數字信號處理習題集(1-3章)

1、第一章 數字信號處理概述簡答題：1 在A/D變換之前和D/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，它們分別起什么作用？答：在A/D變化之前讓信號通過一個低通濾波器，是為了限制信號的最高頻率，使其滿足當采樣頻率一定時，采樣頻率應大于等于信號最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱位“抗折疊”濾波器。在D/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故友稱之為“平滑”濾波器。判斷說明題：2模擬信號也可以與數字信號一樣在計算機上進行數字信號處理，自己要增加一道采樣的工序就可以了。 （ ）答：錯。需要增加采樣和量化兩道工序。3一個模擬信號處理系統(tǒng)總可以轉換

2、成功能相同的數字系統(tǒng)，然后基于數字信號處理理論，對信號進行等效的數字處理。（ ）答：受采樣頻率、有限字長效應的約束，與模擬信號處理系統(tǒng)完全等效的數字系統(tǒng)未必一定能找到。因此數字信號處理系統(tǒng)的分析方法是先對抽樣信號及系統(tǒng)進行分析，再考慮幅度量化及實現過程中有限字長所造成的影響。故離散時間信號和系統(tǒng)理論是數字信號處理的理論基礎。第二章 離散時間信號與系統(tǒng)分析基礎一、連續(xù)時間信號取樣與取樣定理計算題：1過濾限帶的模擬數據時，常采用數字濾波器，如圖所示，圖中T表示采樣周期（假設T足夠小，足以防止混迭效應），把從的整個系統(tǒng)等效為一個模擬濾波器。（a）如果，求整個系統(tǒng)的截止頻率。（b）對于，重復（a）的計

3、算。解 （a）因為當，在數 模變換中 所以得截止頻率對應于模擬信號的角頻率為因此 由于最后一級的低通濾波器的截止頻率為，因此對沒有影響，故整個系統(tǒng)的截止頻率由決定，是625Hz。 （b）采用同樣的方法求得，整個系統(tǒng)的截止頻率為 二、離散時間信號與系統(tǒng)頻域分析計算題：2設序列的傅氏變換為，試求下列序列的傅里葉變換。（1） （2）（共軛）解：（1）由序列傅氏變換公式 DTFT可以得到DTFT （2）（共軛）解：DTFT3計算下列各信號的傅里葉變換。 （a） （b）（c） （d）解：（a） （b） （c）（d）利用頻率微分特性，可得4序列的傅里葉變換為，求下列各序列的傅里葉變換。 （1） （2） (

4、3) 解： （1） （2） （3）5序列的傅里葉變換為，求下列各序列的傅里葉變換。 （1） （2） (3) 解：（1） （2） （3）6令和表示一個序列及其傅立葉變換，利用表示下面各序列的傅立葉變換。（1）（2） 解：（1） （2）7求下列序列的時域離散傅里葉變換 ， ， 解： 三、離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數 填空題：1設是線性相位FIR系統(tǒng)，已知中的3個零點分別為1，0.8，1+j，該系統(tǒng)階數至少為（ ）。解：由線性相位系統(tǒng)零點的特性可知，的零點可單獨出現，的零點需成對出現，的零點需4個1組，所以系統(tǒng)至少為7階。簡答題：1何謂最小相位系統(tǒng)？最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數有何特點？解：一個穩(wěn)定的因果線性移不

5、變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數可表示成有理方程式 ，他的所有極點都應在單位圓內，即。但零點可以位于Z平面的任何地方。有些應用中，需要約束一個系統(tǒng)，使它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果的。這就需要的零點也位于單位圓內，即。一個穩(wěn)定因果的濾波器，如果它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果的，則稱這個系統(tǒng)是最小相位。等價的，我們有如下定義。【定義】一個有理系統(tǒng)函數，如果它的零點和極點都位于單位圓內，則有最小相位。 一個最小相位系統(tǒng)可由它的傅里葉變換的幅值唯一確定。從求的過程如下：給定，先求，它是的函數。然后，用替代，我們得到。最后，最小相位系統(tǒng)由單位圓內的的極、零點形成。一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)總可以分解成一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)的乘積，即

