數(shù)矩陣和右端向量的微小變化對解向量的影響。三、實驗內(nèi)容解下列兩個線性方程組3.016.031.99X111.274.16-1.23X210.987-4.819.34X3110701X183 2.09999962X25.9000015151X352102X41(1)四、算法描述1、列主元高斯消去法:記 a(1)aij(i, j1,2,L L(i1,2,L L(1 )消元過程對于R=1,2,n-1執(zhí)行:1)選行

2、號ik，使a；)maxa(kk)2)交換akjk)與a(kk)(j=k,k+1, )以及bkk)與bkk)所含的數(shù)值。3)對于i=k+1,k+2,，- - -n-計算mikaikk)/akk)a(k1)a(k)mkakjk)j=k+1,k+2.n.1)bi(k)mkbP(2 )回代過程xnbnn)/ann)Xk(b：k)akjk)Xj)/aky,k n 1,n 2,L L ,1.j k 1在此算法中的a(kk (k=1,2, ,n-1)稱為第k個列主元素，它的數(shù)值總要被交換到第kk個主對角線元素的位置上。2、LU分解法通過MATLAB自有的函數(shù)把系數(shù)矩陣 A分解成A=LU,其中，L是下三角矩陣

3、，U是上三角矩陣。這時方程組 Ax= b就可化為兩個容易求解的三角形方程組Ly= b, Ux= y.先由Ly=b解出向量y,再由Ux = y解出向量x,這就是原方程組 Ax= b的解向量。五、程序流程圖列主元高斯消去法程序流程圖如下:開始±讀入矩陣A,b計算加= 蛙/嚓氐嚴=謂-叫皿路LU分解法程序流程圖如下:開始讀入矩陣-nr這里我使用了四種框， 一種是起止框,一種是輸入輸出框/, 一種是判斷框，還有一種是處理框3、列主元素高斯消去法的 M文件如下:fun ctio na=liezhuGS(A,b)r=le ngth(A1,i)for i=1:rfor j=1:r if A(i,i

4、)<A(j,i)for k=i:rc=A(i:k);A(i,k)=A(j,k);A(j,k)=c;end d=b(i);b(i)=b(j);b(j)=d;end end for l=(i+1):r p=A(l,l)/A(i,i);for m=i:rA(l,m)=A(l,m)-p*A(i,m);end b(l)=b(l)-p*b(i);end endA Z=det(A) for n=r:-1:1if n=r x(n)=b(n)/A(n,n);else for q=1:(r-n) b(n)=b(n)-x(x+q)*A(n,n+q);end x(n)=b(n)/A(n,n);end end x

5、4、LU分解法的M文件如下:Function a=Lufenjiefa(A,b)L,U=lu(A)Y=lbX=uyZ=det(l)*det(u) 5、實驗步驟如下:3.016.031.991(1)A=1.274.16-1.23b=1 ;分別在命令窗口中運行LiezhuGs(A,b )和0.987-4.819.341Lufenjiefa(A,b);記錄相關(guān)數(shù)據(jù)10701832.099999625.900001(2)A=;b=;分別在命令窗口中運5151521021行 LiezhuGs(A,b)和 Lufenjiefa(A,b);記錄相關(guān)數(shù)據(jù)3.006.031.991(3)A=1.274.161.

6、23b=1;分別運行LiezhuGs(A,b),記錄列主行交換0.9904.819.341次序 x,det(A)107 01832.1 625.9(4)A=51 51 ；b=5;運行LiezhuGs(A,b),記錄相關(guān)數(shù)據(jù)21 021分別對上述b在命令窗口運行 x=inv(A)*b,y=det(A),記錄數(shù)據(jù)。A，六、實驗結(jié)果實驗列主元咼斯消去法LU分解法Matlab內(nèi)部函數(shù)項目法3x 100.63193.01A=06.031.99-6.7872798.687465-0.001495T0.672093 0.738072A =0.030547x 1031.5926, 0.6319, 0.4936

7、 T1L= 0.42190.32793.01U= 01.5926-0.23810.49366.031.99-6.78138.6875-0.0015lA二det(A)=-0.03()547A =-0.03053x 101.5926, 0.6319, 0.493610-7A= 002.51.56.00023.299999L=-0.30.5-0.00000045.0799990.20.96-0.799997 1lA =-7.620001 102T8.300001 5.079999A 1=7.620001 10210-7U= 02.5-1.50.2999995.0799989A =-7.620001 1023.06.031.99A= 0-6.7998.6833-0.019952T0.676.735035a|=0.4070141.195273x 1020.4714260.3684031.1952732x 1020.4714260.368403A =-0.407014x 01 1 1bA=1000A 1=7.62-72.508.31.53.25.08T5.08TIA =-7.62七、實驗結(jié)果分析解線性方程組有選主元的必要性。LU分解法具有簡潔、正確的優(yōu)點，調(diào)用L,U內(nèi)部函數(shù)使其解法簡便，得出的系數(shù)距陣的行列式為精確值。實驗(1)系數(shù)為改為，改為，得出結(jié)果如上所示。實驗(1