高物第八章匯總

1、第八章 8.1 黏彈性現(xiàn)象與力學(xué)模型 8.1.1 黏彈性與松弛 例81 根據(jù)下表數(shù)據(jù)，表中為松弛過程的頻率，繪圖并求出這一過程的活化能。 T()-32-11521446385(104S-1)1.94.07.115212857解：Arrhénius方程可以寫作： =1/=0exp-E/(RT)因而ln=ln0-E/(RT)E/R=2453KE=2453×8.31J·mol-12.04KJ·mol-1 圖89 從ln1/T曲線求松弛過程的活化能 8.1.2 靜態(tài)黏彈性與相關(guān)力學(xué)模型 例82 討論下述因素對(duì)蠕變實(shí)驗(yàn)的影響。 1. 相對(duì)分子質(zhì)量；b.交聯(lián)；c.纏

2、結(jié)數(shù)解：a.相對(duì)分子質(zhì)量：低于Tg時(shí)，非晶聚合物的蠕變行為與相對(duì)分子質(zhì)量無關(guān)，高于Tg時(shí)，非晶或未交聯(lián)的高聚物的蠕變受 相對(duì)分子質(zhì)量影響很大，這是因?yàn)槿渥兯俾适紫葲Q定于聚合物的黏度，而黏度又決定于相對(duì)分子質(zhì)量。根據(jù)3.4次規(guī)律，聚合物的平衡零剪切黏度隨重均相對(duì)分子 質(zhì)量的3.4次方增加。于是平衡流動(dòng)區(qū)的斜率隨相對(duì)分子質(zhì)量增加而大為減少，另一方面永久形變量也因此減少。相對(duì)分子質(zhì)量較大（黏度較大）蠕變速率較?。▓D810）。 b交聯(lián)：低于Tg時(shí)，鏈的運(yùn)動(dòng)很小，交聯(lián)對(duì)蠕變性能的影響很小，除非交聯(lián)度很高。但是，高于Tg時(shí)交聯(lián)極大地影響蠕變，交聯(lián)能使聚合物從黏稠液體變?yōu)閺?性體。對(duì)于理想的彈性體，當(dāng)加負(fù)荷

3、時(shí)馬上伸長(zhǎng)一定量，而且伸長(zhǎng)率不隨時(shí)間而變化，當(dāng)負(fù)荷移去后，該聚合物能迅速回復(fù)到原來長(zhǎng)度。當(dāng)交聯(lián)度增加，聚合物表現(xiàn) 出低的“蠕變” （圖810）。輕度交聯(lián)的影響就好像相對(duì)分子質(zhì)量無限增加的影響，分子鏈不能相互滑移，所以變成無窮大，而且永久形變也消失了。進(jìn)一步交聯(lián)，材料的模量增加，很高度交聯(lián)時(shí)，材料成為玻璃態(tài)，在外力下行為就像虎克彈簧。 c. 纏結(jié)數(shù)：已發(fā)現(xiàn)低于一定相對(duì)分子質(zhì)量時(shí)，黏度與相對(duì)分子質(zhì)量成比例。因?yàn)檫@一相對(duì)分子質(zhì)量相應(yīng)的分子鏈長(zhǎng)已足以使聚合物產(chǎn)生纏結(jié)。這種纏結(jié)如同暫時(shí)交聯(lián)， 使聚合物具有一定彈性。因此相對(duì)分子質(zhì)量增加時(shí)，纏結(jié)數(shù)增加，彈性和可回復(fù)蠕變量也增加。但必須指出聚合物受拉伸，纏結(jié)

4、減少，因此實(shí)驗(yàn)時(shí)間愈長(zhǎng)則可回復(fù)蠕 變愈小。圖810 相對(duì)分子質(zhì)量和交聯(lián)對(duì)蠕變的影響 例83 一塊橡膠，直徑60mm，長(zhǎng)度200mm，當(dāng)作用力施加于橡膠下部，半個(gè)小時(shí)后拉長(zhǎng)至300(最大伸長(zhǎng)600)。問：(1)松弛時(shí)間? (2)如果伸長(zhǎng)至400，需多長(zhǎng)時(shí)間?解：（1） （蠕變方程） 已知（注意：為應(yīng)變，而非伸長(zhǎng)率，1） （2）例84 有一未硫化生膠，已知其=1010泊，E109達(dá)因厘米2，作應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)，當(dāng)所加的原始應(yīng)力為100達(dá)因cm2時(shí)，求此試驗(yàn)開始后5秒鐘時(shí)的殘余應(yīng)力。 解： 已知，泊，例85 某個(gè)聚合物的黏彈性行為可以用模量為1010Pa的彈簧與黏度為1012Pa.s的黏壺的串聯(lián)模型描述