6、完成這個因式分解的過程如下：首先，把的所有單位圓外的零點映射到它在單位圓內的共軛倒數點，這樣形成的系統(tǒng)函數是最小相位的。然后，選擇全通濾波器，把與之對應的中的零點映射回單位圓外。2何謂全通系統(tǒng)？全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數有何特點？解：一個穩(wěn)定的因果全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數對應的傅里葉變換幅值，該單位幅值的約束條件要求一個有理系統(tǒng)函數方程式的零極點必須呈共軛倒數對出現，即。因而，如果在處有一個極點，則在其共軛倒數點處必須有一個零點。3有一線性時不變系統(tǒng)，如下圖所示，試寫出該系統(tǒng)的頻率響應、系統(tǒng)（轉移）函數、差分方程和卷積關系表達式。解：頻率響應： 系統(tǒng)函數： 差分方程： 卷積關系：第三章 離散傅立葉變換一、

7、離散傅立葉級數計算題：1如果是一個周期為N的周期序列，那么它也是周期為2N的周期序列。把看作周期為N的周期序列有（周期為N）；把看作周期為2N的周期序列有（周期為2N）；試用表示。解： 對后一項令，則 所以 二、離散傅立葉變換定義填空題1某DFT的表達式是，則變換后數字頻域上相鄰兩個頻率樣點之間的間隔是（ ）。解：2某序列DFT的表達式是，由此可看出，該序列的時域長度是（ ），變換后數字頻域上相鄰兩個頻率樣點之間隔是（ ）。解：N 3如果希望某信號序列的離散譜是實偶的，那么該時域序列應滿足條件（ ）。 解：純實數、偶對稱4采樣頻率為的數字系統(tǒng)中，系統(tǒng)函數表達式中代表的物理意義是（ ），其中時域

8、數字序列的序號代表的樣值實際位置是（ ）；的N點DFT中，序號代表的樣值實際位置又是（ ）。解：延時一個采樣周期，5用8kHz的抽樣率對模擬語音信號抽樣，為進行頻譜分析，計算了512點的DFT。則頻域抽樣點之間的頻率間隔為_,數字角頻率間隔為 _和模擬角頻率間隔 _。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s判斷說明題：6一個信號序列，如果能做序列傅氏變換對它進行分析，也就能做DFT對它進行分析。 （ ）解：錯。如果序列是有限長的，就能做DFT對它進行分析。否則，頻域采樣將造成時域信號的混疊，產生失真。計算題7令表示N點的序列的N點離散傅里葉變換，本身也是一個N點的序列。如果計算

9、的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。解：因為 所以8序列，其4點DFT如下圖所示?，F將按下列（1），（2），（3）的方法擴展成8點，求它們8點的DFT？（盡量利用DFT的特性）（1） （2） （3） 解：（1）（2）（3）9設是一個2N點的序列，具有如下性質： 另設，它的N點DFT為，求的2N點DFT和的關系。解： 推導過程略10試求以下有限長序列的N點DFT（閉合形式表達式）（1） （2）解：（1）因為，所以（2）由，得所以11計算下列序列的N點DFT： （1） （2），解：（1）， （2） , k=m或k=-m= 0, 其它12已知一個有限長序列 （1） 求它的10點離散傅里葉變換（2）

10、已知序列的10點離散傅立葉變換為，求序列（3） 已知序列的10點離散傅立葉變換為，求序列解；（1）=1+2=1+2=1+2，（2）由可以知道，是向右循環(huán)移位2的結果，即（3）由可以知道，一種方法是先計算 =然后由下式得到10點循環(huán)卷積 另一種方法是先計算的10點離散傅立葉變換再計算乘積 由上式得到 13（1）已知序列：，求的N點DFT。（2）已知序列：，則的9點DFT是 正確否？用演算來證明你的結論。解：（1） = 0， 其它（2） 可見，題給答案是正確的。14一個8點序列的8點離散傅里葉變換如圖5.29所示。在的每兩個取樣值之間插入一個零值，得到一個16點序列，即 ，為偶數0 ，為奇數（1）

