九年級數(shù)學(xué)下冊2.4.1二次函數(shù)的應(yīng)用教案1(新版)北師大版

1、課題：241 二次函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：1經(jīng)歷探究矩形和窗戶透光最大面積問題的過程，進(jìn)一步獲得利用數(shù)學(xué)方法解決實際問 題的經(jīng)驗，并進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值.2能夠分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能夠運用二次函數(shù)的知識解決實際問題中的最大(小)值.3.積極參加數(shù)學(xué)活動，發(fā)展解決問題的能力，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，從而增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信 心，體驗成功的樂趣.教學(xué)重點與難點：重點：分析和表示不同背景下實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并能夠運用二次函數(shù)的知識解決實際問題.難點：利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值.教學(xué)過程:、倉

2、假情境，引出問題如圖，在一個直角三角形的內(nèi)部作一個長方形ABCD其中AB和AD分別在兩直角邊上.(1)設(shè)長方形的一邊AB= xm,那么AD邊的長度如何表示？(2)設(shè)長方形的面積為y卅，當(dāng)x取何值時，y的值最大？最 大值是多少？處理方式：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生思考并回答以上問題，在集體交流時, 對于學(xué)生給出的正確答案給予肯定，不足之處給予糾正.(1)要求AD邊的長度，即求BC邊的長度，而BCEBC中的一邊，因此可以用三角形相似求出BC由厶EBSAEAF得更 即化* =匹.所以AD= BC=3(40 x).EA AF 4030 4(2)要求面積y的最大值，即求函數(shù)y=AB- AD= x

3、衛(wèi)(40 x)的最大值，就轉(zhuǎn)化為4數(shù)學(xué)問題了.要求學(xué)生討論寫出步驟.(1)vBC/ ADs2又AB= x,BE=40-x,40 xBC=2(40-x).40304AD=BC=3(40-x)=30-x.44332(2)y=AB- AD=x(30-x)=-上x+30 x4432=-_ (x-40 x+400-400)43=-? (x-40 x+400)+30043=-3(x-20)+300.4當(dāng)x=2 0時，y最大=300.即當(dāng)x取20m時，y的值最大，最大值是300m2.設(shè)計意圖：通過師生分析交流， 讓學(xué)生經(jīng)歷用含x的代數(shù)式表示矩形的另一邊，變?nèi)齻€變量為兩個變量，為建立二次函數(shù)模型做好鋪墊，也讓

4、學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合時表示線段的重要 意義此問是解決整個實際問題的關(guān)鍵之處，也是難點所在，讓學(xué)生在充分交流的基礎(chǔ)上, 回憶起運用三角形相似解決問題.二、嘗試成功，探究創(chuàng)新活動內(nèi)容：如果我們將這個問題再進(jìn)行變式：如圖,在一個直角三角形的內(nèi)部作一個矩形ABCD其中點A和點D分別在兩直角邊上，BC在斜邊上.(1) 設(shè)矩形的一邊BCxm那么AB邊的長度如何表示？(2) 設(shè)矩形的面積為y吊，當(dāng)x取何值，y的最大值是多少？處理方式：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生思考并回 答以上問題，在集體交流時，對于學(xué)生給出的正確答案給予肯定，不足之處給予糾正設(shè)計意圖：有了前面兩題作基礎(chǔ)， 這個問題可以留給學(xué)生課下自己解

5、決， 作為練習(xí).解 決問題的基本思路一樣，只是用到了對應(yīng)高之比等于相似比， 這是此題的難點，本題既加深 了舊知的復(fù)習(xí)應(yīng)用， 又在比較中總結(jié)表示線段的多種方法， 讓學(xué)生體會到類比解題， 又在同 中找異.EBEABCAF3923三、例題講解，學(xué)以致用4窗戶是一幢建筑最重要的標(biāo)志之一，我們每個人的家里都有窗戶，我們小時候還經(jīng)常爬在窗戶前數(shù)星星，下面我們來看一個和窗戶有關(guān)的問題:某建筑物的窗戶如圖所示， 它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長（圖 中所有黑線的長度和）為15m當(dāng)x等于多少時，窗戶通過的光線最多（結(jié)果精確到0.01m）? 此時，窗戶的面積是多少？處理方式：x為半圓的半徑，也是