5、。計(jì)算突然施加一個(gè)1應(yīng)變50s后固體中的應(yīng)力值。解：為松弛時(shí)間，為黏壺的黏度，E為彈簧的模量，所以100s。0exp（t/）=Eexp（t/100）。式中102，s50s102×1010exp（50/100）=108exp（0.5）0.61×108Pa例86 應(yīng)力為15.7×108N·m-2，瞬間作用于一個(gè)Voigt單元，保持此應(yīng)力不變?nèi)粢阎搯卧谋倔w黏度為3.45×109Pa·s，模量為6.894×100N·m-2，求該體系蠕變延長(zhǎng)到200時(shí)，需要多長(zhǎng)時(shí)間?解：例87 某聚合物受外力后，其形變按照下式 發(fā)展。式

6、中，0為最大應(yīng)力;E(t)為拉伸到t時(shí)的模量。今已知對(duì)聚合物加外力8s后，其應(yīng)變?yōu)闃O限應(yīng)變值的13。求此聚合物的松弛時(shí)間為多少?解： 當(dāng) *例88 一種高分子材料的蠕變服從下式： 式中，n1.0；K105；（臨界應(yīng)力）。（1）試?yán)L制應(yīng)力分別為，時(shí)，從1104s的蠕變曲線；（2）這種材料能長(zhǎng)期承受以上的應(yīng)力嗎？為什么？答：（1），作不同值下的曲線，如圖8-11。（2）不宜長(zhǎng)期承受臨界應(yīng)力的作用。 例89 為了減輕橋梁振動(dòng)可在橋梁支點(diǎn)處墊以襯墊當(dāng)貨車輪距為10米并以60公里/小時(shí)通過橋梁時(shí)，欲緩沖其振動(dòng)有下列幾種高分子材料可供選擇： (1)1=1010，E1=2×108；(2)

7、2=108，E2=2×108；(3)3=106，E3=2×108，問選哪一種合適?解：首先計(jì)算貨車通過時(shí)對(duì)襯墊作用力時(shí)間。 已知貨車速度為60,000m/h，而貨車輪距為10m， 則每小時(shí)襯墊被壓次數(shù)為次/h，即1.67次/s。 貨車車輪對(duì)襯墊的作用力時(shí)間為s/次。 三種高分子材料的值如下：（） （1）（2）（3）根據(jù)上述計(jì)算可選擇（2）號(hào)材料，因其值與貨車車輪對(duì)橋梁支點(diǎn)的作用力時(shí)間具有相同的數(shù)量級(jí)，作為襯墊才可以達(dá)到吸收能量或減緩振動(dòng)的目的。 例810 一個(gè)紙杯裝滿水置于一張桌面上，用一發(fā)子彈桌面下部射入杯子，并從杯子的水中穿出，杯子仍位于桌面不動(dòng)如果紙杯里裝的是一杯高聚

8、物的稀溶液，這次，子彈把杯子打出了8米遠(yuǎn)用松弛原理解釋之 解：低分子液體如水的松弛時(shí)間是非常短的，它比子彈穿過杯子的時(shí)間還要短，因而雖然子彈穿過水那一瞬間有黏性摩擦，但它不足以帶走杯子。 高分子溶液的松弛時(shí)間比水大幾個(gè)數(shù)量級(jí)，即聚合物分子鏈來不及響應(yīng)，所以子彈將它的動(dòng)量轉(zhuǎn)換給這個(gè)“子彈液體杯子”體系，從而桌面把杯子帶走了。 例811 已知Maxwell模型的方程如下：而Voigt模型的方程如下：1. 推導(dǎo)此兩個(gè)模型應(yīng)力速率為常數(shù)時(shí)應(yīng)變時(shí)間關(guān)系方程；2. 推導(dǎo)此兩個(gè)模型應(yīng)變速率為常數(shù)時(shí)應(yīng)力時(shí)間關(guān)系方程。答案：（1）RMaxwell Voigt （2）SMaxwell Voigt *例812 試證