11、求的16點離散傅里葉變換，并畫出的圖形。（2）設的長度N為偶數，且有，求。解：（1）因n為奇數時，故 ， 另一方面 因此 所以 按照上式可畫出的圖形，如圖5.34所示。15計算下列有限長序列的DFT，假設長度為N。 （1） （2）解：（1） (2) 16長度為8的有限長序列的8點DFT為，長度為16的一個新序列定義為 0 試用來表示。解： 而 因此，當時，；當時，令，得到：即 于是有 17試計算的離散傅里葉變換的值?！窘狻?所以 證明題：18設表示長度為N的有限長序列的DFT。（1） 證明如果滿足關系式則（2） 證明當N為偶數時，如果 則解 （1）令顯然可得 （2） （將n分為奇數和偶數兩部分

12、表示） 顯然可得 簡答題：19在離散傅里葉變換中引起混迭效應的原因是什么？怎樣才能減小這種效應？解：因為為采樣時沒有滿足采樣定理減小這種效應的方法：采樣時滿足采樣定理，采樣前進行濾波，濾去高于折疊頻率的頻率成分。20試說明離散傅里葉變換與Z變換之間的關系。解：離散傅立葉變換是Z變換在單位圓上的等間隔采樣。三、離散傅立葉變換性質填空題：1已知序列，序列長度，寫出序列的值（ ）。解：2已知，則和的5點循環(huán)卷積為（ ）。解： 3已知則的4點循環(huán)卷積為（ ）。解：證明題：4試證N點序列的離散傅立葉變換滿足Parseval恒等式 證： 5長為N的有限長序列，分別為的圓周共軛偶部及奇部，也即證明：證 6令

13、表示N點序列的N點DFT，試證明：（a） 如果滿足關系式，則。（b） 當N為偶數時，如果，則。證： （a）N為偶數： N為奇數：而中間的一項應當滿足： 因此必然有 這就是說，當N為奇數時，也有。（b）當N為偶數： 當N為偶數時，為奇數，故；又由于故有計算題：7已知，用圓周卷積法求和的線性卷積。解： ， 因為的長度為,的長度為所以的長度為,故應求周期的圓周卷積的值，即所以8序列，序列。（1）求線性卷積（2）若用基2 FFT的循環(huán)卷積法（快速卷積）來得到兩個序列的線性卷積運算結果，FFT至少應取多少點？ 解：（1）所以，（2）若用基2FFT的循環(huán)卷積法（快速卷積）來完成兩序列的線性卷積運算，因為的

14、長度為；所以得長度為。故FFT至少應取點。9有限長為N=100的兩序列 做出示意圖，并求圓周卷積及做圖。解 示意圖略，圓周卷積10已知是N點有限長序列，?，F將長度變成點的有限長序列 試求點DFT與的關系。解：由可得 所以在一個周期內，的抽樣點數是倍，相當于在的每兩個值之間插入個其他的數值（不一定為零），而當的整數倍時，相等。11已知是N點有限長序列，。現將的每兩點之間補進個零值點，得到一個點的有限長序列 試求點DFT與的關系。解：由可得而 所以是將（周期為N）延拓次形成的，即周期為。12已知序列和它的6點離散傅立葉變換。（1）若有限長序列的6點離散傅立葉變換為，求。（2）若有限長序列的6點離散

15、傅立葉變換為的實部，即，求。（3）若有限長序列的3點離散傅立葉變換 ，求。解：（1）由知，是向右循環(huán)移位4的結果，即 （2） 由上式得到 （3） 由于 所以 即 或 13令表示N點的序列的N點離散傅里葉變換，本身也是一個N點的序列。如果計算的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。解 因為 所以14為了說明循環(huán)卷積計算（用DFT算法），分別計算兩矩形序列的卷積，如果，求 （1）兩個長度為6點的6點循環(huán)卷積。 （2）兩個長度為6點的12點循環(huán)卷積?！窘狻窟@是循環(huán)卷積的另一個例子。令 圖3-6中，N定義為DFT長度。若，則N點DFT為 如果我們將和直接相乘，得 由此可得 這個結果繪在圖3-6中。顯然，由

