不等式的基本性質(zhì)

1、學(xué) 科數(shù)學(xué)課 型課 時課 題不等式的基本性質(zhì)班級教 材山東省中等職業(yè)教育規(guī)劃教材 數(shù)學(xué) （第一冊）教 學(xué)目 標(biāo)知識目標(biāo)1.掌握作差比較大小的方法，并能證明一些不等式。能力目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、比較的能力，并初步掌握對比的思想方法；情感目標(biāo)在本節(jié)課的教學(xué)過程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，并使學(xué)生初步學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合的觀點去分析問題、解決問題.教 學(xué)重 點掌握不等式的性質(zhì)，掌握它們的證明方法及其功能，能簡單運用教學(xué) 用具多媒體教學(xué)自制課件教 學(xué)難 點掌握不等式的性質(zhì)，掌握它們的證明方法及其功能，能簡單運用課 題：不等式的基本性質(zhì)()教學(xué)目標(biāo)：1.掌握作差比較大小的方法，并能證明一些不等式。1. 掌握不

2、等式的性質(zhì)，掌握它們的證明方法及其功能，能簡單運用。2. 提高邏輯推理和分類討論的能力；培養(yǎng)條理思維的習(xí)慣和認真嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。教學(xué)重點：作差比較大小的方法；不等式的性質(zhì)。教學(xué)難點：不等式的性質(zhì)的運用教學(xué)過程：第1課時：問題情境：現(xiàn)有A、B、C、D四個長方體容器，A、B容器的底面積為a2，高分別為a、b，C、D容器的底面積為b2，高分別為a、b，其中ab。甲先從四個容器中取兩個容器盛水，乙用剩下的兩個容器盛水。問如果你是甲，是否一定能保證兩個容器所盛水比乙的多？分析：依題意可知：A、B、C、D四個容器的容積分別為a3、a2b、ab2、b3，甲有6種取法。問題可以轉(zhuǎn)化為比較容器兩兩和的大小。研究

3、比較大小的依據(jù)：ABx我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大。在右圖中，點A表示實數(shù)a，點B表示實數(shù)b，點A在點B右邊，那么ab。而ab表示a減去b所得的差，由于ab，則差是一個正數(shù)，即ab0。命題：“若ab，則ab0”成立；逆命題“若ab0，則ab”也正確。類似地：若ab，則ab0；若ab，則ab0。逆命題也都正確。結(jié)論：(1)“ab”“ab0”(2)“ab”“ab0”(3)“ab”“ab0”以上三條即為比較大小的依據(jù)：“作差比較法”。正負數(shù)運算性質(zhì)：(1) 正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)；(2) 正數(shù)乘正數(shù)是正數(shù)；(3) 正數(shù)乘負數(shù)是負數(shù)；

4、(4) 負數(shù)乘負數(shù)是正數(shù)。研究不等式的性質(zhì)：性質(zhì)1：若ab，bc，則ac (不等式的傳遞性)證明：ab ab0bc bc0(ab)(bc)ac0 (正負數(shù)運算性質(zhì))則ac反思：證明要求步步有據(jù)。性質(zhì)2：若ab，則acbc (不等式的加法性質(zhì))證明：ab ab0(ac)(bc)ab0 acbc反思：作差比較法的第一次運用，雖然簡單，也要讓學(xué)生好好體會體會。思考：逆命題“若acbc，則ab”成立嗎？兩邊加“c”即可證明。例1 求證：若ab，cd，則acbd (同向不等式相加性質(zhì))證明1：ab acbc(性質(zhì)2)cd bcbd(性質(zhì)2)則acbd(性質(zhì)1)證明2：ab ab0cd cd0(ab)(c

5、d)0 即(ac)(bd)0 (作差比較法)則acbd反思：你更喜歡哪種方法？為什么？(精彩回答：我都喜歡，如同自己的一對雙胞胎。)練習(xí)：求證：若ab，cd，則acbd (異向不等式相減性質(zhì)) 作業(yè)證明1：cd cd0得dc0 即cd(正數(shù)得相反數(shù)為負數(shù))亦可由cd兩邊同加(cd)，直接推出cd (性質(zhì)2)ab a(c)b(d)(同向不等式相加性質(zhì))則acbd(加減法運算法則)證明2：ab ab0cd dc0(ac)(bd)(ab)(dc)0 (作差比較法)則acbd性質(zhì)3：若ab，c0，則acbc若ab，c0，則acbc (不等式的乘法性質(zhì))證明：acbc(ab)c (作差比較法)ab ab

6、0(1) 當(dāng)c0時，(ab)c0，得acbc (正負數(shù)運算性質(zhì))(2) 當(dāng)c0時，(ab)c0，得acbc (正負數(shù)運算性質(zhì))反思：等式兩邊同乘一個數(shù)，等式永遠成立。但不等式的情況完全不同！強調(diào)！思考：(1)“若ab，則ac2bc2”成立嗎？不成立！反例：c0時不成立。(2)“若ac2bc2，則ab”成立嗎？成立！隱含c20。練習(xí)：(1)教材P.30-練習(xí)2.1(1)-1 (學(xué)生口答，教師點評)(2)教材P.30-練習(xí)2.1(1)-2、3 (學(xué)生板書，教師點評)2、求證：若ab0，cd0，則acbd (同向不等式相乘性質(zhì))證明：ab，c0 acbc(性質(zhì)3)cd，b0 bcbd(性質(zhì)3)則ac