9、明由方程可以得出Maxwell模型中的本體黏度。 解：由，和，設(shè)Maxwell模型由個(gè)單元串聯(lián)。每一個(gè)單元的力學(xué)參數(shù)為和，即得： 即可由和加和求。 例813 試根據(jù)以下數(shù)據(jù)繪制兩個(gè)Maxwell單元并聯(lián)組合模型的應(yīng)力松弛曲線。 ；解：t102101110102103103.5103.8104E(t)3×10102.7×10101.1×10106.3×1064.5×1061.8×1062.1×1059.1×103277作圖 圖812 兩個(gè)Maxwell單元并聯(lián)組合模型的應(yīng)力松弛曲線 例814 當(dāng)用一個(gè)正弦力，作用于z

10、個(gè)串聯(lián)Maxwell模型(圖813)時(shí)，試導(dǎo)出復(fù)合模量的表達(dá)式。解：對(duì)于Maxwell模型： 或 令，圖813 z個(gè)串聯(lián)Maxwell模型 例815兩個(gè)并聯(lián)的Maxwell模型單元的元件參數(shù)分別為，。此種模型對(duì)于未硫化的高相對(duì)分子質(zhì)量聚合物為一級(jí)近似。試畫出它的的關(guān)系曲線。 解：由題意（Maxwell模型并聯(lián)）有： 式中，作圖（圖814）例816 對(duì)一種聚合物,用三個(gè)并聯(lián)的Maxwell模型表示 E1=105N·m-2,1=10sE2=106N·m-2,2=20sE3=107N·m-2,3=30s求加應(yīng)力10秒后的松弛模量E。 解：例817 假如某個(gè)體系含有兩個(gè)V

11、oigt單元，其元件參數(shù)是：和，式中，為單位體積中交聯(lián)網(wǎng)鏈的數(shù)目。試導(dǎo)出這一體系在恒定應(yīng)力下的蠕變響應(yīng)的表達(dá)式。 解：兩個(gè)Voigt單元串聯(lián)模型如圖815。 由和和圖815 兩個(gè)Voigt單元串聯(lián)模型 例818 有一個(gè)三元力學(xué)模型，其模量和黏度如圖816所示 圖816 三元力學(xué)模型(Maxwell單元與彈簧并聯(lián))求證：(1)該模型的應(yīng)力應(yīng)變方程為； (2)當(dāng)施以恒定應(yīng)變時(shí)，該模型的應(yīng)力松 弛方程為： 其中 為應(yīng)力松弛時(shí)初始最大應(yīng)力.解：（1）總應(yīng)力為，它與1、2、3的關(guān)系為：，總應(yīng)變與1、2、3的關(guān)系為： ，令，即，兩邊同乘以（2）當(dāng)施加恒定應(yīng)變時(shí)，于是上式成為當(dāng)t0時(shí)即其實(shí)也可直接觀察到這三

12、元模型是Maxwell模型和一個(gè)彈簧并聯(lián)。當(dāng)施壓0時(shí) （1）彈簧的應(yīng)力為（2）Maxwell模型部分的應(yīng)力為，其應(yīng)力松弛方程為總應(yīng)力松弛方程為兩者的加和例819 一個(gè)Voigt單元(E=2×105N·m-2， =103s)串聯(lián)一個(gè)黏壺(=3×108Pa·s)（見圖817）試計(jì)算： (1)當(dāng)加恒定負(fù)荷4.9N/m2時(shí)，這一體系的形變答應(yīng)值； (2)若負(fù)荷保留3000s后移去，試畫出蠕變與回復(fù)曲線，并用曲線計(jì)算該體系的黏度。 圖817 三元力學(xué)模型(Voigt單元與黏壺串聯(lián)) 解：（1），（2）作及回復(fù)曲線如圖818， 由曲線的斜率可求出圖818 三元力學(xué)模

