數(shù)學證明和理性精神百度文庫

1、數(shù)學證明和理性精神也談數(shù)學證明的教學價值張乃達1.關于數(shù)學證明的教育價值最近從網(wǎng)上看到題為數(shù)學證明的教育價值1的文章,文章中引用了許多數(shù)學家的論述,認為隨著“數(shù)學證明”的意義的發(fā)展和演變,數(shù)學的證明(演繹的證明已經不能對數(shù)學結論的正確性做出邏輯上的保證.因此,數(shù)學證明的教育價值也在改變.文章說:數(shù)學證明的真諦不在于能證明命題真假,而在于它能啟發(fā)人們對命題有更深刻的理解,并能導致發(fā)現(xiàn),因此這就突破了傳統(tǒng)教學中對數(shù)學證明的觀念.特別是由于計算機介入了證明之中,用機器證明產生定理(如四色問題等,所以人們不再以邏輯推理作為證明數(shù)學命題的惟一手段,于是提出“實驗證明”的想法,即實驗也應該成為判斷數(shù)學命題

2、的真假的一種手段.人們不再一味地追求證明所得出的結論,而在于通過證明的過程去追求對數(shù)學知識的真正理解.根據(jù)這樣的認識,文章認為對數(shù)學學習來說,數(shù)學證明的教育價值主要體現(xiàn)在如下的幾個方面:(1通過證明的教與學,使學生理解相關的數(shù)學知識;(2通過證明,訓練和培養(yǎng)學生的思維能力(包括邏輯的和非邏輯的思維以及數(shù)學交流能力;(3通過證明,幫助學生尋找新舊知識之間的內在聯(lián)系,使學生獲得的知識系統(tǒng)化;(4通過證明,使學生更牢固地掌握已學到的知識,并盡可能讓學生自己去發(fā)現(xiàn)新知識.接著文章得到了下面的結論:根據(jù)以上觀點,我們在數(shù)學教學中應該重視非邏輯證明的教學;適當降低和減少邏輯演繹在數(shù)學教學中的地位與時間,加

3、強實驗、猜測、類比、歸納等合情推理在數(shù)學教學中的地位與作用.這里需要注意的是要合理選擇學生能夠接受的邏輯證明與非邏輯證明的方法,強調、排斥另一種證明方法都會妨礙學生對數(shù)學的認識與理解.應該說文1是一篇既精彩又有啟發(fā)性的文章.文章的分析是深刻的,結論是有指導意義的.特別是證明具有發(fā)現(xiàn)的價值,證明有助于進行數(shù)學交流的觀點,都是很有見地的,也正是被很多人忽視的,但是我覺得,文章在論述證明的教育價值時,也存在著重大的疏漏.其中最突出的就是沒有提到數(shù)學證明在培養(yǎng)學生的理性精神方面的巨大價值!而這一點恰恰應該是數(shù)學證明的教育價值的最重要的方面,也是設計和組織數(shù)學證明教學的出發(fā)點!2.對數(shù)學教育價值認識的誤

4、區(qū)忽視數(shù)學文化的教育功能,是造成文1疏漏的主要原因.對數(shù)學文化教育價值認識的最大誤區(qū)在于忽視數(shù)學精神的教育功能.有不少人在論及數(shù)學文化的價值時,要么根本無視數(shù)學對人類精神方面的巨大作用,而僅僅關注數(shù)學在知識層面上的應用和數(shù)學對人類物質生活所帶來的影響;或者僅僅注意數(shù)學文化對思維方式的影響,而忽視數(shù)學精神的(它集中地表現(xiàn)為理性探索精神的教育功能.所有這一切都是片面而膚淺的認識.克萊因把數(shù)學看成是“一種精神,一種理性精神.”齊民友先生則進一步地認定數(shù)學精神集中地體現(xiàn)為“徹底的理性探索精神”,特別強調數(shù)學文化對人類精神生活的重大影響.他說:“數(shù)學深刻地影響人類的精神生活,可以概括為一句話,就是它大大