6、矩形的較長邊，因此x與半圓面積和矩形面積都有關(guān)系要求透過窗戶的光線最多，也就是求矩形和半圓的面積之和最大，即2xy+丄x1 2最大，2而由于4y+4X+3X+nx=7x+4y+nx=15,所以y=157x - X.面積S=-冗x2+2xy4 21215-7x-.x 12x（15-7x-. x）2=-nx+2x= -nx+=-3. 5x+7. 5x,這時已經(jīng)轉(zhuǎn)化為2422數(shù)學(xué)問題即二次函數(shù)了，只要化為頂點式或代入頂點坐標(biāo)公式中即可.解：T7x+4y+nx=15,.、，15 7x nxy=42設(shè)窗戶的面積是S(m)，則12, x(157x -二x)=-nx+222=3. 5x+7. 5x=-3.

7、5(x215x)715 21575=3. 5(x)+14392當(dāng)x=151. 07時，1412S= nx+2xy2=-nx2+2x215 - 7x Tlx43925S最大=15754. 02.6即當(dāng)x1.07m時，S最大4.02吊，此時，窗戶通過的光線最多.設(shè)計意圖：把數(shù)學(xué)問題變式到實際生活問題，讓學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識到日常生活中，體會用數(shù)學(xué)的過程，由矩形面積變式到復(fù)合型面積，拓展了思維，以不變應(yīng)萬變，通過本題的訓(xùn)練讓學(xué)生進(jìn)一步體會利用二次函數(shù)解決最大面積問題的方法、過程.四、鞏固提升展示自我活動內(nèi)容:1.用6米長的木料做成“目”字形的框架，設(shè)框架的寬為2如圖，矩形ABCD中，AB= 3,BC=

8、1，點E、F、G H分別在AB BC CD DA上，設(shè)EB=BF=GD=DH=x，則四邊形EFGH勺最大面積為_ .3.如圖，ABC中,BC= 4 cm,AC= 2 3cm,/C= 60。.在BC邊上有一動點P,過P作PD/ AB交AC于點D,問：點P在何處時，APD的面積最大？最大面積是多少？處理方式：學(xué)先讓學(xué)生思考，完成練習(xí)后，再用課件展示圖例，并統(tǒng)計學(xué)生答題情況. 學(xué) 生根據(jù)答案進(jìn)行糾錯.設(shè)計意圖：通過這三道題目對學(xué)生的掌握情況進(jìn)行反饋，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在解決這類問題是存 在的不足之處，如果學(xué)生感覺到困難，可以進(jìn)行小組討論或者教師加以引導(dǎo)點撥.五、總結(jié)概括，整理知識本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用二次函數(shù)知識

9、解決最大面積問題，增強了應(yīng)用意識，獲得了利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的經(jīng)驗，并進(jìn)一步感受了數(shù)學(xué)模型思想和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.1請你總結(jié)一下解決這類問題的基本思路及要注意的問題.2本節(jié)課，你最深的感受是什么？3在這節(jié)課學(xué)習(xí)過程中，你還有什么疑問沒有解決？處理方式：由學(xué)生進(jìn)行課堂小結(jié)， 要給學(xué)生充足的時間進(jìn)行思考，得出結(jié)論后，再進(jìn)行集體交流和課件展示設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會把知識系統(tǒng)化，加深對知識的理解和掌握，同時，培養(yǎng)學(xué)生有條理的進(jìn)行思考，以形成完整知識結(jié)構(gòu)， 培養(yǎng)歸納概括能力和語言表達(dá)能力. 評價x米，框架的面積為S平方米，當(dāng)x=米時，S最大？3927自己的學(xué)習(xí)表現(xiàn)，有利于學(xué)生看到自己的優(yōu)點和不

10、足，以及今后改正的方向， 同時也有助于8學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng).六、達(dá)標(biāo)測試，反饋糾正A組：1.如圖，在矩形ABCD中,AB=r(m是大于0的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動點(不與B, C重合).連接DE作EF丄DE EF與線段BA交于點F,設(shè)CE=x BF=y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(2)若m=8,求x為何值時，y的值最大，最大值是多少?m的值應(yīng)為多少?如圖，陰平中學(xué)要在教學(xué)樓后面的空地上用40米長的竹籬笆圍出一個矩形地塊作生物園，矩形的一邊用教學(xué)樓的外墻，其余三邊用竹籬笆.設(shè)矩形的寬為x，面積為y.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍(2) 生物園的面積能否達(dá)到210平方米？說明理由.處理