7、bd(性質(zhì)1)特例：當(dāng)ac且bd時，有“若ab0，則a2b2”推而廣之：若ab0，則anbn (nN*) (不等式的乘方性質(zhì))推而廣之：若ab0，則 (nN*，n1) (不等式的開方性質(zhì))可用反證法進行證明。3、求證：若ab0，則0 (不等式的倒數(shù)性質(zhì)) 作業(yè)證明：ab0 0，0，ab00 (正負數(shù)運算性質(zhì)) 則0例2比較(a1)2與a2a1的值的大小。解：(a1)2(a2a1)3a(1)當(dāng)a0時，(a1)2a2a1(2)當(dāng)a0時，(a1)2a2a1(3)當(dāng)a0時，(a1)2a2a1反思：(1)比較大小時，等與不等一定要分開討論！強調(diào)！(2)分類討論時，要做到“不遺漏，不重復(fù)”！強調(diào)！例3解關(guān)

8、于x的不等式m(x2)xm。解：(m1) xm(1)當(dāng)m1時，xR(2)當(dāng)m1時，x；(3)當(dāng)m1時，x反思：(1) 引起討論的原因是什么？m1值的不確定性(2) 如何進行討論？不等式性質(zhì)課堂小結(jié)：(1) 數(shù)學(xué)知識：8條不等式性質(zhì)(教材P.31)(2) 數(shù)學(xué)方法：作差比較法(3) 數(shù)學(xué)思想：分類討論第1課時作業(yè)：練習(xí)冊P.13-習(xí)題2.1-A、B組(做在練習(xí)冊上)第2課時：講評作業(yè)或者做教材P.30-練習(xí)2.1(2)-1 (學(xué)生口答，教師點評)例1 解關(guān)于x的不等式：(m24)xm2。解：(1) m240即m2或m2當(dāng)m2時，x當(dāng)m2時，xR(2) m240即m2或m2時，x(3) m240即

9、2m2時，x反思：(1) 引起討論的原因是什么？m24值的不確定性(2) 如何進行討論？不等式性質(zhì)例2 若m0，yx0，試比較與的大小。解：yx yx0y0，m0 ym0又y0，m0 0 則引申：若a、b、c、d均為正數(shù)，且，求證：證明1：(作差比較法) ，b0，d0 bcad 得0 則同理可證：證明2：(變更論證法) b0，bd0 a(bd)b(ac)a(bd)b(ac)adbc，b0，d0 adbc 得a(bd)b(ac)則 同理可證：例3 若x0，試比較與的大小。分析：直接作差顯然不可取?？煽紤]去根號，利用不等式的乘方、開方性質(zhì)。解：()22x32，()22x32 2x322x32得()

10、2()2則反思：“分析法”是尋找解題思路的常用方法。例4 甲、乙兩人連續(xù)兩天去市場買青菜。甲每次買青菜的數(shù)量不變，乙每次買青菜的費用不變。問甲、乙兩人誰購買的方法比較合算？分析：何為合算？平均單價便宜。解：設(shè)第一天青菜單價a元/斤，第一天青菜單價b元/斤。設(shè)甲每次買青菜x斤，乙每次買青菜花費y元，甲平均單價為，乙平均單價為(1) ab時，；(2) ab時，由(1)(2)可知：乙購買的方法比較合算。例5 (第1課時的引例) 現(xiàn)有A、B、C、D四個長方體容器，A、B容器的底面積為a2，高分別為a、b，C、D容器的底面積為b2，高分別為a、b，其中ab。甲先從四個容器中取兩個容器盛水，乙用剩下的兩個

11、容器盛水。問如果你是甲，是否一定能保證兩個容器所盛水比乙的多？分析：依題意可知：A、B、C、D四個容器的容積分別為a3、a2b、ab2、b3，甲有6種取法。問題可以轉(zhuǎn)化為比較容器兩兩和的大小。解：(1)取A、B：(a3a2b)(ab2b3)(ab)2(ab) 無法確定大小(2)取A、C：(a3ab2)(a2bb3)(a2b2) (ab) 無法確定大小(3)取A、D：(a3b3)(ab2a2b)(ab) (ab)2由于ab，則(ab) (ab)20，即a3b3ab2a2b 先取A、D則必勝！能否推廣？ 觀察a3b3ab2a2b的特征，進行猜測。a4b4ab3a3b，a4b4a2b2a2b2a5b5ab4a4b，a5b5a2b3a3b2更為一般性的結(jié)論：a、bR，m、nN*，則a m+nbm+nambnanb