13、型的蠕變和回復(fù)曲線 例820 把Voigt模型和黏壺串聯(lián)起來，成為三單元模型（圖819）。求施加一定的負(fù)荷下，在t0后。時(shí)間與應(yīng)變的關(guān)系，并畫圖表示出tt1時(shí)除去負(fù)重后將發(fā)生什么變化。 解： 式中： 圖819 三元力學(xué)模型(Voigt單元與黏 壺串聯(lián)) 圖820 三元力學(xué)模型除去負(fù)重后的應(yīng)變與時(shí)間關(guān)系 例821 三參數(shù)模型如圖821所示 （1）求該模型的蠕變?nèi)崃勘磉_(dá)式 （2）已知模型參數(shù)求5秒后模型的形變量。 圖821 三元力學(xué)模型(Voigt單元與彈簧串聯(lián))解：（1）已知Voigt模型 本三元模型（2）例822 列舉三個(gè)理由說明為什么我們的黏彈模型不能用來說明結(jié)晶聚合物的

14、行為。 解：因?yàn)榻Y(jié)晶型聚合物的黏彈性是很復(fù)雜的，因三點(diǎn)理由不服從于理論解釋： a、無定形聚合物是各向同性的，也就是意味著為描述剪切應(yīng)力而建立的模型也正好能用于描述拉伸應(yīng)力。然而，結(jié)晶聚合物不是各向同性的，所以任何模型的應(yīng)用都受到嚴(yán)格的限制。 b、無定形聚合物是均相的，因此所加的應(yīng)力能均勻分布到整個(gè)體系。在結(jié)晶聚合物中，大量的結(jié)晶束縛在一起，因此這種束縛使得出現(xiàn)較大的應(yīng)力集中。 c、結(jié)晶聚合物是不同結(jié)晶度的區(qū)域的混合物，當(dāng)施加應(yīng)力到結(jié)晶聚合物時(shí)，這些不同的區(qū)域的大小及分布隨結(jié)晶的熔化和生長(zhǎng)會(huì)發(fā)生連續(xù)變化。也就是說任何機(jī)械模型都必須考慮對(duì)在結(jié)晶聚合物中這些連續(xù)的變化。 8.1.3 動(dòng)態(tài)黏彈性與相關(guān)

15、力學(xué)模型 例823試從 出發(fā)，推導(dǎo)出解： 例824 取Maxwell模型，黏壺和彈簧分別由和E確定，以頻率為的脈沖進(jìn)行動(dòng)力學(xué)測(cè)定。求證：時(shí)，解： 即*例825 有一個(gè)動(dòng)態(tài)力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)力，應(yīng)變，試指出樣品在極大扭曲時(shí)，彈性貯能()與一個(gè)完整周期內(nèi)所消耗的功()之間的關(guān)系為： 式中，和分別為貯能模量和損耗模量 解 由題意，應(yīng)力和應(yīng)變與交變頻率、時(shí)間的關(guān)系如圖8-22 圖8-22應(yīng)力和應(yīng)變與交變頻率、時(shí)間的關(guān)系 應(yīng)力:應(yīng)變：切變模量： 貯能模量：損耗模量：一個(gè)周期內(nèi)反抗應(yīng)力作功(耗能)： 一個(gè)周期內(nèi)彈性貯能： 例826 推導(dǎo)彈簧-黏壺串聯(lián)黏彈性模型的應(yīng)力-應(yīng)變方程及當(dāng)模型施加正弦交變應(yīng)力時(shí)的復(fù)數(shù)模

16、量（，）和復(fù)數(shù)柔量（，）表達(dá)式。 解：（1）應(yīng)力-應(yīng)變方程：彈簧與黏壺串聯(lián)模型即為圖8-23的Maxwell模型。當(dāng)一外力作用在模型上時(shí)，彈簧與黏壺所受的應(yīng)力相同，總形變?yōu)閮烧叩募雍?，即圖8-23 Maxwell模型由于，則有上式便是Maxwell模型的運(yùn)動(dòng)方程式，即應(yīng)力應(yīng)變方程。（2）、和、的表達(dá)式：當(dāng)模型受到一個(gè)交變應(yīng)力作用時(shí)，其運(yùn)動(dòng)方程式可寫成在到時(shí)間區(qū)內(nèi)對(duì)上式積分，則+應(yīng)變?cè)隽砍陨蠎?yīng)力增加即為復(fù)合柔量，由上式得 因此，。應(yīng)力增量除以應(yīng)變?cè)隽?，即為?fù)合模量，得+因此，*例827 標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型中黏度和模量如圖8-24所示，試證明當(dāng)用正弦交變應(yīng)力作用于該模型時(shí)，其內(nèi)耗正切的表示式為，式