16、于序列是對于旋轉，則乘積的和始終等于N。當然也可以把和看作是2L點循環(huán)卷積，只要給他們增補L個零即可。若我們計算增長序列的2L點循環(huán)卷積，就得到圖3-7所示序列。可以看出它等于有限長序列和的線性卷積。注意如圖3-7所，時 所以圖3-7（e）中矩形序列的DFT為（） 循環(huán)卷積的性質可以表示為 考慮到DFT關系的對偶性，自然兩個N點序列乘積的DFT等于他們對英的離散傅里葉變換的循環(huán)卷積。具體地說，若，則 或 16設是一個2N點序列，具有如下性質 另設，它的N點DFT為。求得2N點DFT和的關系。【答案】17已知某信號序列，試計算（1）和的循環(huán)卷積和；（2）和的線性卷積和；（3）寫出利用循環(huán)卷積計算

17、線性卷積的步驟。【答案】（1） （2） （3）略18如圖表示一個5點序列。（1）試畫出（2）試畫出解：簡答題：19試述用DFT計算離散線性卷積的方法。解：計算長度為M,N兩序列的線性卷積，可將兩序列補零至長度為M+N-1,而后求補零后兩序列的DFT，并求其乘積，最后求乘積后序列的IDFT，可得原兩序列的線性卷積。20已知是兩個N點實序列的DFT值，今需要從求的值，為了提高運算效率，試用一個N點IFFT運算一次完成。解：依據題意 取序列 對作N點IFFT可得序列。又根據DFT性質 由原題可知，都是實序列。再根據，可得 四、頻域取樣填空題：1從滿足采樣定理的樣值信號中可以不失真地恢復出原模擬信號。

18、采用的方法，從時域角度看是（ ）；從頻域角度看是（ ）。解：采樣值對相應的內插函數的加權求和加低通，頻域截斷2由頻域采樣恢復時可利用內插公式，它是用（ ）值對（ ）函數加權后求和。解： 內插3頻域N點采樣造成時域的周期延拓，其周期是（ ）。解：（頻域采樣點數時域采樣周期）簡答題：4 已知有限長序列的變換為，若對在單位圓上等間隔抽樣點，且，試分析此個樣點序列對應的IDFT與序列的關系。解：如果 即是在單位圓上點等間隔抽樣，根據頻域抽樣定理，則存在 上式表明，將序列以為周期進行周期延拓，取其主值區(qū)間上的值，即得序列。由于，故在對以為周期進行周期延拓時，必然存在重疊。5FFT算法的基本思想是什么？解

19、：答案略。6簡述時域取樣定理和頻域取樣定理的基本內容。解：答案略。計算題：7設是長度為M的有限長序列，其Z變換為今欲求在單位圓上N個等距離點上的采樣值，其中解答下列問題（用一個N點的FFT來算出全部的值）（1）當時，寫出用一個N點FFT分別算出的過程； (2) 若求的IDFT，說明哪一個結果和等效，為什么?解：（1），對序列末尾補零至N個點得序列，計算的N點FFT即可得到。時，對序列以N為周期進行周期延拓得到一個新的序列，求序列的前M點的FFT即可得。（2）時得到的結果與等效，因為其滿足頻域取樣定理。8已知，今對其z變換在單位圓上等分采樣，采樣值為，求有限長序列IDFT解 方法一 IDFT方法

20、二交換求和次序 （因為 ，）所以 9研究一個長度為M點的有限長序列。 我們希望計算求z變換在單位圓上N個等間隔點上的抽樣，即在上的抽樣。當時，試找出只用一個N點DFT就能計算的N個抽樣的方法，并證明之。解：若，可將補零到N點，即 則 10對有限長序列的Z變換在單位圓上進行5等份取樣，得到取樣值，即求的逆傅里葉變換。解： 11設如圖所示的序列的Z變換為，對在單位圓上等間隔的4點上取樣得到，即試求的4點離散傅里葉逆變換，并畫出的圖形。解：因為對在單位圓上等間隔的4點上取樣，將使以4為周期進行周期延拓，所以，根據上式可畫出的圖形，如下圖所示。四、用離散傅立葉變換對連續(xù)時間信號逼近問題簡答題：1理解D

