數(shù)學(xué)建模-淋雨模型

1、 淋雨量模型一、問(wèn)題概述要在雨中從一處沿直線跑到另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變，試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑得越快，淋雨量越少。 將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m，設(shè)跑步的距離d=1000m，跑步的最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量=2cm/h，及跑步速度為v，按以下步驟進(jìn)行討論17： （1）、不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計(jì)跑完全程的總淋雨量; （2）、雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨里最少。計(jì)算=0

2、，=30°的總淋雨量.（3）、雨從背面吹來(lái)，雨線方向跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2.建立總淋雨量與速度v及參數(shù)a，b，c，d，u，之間的關(guān)系，問(wèn)速度v多大，總淋雨量最小。計(jì)算=30°的總淋雨量.（說(shuō)明：題目中所涉及的圖形為網(wǎng)上提供） （4） 、以總淋雨量為縱軸，速度v為橫軸，對(duì)（3）作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實(shí)際意義.（5） 、若雨線方向跑步方向不在同一平面內(nèi)，試建立模型2、 問(wèn)題分析 淋雨量是指人在雨中行走時(shí)全身所接收到得雨的體積，可表示為單位時(shí)間單位面積上淋雨的多少與接收雨的面積和淋雨時(shí)間的乘積。可得： 淋雨量（V）=降雨量（）×人體淋雨

3、面積（S）×淋浴時(shí)間（t） 時(shí)間（t）=跑步距離（d）÷人跑步速度（v） 由 得： 淋雨量（V）=×S×d/v3、 模型假設(shè) （1）、將人體簡(jiǎn)化成一個(gè)長(zhǎng)方體，高a=1.5m（頸部以下），寬b=0.5m，厚c=0.2m.設(shè)跑步距離d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量=2cm/h，記跑步速度為v；（參考） （2）、假設(shè)降雨量到一定時(shí)間時(shí)，應(yīng)為定值； （3）、此人在雨中跑步應(yīng)為直線跑步； （4）、問(wèn)題中涉及的降雨量應(yīng)指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因?yàn)樗梢灾庇^的表示降雨量的多少； 4、 模型求解： （一）、模

4、型建立及求解： 設(shè)不考慮雨的方向，降雨淋遍全身，則淋雨面積： S2ab+2ac+bc 雨中奔跑所用時(shí)間為：t=d/v 總降雨量 V×S×d/v 2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中，可解得： S2.2（） V0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（2） 、模型建立及求解： 若雨從迎面吹來(lái)，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為.，則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和前部淋雨量. （如圖1） 設(shè)雨從迎面吹來(lái)時(shí)與人體夾角為. ，且 0°<<90°，建立a，b，c，d，u，之間

5、的關(guān)系為：（1）、考慮前部淋雨量：（由圖可知）雨速的水平分量為且方向與v相反，故人相對(duì)于雨的水平速度為： 則前部單位時(shí)間單位面積淋雨量為： 又因?yàn)榍安康牧苡昝娣e為：，時(shí)間為： d/v于是前部淋雨量V2為 ： 即： （2）、考慮頂部淋雨量：（由圖可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且與v無(wú)關(guān)，所以頂部單位時(shí)間單位面積淋雨量為，頂部面積為 ，淋雨時(shí)間為 ，于是頂部淋雨量為： 由可算得總淋雨量 : 代入數(shù)據(jù)求得： 由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。 對(duì)函數(shù)V（v）求導(dǎo)，得： 顯然：<0， 所以V為v的減函數(shù)，V隨v增大而減小。因此，速度v=

6、vm=5m/s ，總淋雨量最小。（）當(dāng)=0，代入數(shù)據(jù)，解得： V0.0011527778（m³）1.153（L）（）當(dāng)=30°，代入數(shù)據(jù)，解得： V0.0014025(m³)1.403（L）（三）、模型建立及求解：若雨從背面吹來(lái)，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為則淋雨量只有兩部分：頂部淋雨量和后部淋雨量.（如圖2） 設(shè)雨從背部吹來(lái)時(shí)與人體夾角為， 且0°90°,建立a，b，c，d，u，之間的關(guān)系為：（1）、先考慮頂部淋雨量：當(dāng)雨從背面吹來(lái)，而對(duì)于人頂部的淋雨量 V1 ，它與模型中一樣，雨速在垂直方向只有向下的分量，同理可得： （

7、2）、后部淋雨量：人相對(duì)于雨的水平速度為： 從而可得，人背部單位時(shí)間單位面積淋雨量為： 可得人背部淋雨量為： 而總淋雨量：V=V1 V3從而有： 化簡(jiǎn)式得： 代入相關(guān)數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得： 由V（v)函數(shù)可知：總淋雨量（V）與人跑步的速度（v）以及雨線與人的夾角（）兩者有關(guān)。（）、 當(dāng)時(shí)，且0°90°，可得：c cosa sin>0對(duì)式求導(dǎo)，易知<0；所以，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少， 因此， 總淋雨量最小。（）、當(dāng)v >u sin時(shí)，且0°90°，對(duì)式求導(dǎo)， 解得： ()、當(dāng)1.5sin0.2 cos<0時(shí)，即 ：tan&l

8、t;2/15,即V<0；從而推出，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而減少，所以，速度v=vm ，總淋雨量最小。（）、當(dāng)1.5sin0.2 cos>0時(shí)，即 ：tan>2/15,即V>0；從而推出，總淋雨量（V）隨著速度（v）的增加而增加，所以，當(dāng)速度（v）取最小，即v=u sin 總淋雨量最小。 當(dāng)30°，tan>2/15 ，由模型分析的，當(dāng)v=u sin=4×1/2=2（m/s）總淋雨量最小，且V=0.0002405（m³）=0.2405(L)5、 結(jié)果分析： （1）在該模型中考慮到雨的方向問(wèn)題，這個(gè)模型跟模型二相似，將模型二與模型三綜合起來(lái)跟實(shí)際的生活就差不多很相似了 。 由這三個(gè)模型可以得出在一定的速度下人跑的越快淋雨量就越少。 （2）若雨迎面吹來(lái)時(shí)，跑得越快越好 （3）若雨從背面吹來(lái)時(shí)，分為兩種情況： 當(dāng)tan>c/a時(shí)，跑步速度v=u sin時(shí)V最??； 當(dāng)tan<c/a時(shí)，跑得越快越好。 但是該模型只是考慮雨線方向與人的跑步方向在同一平面內(nèi)，若是雨線方向與人的跑步方向不在同一平面內(nèi)建立坐標(biāo)系上，對(duì)于這種情況，我們認(rèn)為在本質(zhì)和考慮問(wèn)題的思想上來(lái)說(shuō)模型是不變