17、中為正弦交變應(yīng)力的角頻率，為模型的松弛時(shí)間，。圖8-24標(biāo)準(zhǔn)線性固體模型解：這三元件模型可看做一個(gè)彈簧和一個(gè)Maxwell模型并聯(lián)。根據(jù)并聯(lián)模型應(yīng)變相等應(yīng)力相加的原理，有和當(dāng)以正弦交變應(yīng)力作用該模型時(shí)，產(chǎn)生的正弦交變的應(yīng)變復(fù)數(shù)為，則故，所以例828 用Maxwell模型證明，。分析：高聚物熔體具有黏彈性，與復(fù)數(shù)模量和復(fù)數(shù)柔量一樣，復(fù)數(shù)黏度也包括兩部分，實(shí)部表示真正的黏度貢獻(xiàn)，虛部是彈性部分的貢獻(xiàn)，其兩部分的表示式可用Maxwell串聯(lián)模型導(dǎo)得。解：當(dāng)模型受到一個(gè)交變應(yīng)力時(shí)，便產(chǎn)生一個(gè)交變的形變，由，得又因，所以說明：為實(shí)數(shù)部分，又稱為動(dòng)態(tài)黏度。例829 對(duì)聚合物施加一個(gè)交變應(yīng)力0cos（t），

18、產(chǎn)生應(yīng)變1cos（t）2sin（t），證明柔量的儲(chǔ)能分量J1和損耗分量J2分別由下面兩式表示： J1=1/0= J2=2/0=計(jì)算0.01，0.1，0.316，1，3.16，10和100時(shí)J1E和J2E值。 畫出J1E和J2E對(duì)log（）關(guān)系的草圖。 解：d/dt=-1sin(t)+2cos(t) =令sin和cos分量分別相等，得 2 （1） 和2 （2） 將（1）式代入（2）式得 或然后（1）式成為 所得數(shù)據(jù)列表和作圖如下： 0.010.100.31613.1610100-2-1-0.500.51210.990.910.50.090.0110-40.010.100.290.50.290.1

19、00.01圖825 J1E和J2E對(duì)log（）關(guān)系 8. 2 時(shí)溫等效原理和WLF方程例830 PMMA的力學(xué)損耗因子在130得到一峰值，假定測(cè)定頻率是1周秒如果測(cè)定改在1000周秒，在什么溫度下得到同樣的峰值?(已知PMMA的Tg105)解：思路分析：130 Tg（105） ？（求） 1Hz ？（通過） 1000Hz第一步：將測(cè)量從130、1Hz，移至105，求頻率：第二步：將測(cè)量從105、移至1000Hz，求TT156 例831 對(duì)聚異丁烯(PIB)在2510小時(shí)的應(yīng)力松弛達(dá)到模量106達(dá)因厘米-2利用WLF方程，在20下要達(dá)到相同的模量需要多少時(shí)間對(duì)PIBTg=70 解：思路分析：25

20、Tg（70） 20 10h ？（通過） ？（求） 第二種方法： 其他作法分析： 從書上查得PIB的，代入WLF方程計(jì)算得。結(jié)果出現(xiàn)差別的原因是這里和采用了PIB的實(shí)驗(yàn)值，而非普適值。 例832 對(duì)非晶高分子，升溫到Tg以上的模量比玻璃態(tài)時(shí)的模量小3個(gè)數(shù)量級(jí)，根據(jù)Tg附近模量的松弛譜和它的溫度依賴性，推斷從Tg要升高到多少溫度？解：根據(jù)Rouse模型，松弛模量，模量小3個(gè)數(shù)量級(jí)，則松弛時(shí)間譜的數(shù)量級(jí)變化為。用WLF方程換算27 即在Tg以上約30例833 25下進(jìn)行應(yīng)力松弛實(shí)驗(yàn)，聚合物模量減少至105N/m3需要107h。用WLF方程 計(jì)算100下模量減少到同樣值需要多久？假設(shè)聚合物的Tg是25