5、地促進了人類的思想解放,提高與豐富了人類的整個的精神水平,從這個意義上講,數(shù)學使人成為更完全、更豐富、更有力量的人.”4所有這些,都可以看成是對上述片面認識的批判.3.理性精神的基本內涵理性精神,它首先表現(xiàn)為一種信念,表現(xiàn)為對真理的追求.它相信自然是可以被認識的,因此它反對愚味與迷信,反對神秘的不可知主義,它認為每個人都有認識世界的天賦,都可以認識世界.其次,理性精神堅持以理性(或理智或以理性為基礎的思維方式作為判斷真假、是非的標準.這可以看成是理性精神的基本內涵.3對數(shù)學文化中的理性精神齊民友先生做出了如下的精辟論述,他說:“每個論點都必須有根據(jù),都必須持之以理,除了邏輯的要求和實踐的檢驗以

6、外,無論是幾千年的習俗、宗教的權威、皇帝的敕令,流行的風尚統(tǒng)統(tǒng)是沒有用的.這樣一種求真的態(tài)度,傾畢生之力用理性的思維去解開那偉大而永恒的謎宇宙和人類的真面目是什么?是人類文化發(fā)展到高度的標志.這個偉大的理性探索是數(shù)學發(fā)展必不可少的文化背景,反過來也是數(shù)學貢獻于文化最突出的功績之一.”4當然,隨著時代的發(fā)展,理性精神的內涵也在改變.當今也有人對理性的意義做出了新的解釋,但是不論怎么說,理性的基本的意義卻沒有變化.4.數(shù)學證明規(guī)范是理性探索精神的產物文1引用了R.Wilder(懷特的話:“我們不要忘記,所謂證明不只在不同的文化有不同的含義,就連在不同的時代也有不同的含義.”“很明顯,我們不會擁有而

7、且極可能永遠不會有一個這樣的證明標準獨立于時代,獨立于所要證明的東西,并且獨立于使用它的個人或某個思想學派.”懷特正是從歷史的角度看待數(shù)學證明的.從歷史上看,希臘數(shù)學所采用的公理化的方法和演繹的證明,并不是數(shù)學研究的惟一可行的理論形態(tài).它們之所以堅持對數(shù)學提出如此嚴格的要求,完全是應對他們文化中所固有的理性精神的強烈訴求的結果,是由于他們對數(shù)學在文化中的地位和價值取向定位的結果.因為希臘人一直把數(shù)學看成是哲學的一部分,享有十分崇高的地位,把數(shù)學看成是一種精神層面的東西.正是這個原因,希臘的數(shù)學和西方的數(shù)學在他們的文化中占有十分重要的地位,從而對整個文化的發(fā)展產生了巨大的影響.與之不同的是我國古

8、代的數(shù)學.它是在缺乏理性精神的實用主義的文化背景下發(fā)展起來的,在中國的文化中,數(shù)學一直被看成是一種技藝,一種實用的工具,從來沒有人從精神的層面上,對數(shù)學進行哲學的思考,也從來沒有人賦予數(shù)學以如此重要的地位.因此,以解決實際問題為主要課題的中國古代數(shù)學是不可能像希臘數(shù)學那樣對演繹證明提出嚴格要求的,也不可能形成公理化那樣的理論形態(tài).它只能在技藝的層面上發(fā)展,只能采用直覺、想象、類比、靈感等思維形式來形成概念、發(fā)現(xiàn)方法、實現(xiàn)推理.正是這樣的原因,一方面,中國古代數(shù)學就不可能具有像希臘數(shù)學那樣精神層面的教育價值;另一方面,數(shù)學在中國的文化中,也從來沒有取得過它在西方文化中的地位!但是,歷史做出了選擇

9、,希臘人的數(shù)學成為現(xiàn)代數(shù)學的源頭和主流,直到現(xiàn)在為止,數(shù)學證明必須是演繹的證明,這仍然是數(shù)學證明的規(guī)范.這種證明規(guī)范的確立,正是理性探索精神的勝利!也是數(shù)學對人類文化發(fā)生重大影響的決定性因素.我十分贊同齊先生的見解,先生的這段話,同樣證明了如果沒有理性的探索精神,也就不會有現(xiàn)代數(shù)學!當然也不會有現(xiàn)存的數(shù)學證明的規(guī)范.了解了這一點,就可以理解盡管隨著數(shù)學的發(fā)展,數(shù)學證明的內涵和規(guī)范是可能改變的(而且已經改變或者說“發(fā)展”.但是,應該相信,這些改變同樣是理性探索的結果,而且也是理性探索活動的需要(這一點正是熱衷于探討數(shù)學證明的意義的數(shù)學家的出發(fā)點.因此,可以說理性探索活動永遠是數(shù)學不變的追求!數(shù)學