21、FT分析信號頻譜中出現的現象以及改善這些現象的方法?解：答案略2補零和增加信號長度對譜分析有何影響？是否都可以提高頻譜分辨率?解：時域補零和增加信號長度，可以使頻譜譜線加密，但不能提高頻譜分辨率。3試說明連續(xù)傅里葉變換采樣點的幅值和離散傅里葉變換幅值存在什么關系？解：兩個幅值一樣。4解釋DFT中頻譜混迭和頻譜泄漏產生的原因，如何克服或減弱？解：如果采樣頻率過低，再DFT計算中再頻域出現混迭線性，形成頻譜失真；需提高采樣頻率來克服或減弱這種失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是盡量用旁瓣小主瓣窄的窗函數。計算題：5用某臺FFT儀做譜分析。使用該儀器時，選用的抽樣點數N必須是2的整數次冪。已知待

22、分析的信號中，上限頻率kHz。要求譜分辨率Hz。試確定下列參數：1.一個記錄中的最少抽樣點數；2.相鄰樣點間的最大時間間隔；3.信號的最小記錄時間。解：因為待分析的信號中上限頻率所以抽樣頻率應滿足：因為要求譜分辨率，所以因為選用的抽樣點數N必須是2的整數次冪，所以一個記錄中的最少抽樣點數相鄰樣點間的最大時間間隔信號的最小記錄時間6（1）模擬數據以10.24千赫速率取樣，且計算了1024個取樣的離散傅里葉變換。求頻譜取樣之間的頻率間隔。 （2）以上數字數據經處理以后又進行了離散傅里葉反變換，求離散傅里葉反變換后抽樣點的間隔為多少？整個1024點的時寬為多少？解：（1）頻率間隔（赫）（2）抽樣點的

23、間隔 整個1024點的時寬T=97.661024=100ms7頻譜分析的模擬信號以8kHz被抽樣，計算了512個抽樣的DFT，試確定頻譜抽樣之間的頻率間隔，并證明你的回答。證明：由 得 其中是以角頻率為變量的頻譜的周期，是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。又 則 對于本題有 所以 8設有一譜分析用的信號處理器，抽樣點數必須為2的整數冪，假定沒有采用任何特殊數據處理措施，要求頻率分辨力，如果采用的抽樣時間間隔為0.1ms，試確定：（1）最小記錄長度；（2）所允許處理的信號的最高頻率；（3）在一個記錄中的最少點數。解：（1） 因為，所以 即最小記錄長度為0.1s （2） 因為，而 所以 即允許處理的信號最高

24、頻率為5kHz。（3），又因N 必須為2的整數冪，所以一個記錄中的最少點數為。第四章 快速傅立葉變換一、 計算DFT效率及其改善途徑填空題：1如果一臺通用機算計的速度為：平均每次復乘需100，每次復加需20，今用來計算N=1024點的DFT。問直接運算需（ ）時間，用FFT運算需要（ ）時間。解：（1）直接運算：需復數乘法次，復數加法次。直接運算所用計算時間為（2）基2FFT運算：需復數乘法次，復數加法次。用FFT計算1024點DTF所需計算時間為2N點FFT的運算量大約是（ ）。 解：次復乘和次復加3快速傅里葉變換是基于對離散傅里葉變換 _和利用旋轉因子的_ 來減少計算量，其特點是 _,_和

25、_。解：快速傅里葉變換是基于對離散傅里葉變換 長度逐次變短 和利用旋轉因子的 周期性 來減少計算量，其特點是 蝶形計算、 原位計算 和 碼位倒置。簡答題：4FFT主要利用了DFT定義中的正交完備基函數的周期性和對稱性，通過將大點數的DFT運算轉換為多個小數點的DFT運算，實現計算量的降低。請寫出的周期性和對稱性表達式。答：周期性：對稱性：5基2FFT快速計算的原理是什么？它所需的復乘、復加次數各是多少？解：原理：利用的特性，將N點序列分解為較短的序列，計算短序列的DFT，最后再組合起來。復乘次數：，復加次數：二、 按時間抽取FFT算法簡答題：1簡略推導按時間抽取基2-FFT算法的蝶形公式，并畫出N=8時算法的流圖，說明該算法的同址運算特點。解：答案略。作圖題：3畫出基2 時間抽取的FFT流圖，并利用該流圖計算序列的DFT。解：答案略。4