21、。 解：例834 一PS試樣其熔體黏度在160時(shí)為102Pa·s，試用WLF方程計(jì)算該樣在120時(shí)的黏度 解：根據(jù)WLF方程 當(dāng)，得又有 例835 已知某材料的，問：根據(jù)WLF方程，應(yīng)怎樣移動(dòng)圖826中的曲線（即移動(dòng)因子）才能獲得100時(shí)的應(yīng)力松弛曲線。 解：圖826 某材料的lg Elg t曲線 例836 聚異丁烯的應(yīng)力松弛模量，在25和測(cè)量時(shí)間為1h下是3×105N·m-2它的時(shí)溫等效轉(zhuǎn)換曲線估計(jì)； (1)在80和測(cè)量時(shí)間為1h的應(yīng)力松弛模量為多少?(2)在什么溫度下，使測(cè)定時(shí)間為10-6h，與80測(cè)量時(shí)間為1h，所得到的模量值相同?解 (1) 由PIB的時(shí)溫

22、等效轉(zhuǎn)換曲線(圖827)查到，在80和測(cè)量時(shí)間為1h下，即N·m-2(2)已知PIB的，應(yīng)用WLF方程和題意 圖8-27 PIB的時(shí)-溫等效轉(zhuǎn)換應(yīng)力松弛曲線 由題意，在10-6h測(cè)得同樣的的溫度為，兩種情況下有相同的移動(dòng)因子， K 例837 表8-4給出了聚醋酸乙烯在各種頻率f和溫度T下的動(dòng)態(tài)剪切柔量J2的對(duì)數(shù)值，表中J2的單位是Pa1。根據(jù)這些數(shù)據(jù)繪出70的疊合曲線頻率譜（即 master curve）并計(jì)算當(dāng)Tg30，C1=17.4,C2=52K時(shí)WLF方程的位移因子為多少？表84 聚醋酸乙烯在各種頻率f和溫度T下的動(dòng)態(tài)剪切柔量J2的對(duì)數(shù)值 f(H2) 90 80 70 60 5

23、5 50 43-5.83-6.19-6.81   95-6.00-6.41-7.20   206-6.16-6.64-7.51-8.36-8.60 406-6.35-6.89-7.77-8.52-8.71-8.87816  -8.13-8.61-8.77-8.911030-6.64-7.31-8.16   2166 -7.58-8.33-8.72-8.84-8.953215   -8.76-8.85-8.944485 

24、0;-8.50-8.80  解：首先在同一張坐標(biāo)紙上將每一個(gè)溫度下的所有的logJ2值對(duì)logf作圖，如下面的圖828（a）。位移因子然后可以估 算出來，然后對(duì)每一個(gè)溫度重新推算出logf值。用新的logf值作出每一個(gè)溫度的新的logJ2logf曲線，從而給出近似的疊合曲線。調(diào)節(jié)位移因子 使每一個(gè)溫度的曲線能拼接得更好。 （a） （b）圖828 聚醋酸乙烯在70的疊合曲線頻率譜 圖828（b）是用表85中的第二列位移logaT繪制的疊合曲線。從WLF方程計(jì)算的位移因子列于下表的第三行，這是按Tg30理論上算出來的 值，它必然與實(shí)際Tg70為參考溫度導(dǎo)出的位移因子相差一個(gè)恒定

25、的量，這個(gè)量就等于表中第三行減去第二行，各溫度都有近似7.6的值。 表85 疊合曲線的有關(guān)數(shù)據(jù) T() logaT  9080706055501.650.950.0-1.05-1.7-3.09.328.537.576.375.654.83 例838 今有一種在25恒溫下使用的非晶態(tài)聚合物現(xiàn)需要 評(píng)價(jià)這一材料在連續(xù)使用十年后的蠕變性能試設(shè)計(jì)一 種實(shí)驗(yàn)，可以在短期內(nèi)(例如一個(gè)月內(nèi))得到所需要的數(shù) 據(jù)說明這種實(shí)驗(yàn)的原理、方法以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的大致處 理步驟 解：原理：利用時(shí)溫等效轉(zhuǎn)換原理； 方法：在短期內(nèi)和不同溫度下測(cè)其力學(xué)性能 數(shù)據(jù)處理：利用WLF方程求出移動(dòng)因子并畫出疊合曲線，則