10、證明所蘊含的理性探索精神是永遠不會消失的,數(shù)學證明對學生進行理性精神教育的價值也是不會消失的.5.數(shù)學證明:理性精神的啟蒙教育在文2中,我已經引用過愛因斯坦的自述,談到了他學習歐幾里德幾何的感受.愛因斯坦稱歐幾里德幾何是邏輯體系的奇跡,取得了令人贊嘆的勝利.他說:正是這種“邏輯體系的奇跡,推理的這種可贊嘆的勝利,為人們的理智獲得了為取得以后的成就所必須的信心.”數(shù)學家、哲學家羅素也提到過他學習歐氏幾何的經歷.他說:“我在11歲的時候,開始學習歐幾里德幾何,并請我的哥哥教我.這是我一生中的大事,他使我像初戀一樣入迷.我當時沒有想到世界上還會有這樣迷人的東西.”上面的敘述清楚地表明,不論是愛因斯坦

11、還是羅素,在幾何的學習中,使他們終身難忘的恰恰是幾何的演繹體系;使他們受到震撼的也正是邏輯的魅力和力量.正是歐氏幾何中的數(shù)學證明,使愛因斯坦樹立了對人類理智的信心!使幾何成了少年羅素的“初戀情人”!可以說,他們正是從歐幾里德幾何中接受了理性精神的啟蒙的.這充分地證明了演繹證明所具有的教育價值.因此,我是這樣認識幾何教學的文化教育的價值.6.數(shù)學證明是理性探索活動中的重要環(huán)節(jié)數(shù)學證明的各項教育價值,包括理性精神的教育價值,只有在學生的探索活動中才能得到整合和發(fā)揮.離開了理性探索活動,教學證明的教學就喪失了價值.傳統(tǒng)的證明教學,把證明孤立于探索活動之外,把證明看成一個結果,這不僅不利于知識的學習,

12、而且也無助于理性精神的發(fā)展,因此,在教學中應該把證明看成是一個過程,一種活動,看成是探索活動中的一個重要環(huán)節(jié).要重視提出問題、提出猜想、驗證猜想的過程,并在這個過程中充分發(fā)揮觀察、聯(lián)想、類比、歸納、實驗、反思等等手段的作用,再在這個基礎上尋求演繹的證明,并通過嘗試證明的過程,對已有的猜想作出反饋,并據(jù)此進行調控.在證明中,要重視證明思路的探求過程,在證明后,要對證明的過程進行反思,以達到對證明的理解.應該指出的是,必須把猜想、驗證和數(shù)學證明嚴格地區(qū)分開來,一方面讓學生體會到數(shù)學演繹證明的必要性,明確數(shù)學證明的要求;一方面讓學生認識到各種推理方法的不同作用.所以這些,幾乎都是和文1的結論相似的.

13、但是,應該指出的是,在對于演繹證明的價值和地位的認識上,我們卻和文1有著重大的差別!7.應該堅持演繹證明的要求為了發(fā)揮數(shù)學證明的教育功能,特別是它所具有的理性精神的教育價值,在數(shù)學教學中必須堅持數(shù)學證明是演繹證明的要求.其實這一點,在我們前面對數(shù)學發(fā)展史的分析中,就可以清楚的看到.因為,在歷史上,演繹證明的要求和公理化的理論形態(tài),曾經集中地體現(xiàn)了數(shù)學文化中的理性精神,對現(xiàn)代數(shù)學的形成和發(fā)展起著重要的作用.在對這一問題進行討論時,我們不能不談到歐幾里德的幾何原本(本來文1寫作的目的就是為了解決幾何教學改革的問題的.幾何原本對數(shù)學發(fā)展的重大影響,對人類文化的重大影響,是早有定論,有目共睹的.我國數(shù)