26、從疊合曲線上，便可查找十年后任一時(shí)刻得力學(xué)性能。 例839 可以將WLF方程寫成適用于任意便利的溫度做參考溫度，方程保留原來形式但常數(shù)C1和C2值必須改變利用C1和C2的普適值，計(jì)算以Tg+50為參考溫度的C1和C2值 解： （1） 令（2） （1）式減（2）式 ， *例840 Doolittle方程把流體黏度與自由體積分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來，。如果（1）推導(dǎo)WLF方程的系數(shù)和（取） （2）實(shí)驗(yàn)測(cè)得，已知，計(jì)算Tg時(shí)的自由體積分?jǐn)?shù)。 解：（1）進(jìn)行時(shí)溫等效平移，即改變時(shí)間使不同溫度下有相同的模量 （1） 已知 （2） （3） 將（1）、（2）式代入（3）式 令，（2）從解得從解得例841 黏彈松弛得表觀

27、活化能可以通過對(duì)作圖的斜率（乘以R）得到。該圖是一條曲線，即活化能有溫度依賴性。 （1）從WLF方程得到活化能的表達(dá)式，如果或時(shí)分別計(jì)算在時(shí)的活化能值。 （2）說明當(dāng)時(shí)活化能變得與溫度無關(guān)，對(duì)所有高分子材料都近似為4.1Kcal。 解：（1）黏彈松弛的表觀活化能可以定義為 WLF方程為 （，） 當(dāng)時(shí)，如果，如果，（2）當(dāng)時(shí)， *例842 對(duì)于某一聚合物T=100時(shí)柔量的實(shí)部可用下式近似表達(dá)，log10J1（100，）54/exp（L-6）+1，式中J1(T,)的單位是Pa，而L=log10（的單位是s1）。1. 假定本式適合于全范圍，在0<L<12的范圍內(nèi)繪制log10J1（100

28、，）對(duì)L的圖。2. 如果聚合物的Tg為50，聚合物服從WLF方程（C1=17.4，C2=52K）,計(jì)算溫度100的位移因子log10a100，并寫出log10J1（Tg，）的表達(dá)式。 3. 現(xiàn)在可以寫出對(duì)任何T和值的log10J1(T,)的表達(dá)式，繪制1s1和40<T<80時(shí)log10J1(T,)的圖，假定WLF方程適用全范圍。 解：（1）見圖829（a）（2）log10a10017.4×（10050）/52+(100-50)=8.53log10J1（Tg，）54/exp（L+8.53-6）+1（3）log10J1（T,）=5+4/exp（L+8.53-LT-6）+1式中

29、：LT=log10aT17.4×（T-50）/52+(T-50)對(duì)于1s1，Llog1010，見圖829（b） （a） （b）圖829 例841中的插圖 8. 3 波茲曼疊加原理例843 有一線型聚合物試樣，其蠕變行為近似可用四元 力學(xué)模型來描述，蠕變?cè)囼?yàn)時(shí)先加一應(yīng)力=0，經(jīng) 5秒鐘后將應(yīng)力增加為20，求到10秒鐘時(shí)試樣的 形變值 已知模型的參數(shù)為： 0=1×108N·m-2E1=5×108N·m-2E2=1×108N·m-22=5×108Pa·s3=5×1010Pa·s解：高聚物的總

30、形變?yōu)?其中當(dāng)應(yīng)力時(shí)， 5s時(shí)的形變值 10s時(shí)形變值可用同樣方法得到： 本題10秒時(shí)總形變等于0秒和5秒時(shí)相繼加上的應(yīng)力0所產(chǎn)生的形變的加和。根據(jù)Bolzmann原理 例844 聚乙烯試樣長(zhǎng)4寸，寬0.5寸，厚0.125寸，加負(fù)荷62.5磅進(jìn)行蠕變?cè)囼?yàn)，得到數(shù)據(jù)如下：t（分） 0.1 1 10 100 1000 10000 l（寸） 4.033 4.0494.076 4.11 4.139 4.185 試作其蠕變曲線，如果Boltzmann原理有效，在100分時(shí)負(fù)荷加倍，問10000分時(shí)蠕變伸長(zhǎng)是多少？解：蠕變曲線如圖830。 圖830 蠕變曲線 10000分時(shí)英寸，9900分時(shí) 英

31、寸，根據(jù)Bolzmann疊加原理，總應(yīng)變 因兩次加的負(fù)荷一樣 英寸（或110.97cm） 例845 某聚苯乙烯試樣尺寸為10.16×1.27×0.32cm3，加上277.8N的負(fù)荷后進(jìn)行蠕變實(shí)驗(yàn)，得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表試畫出其蠕變曲線如果Boltzmann疊加原理有效，在100min時(shí)將負(fù)荷加倍，則在10 000min時(shí)試樣蠕變伸長(zhǎng)為多少?時(shí)間(min) 0.1110100100010，000長(zhǎng)度(m)0.10240.10280.10350.10440.10510.1063解 根據(jù)計(jì)算各個(gè)時(shí)間下的和，列入下表，并用表中數(shù)據(jù)作曲線圖829曲線（1）(min) 101234(m)0

32、.841.241.932.793.534.70×1020.8251.2251.902.753.484.63由 N·m-2和 m2·N-1由Boltzmann疊加原理： 可分別計(jì)算口：時(shí)的各點(diǎn)值和值，列入下表：  101234(N·m-2)(m)0.841.241.932.793.534.700.8251.2251.9002.7503.4754.625(m) 5.597.069.405.506.959.25作疊加曲線如圖8-31曲線(2)mm圖8-31 PS的蠕變疊加曲線 *例846 當(dāng)一種聚合物受到如圖8-32所示的應(yīng)變過程時(shí)，其松弛

33、模量可由下式給出：，試計(jì)算當(dāng)時(shí)間時(shí)的應(yīng)力大小。 解：當(dāng)時(shí)間時(shí)，則， 由，和Boltzmann疊加原理當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（斜率為定數(shù)） 當(dāng)時(shí)，（斜率負(fù)為定數(shù)） 當(dāng)時(shí)，將積分限代入原方程，并用Laplace變換后即得： 例847 松弛模量E(t)可由下式得到假定證明注：此式叫作的一級(jí)近似式，可以利用它從的實(shí)測(cè)值來確定解： 時(shí) 時(shí) 前一項(xiàng)等于零 （應(yīng)力松弛） 兩邊微分 例848 某黏彈性聚合物假定服從Boltzmann疊加原理。在t0時(shí)受到張應(yīng)力10MN/m2，并維持100s后應(yīng)力立即移去。如果從材料的蠕變?nèi)崃繛槭街校?m2GN-1和200s，問100s和200s后凈蠕變應(yīng)變分別為多少？解：=（10

34、15;10-3）×2×（1e-100/200）=0.0079同理求得0.0058例849 一種等級(jí)的PP在35時(shí)拉伸蠕變的柔量J(t)1.20.1GPa1，t的單位是秒。當(dāng)該聚合物樣品35時(shí)在下列時(shí)刻分別被施加予張應(yīng)力： t<0時(shí)0；0t<1000時(shí)1MPa； 1000st<2000s時(shí)1.5MPa；t2000s時(shí)0。 假定該P(yáng)P具有線性黏彈性，服從波茲曼疊加原理，求下列時(shí)刻的張應(yīng)變：（1）1500s；（2）2500s。 解：(t) J(tti)i 1. (1500)=J(1500-0)0+J(1500-1000)1000=1.2×109（1&#

35、215;15000.10.5×5000.1）×1063.61×103 （注意：1000s時(shí)應(yīng)力的增加是0.5MPa，而不是1.5MPa） 1. (2500)=J(2500-0)0+J(2500-1000)1000+J(2500-2000)2000=1.2×109（25000.10.5×15000.1-1.5×5000.1）×1060.52×103例850在t1時(shí)刻施加一個(gè)應(yīng)變1于Maxwell單元，在t2時(shí)刻施加一個(gè)應(yīng)變?cè)隽?。請(qǐng)不利用波茲曼疊加原理（BSP），計(jì)算此單元在施加2時(shí)當(dāng)即的應(yīng)力，以及1>2的任意時(shí)刻的應(yīng)力。證明此結(jié)果與用BSP的結(jié)果一致。 解：1exp-(t2t1)/，式中11E如果應(yīng)變?cè)黾?/p>