14、學哲學家鄭毓信對幾何原本作出了如下評價:幾何原本事實上就已成為數(shù)學發(fā)展中高高樹起的一面旗幟,西方數(shù)學乃至今日全部的數(shù)學都跟隨這個飄揚的旗幟而前進著.這正是在這樣的意義上,我們即可毫不夸張地說,幾何原本作為人類智慧的光輝結晶,它在數(shù)學史上的作用是沒有任何一本著作可以與之比擬的.張祖貴先生在數(shù)學與人類文化發(fā)展中,這樣談到了幾何的教改問題.他說:幾何教育必須改革,但幾何思維卻是人類理性正常發(fā)育過程中不可省去的階段.作為長期以來訓練人類思維最有效的數(shù)學內容,歐氏幾何是最有效的教學內容,是接受了歷史考驗的最基本的精華,如果對其進行大刪大減,又找不到好的替代物,只會極大地削弱數(shù)學的教育功能.在這里我不想對

15、演繹證明的重要性做全面的論述,只是想從文化的層面指出,即使現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展,是數(shù)學證明提出了新的要求,但是在數(shù)學教育中,仍然要堅持演繹證明的要求!其實這樣做的原因很簡單,因為從歷史的文化的層面看,這樣的要求對學生的理性精神和邏輯思維能力的發(fā)展,對數(shù)學學習本身都是不可或缺的發(fā)展階段.8.創(chuàng)設演繹證明的教學特區(qū)我們認為,在進行幾何教學的改革時,為了更好地發(fā)展學生的思維能力和理性精神,在初中的數(shù)學證明教學中還應該建立演繹證明訓練的“特區(qū)”.即在某一個特定的教學階段,采用公理化的形式展示教學內容,集中進行基本的演繹推理的訓練.理由如下:第一,公理化方法本身就具有重要的教學價值,是應該讓學生學習的.第二,

16、在我們的文化中,和類比、直覺、聯(lián)想、靈感、歸納等非邏輯的思維方式不同,演繹推理的意識和要求是不會自發(fā)的形成.直到今天,我們社會中的很大部分成員,都不能運用演繹思維方式來思考問題,演繹或邏輯思維成為我們整個民族思維力發(fā)展的瓶頸.因此,演繹思維方式的訓練,對提高民族的素質具有重要的作用.第三,理性精神的缺失是我國文化的痼疾,這對社會的發(fā)展已經造成了巨大的傷害.因此,在數(shù)學證明教育中堅持嚴謹?shù)囊?堅持演繹的規(guī)范,充分發(fā)揮理性精神的教育價值,就更為迫切了.第四,對初中學生來說,演繹思維能力不足同樣是思維能力發(fā)展的瓶頸.學生在學習幾何前已經掌握了類比、聯(lián)想、想象等推理方法,只有演繹的方法,公理化的方法

17、是他們所沒有見過的.因此,對他們來說,演繹方法的學習是具有創(chuàng)新意義的.而且只有在提高邏輯思維能力以后,才能在更高的平臺上,綜合地發(fā)展思維能力.第五,從文化教育學的觀點看,學習的過程是一個文化濡化的過程,學生是在“文化的強迫”下,在潛移默化中接受文化中的指令進行學習的,因此,我們必須為學生理性精神的發(fā)展創(chuàng)造一個文化氛圍,并建立起行為的規(guī)范.我們所說的“特區(qū)”,就有助于創(chuàng)造這個氛圍和規(guī)范.第六,演繹方法的價值只有在公理系統(tǒng)中才能充分體現(xiàn).孤立的演繹,是不能具有演繹系統(tǒng)的價值的.我們希望通過這樣的特區(qū),讓學生經驗人類理性精神發(fā)展的一個重要的階段,理解數(shù)學文化的基本規(guī)范,體會數(shù)學文化觀念,感受數(shù)學文化中充溢的理性精神!最后,應該指出,無視數(shù)學教育的文化教育功能,是數(shù)學教育研究中長期存在的偏向.這種偏向的形成是有著深刻的文化背景的!前面已經說過,理性精神的缺失,是我國傳統(tǒng)文化的痼疾.在我們的文化中,從來就沒有把數(shù)學看成是精神層面的東西,數(shù)學對我國傳統(tǒng)的文化觀念,也從未發(fā)揮過重要的作用.即使對現(xiàn)代數(shù)學的學習,其著眼點也主要出于其應用價值這一點,在近代以至當前的數(shù)學教育中都是普遍存在的現(xiàn)象.因此,在這樣的背景下,忽視數(shù)學的文化價值是很自然的事.特別是隨著現(xiàn)代