小學(xué)奧數(shù)教程整除與分類計(jì)數(shù)綜合 教師全國通用

1、5-知識框架1. 熟練掌握整除的性質(zhì)；2. 運(yùn)用整除的性質(zhì)解計(jì)數(shù)問題；3. 整除性質(zhì)的綜合運(yùn)用求計(jì)數(shù).知識點(diǎn)撥一、常見數(shù)字的整除判定方法1. 一個數(shù)的末位能被2或5整除，這個數(shù)就能被2或5整除；一個數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個數(shù)就能被4或25整除；一個數(shù)的末三位能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除；2. 一個位數(shù)數(shù)字和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除；一個數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除；3. 如果一個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個數(shù)能被11整除.4. 如果一個整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11或13整除，那么

2、這個數(shù)能被7、11或13整除.【備注】（以上規(guī)律僅在十進(jìn)制數(shù)中成立.）二、整除性質(zhì)性質(zhì)1 如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(a±b)性質(zhì)2 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同樣的方法，我們還可以得出：性質(zhì)3 如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca性質(zhì)4 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被b與c的乘積整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(3&#

3、215;4) 12性質(zhì)5 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除如果 ba，那么bmam（m為非0整數(shù)）；性質(zhì)6 如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除如果 ba ，且dc ，那么bdac；例題精講模塊一、利用整除的性質(zhì)分類枚舉【例 1】 在方框中填上兩個數(shù)字，可以相同也可以不同，使432是9的倍數(shù). 請隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確； 一共有多少種滿足條件的填法？【考點(diǎn)】利用整除的性質(zhì)分類枚舉 【難度】3星 【題型】解答【解析】 一個數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是9的倍數(shù)，即432是9的倍數(shù)，而4329, 所以只需要兩個方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)依次

4、填入3、6，因?yàn)?332618是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù)；經(jīng)過分析容易得到兩個方框內(nèi)的數(shù)的和是9的倍數(shù)，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10種情況，還有（0,0）和（9,9），所以一共有12種不同的填法【答案】（1）43326，（2）12種【例 2】 用1，9，8，8這四個數(shù)字能排成幾個被11除余8的四位數(shù)?【考點(diǎn)】利用整除的性質(zhì)分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答【解析】 現(xiàn)在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數(shù)加上3后，就能被11整除了所以我們得到“一個數(shù)被11

5、除余8”的判定法則：將偶位數(shù)字相加得一個和數(shù)，再將奇位數(shù)字相加再加3，得另一個和數(shù)，如果這兩個和數(shù)之差能被11整除，那么這個數(shù)是被11除余8的數(shù)；否則就不是要把1，9，8，8排成一個被11除余8的四位數(shù)，可以把這4個數(shù)分成兩組，每組2個數(shù)字其中一組作為千位和十位數(shù)，它們的和記作；另外一組作為百位和個位數(shù)，它們之和加上3記作我們要適當(dāng)分組，使得能被11整除現(xiàn)在只有下面4種分組法： 偶位 奇位 1，8 9，8 1，9 8，8 9，8 1，8 8，8 1，9經(jīng)過驗(yàn)證，只有第種分組法滿足前面的要求：，能被11整除其余三種分組都不滿足要求根據(jù)判定法則還可以知道，如果一個數(shù)被11除余8，那么在奇位的任意兩

6、個數(shù)字互換，或者在偶位的任意兩個數(shù)字互換得到的新數(shù)被11除也余8于是，上面第種分組中，1和8任一個可以作為千位數(shù)，9和8中任一個可以作為百位數(shù)這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819【答案】4種可能的排法：1988，1889，8918，8819【例 3】 在1至2019這2019個自然數(shù)中，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的數(shù)共有多少個？ 【考點(diǎn)】利用整除的性質(zhì)分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答【解析】 1到2019這2019個自然數(shù)中，3和5的倍數(shù)有個，3和7的倍數(shù)有個，5和7的倍數(shù)有個，3、5和7的倍數(shù)有個所以，恰好是3、5、7中兩個數(shù)的倍數(shù)的共有個【答案】228【例

7、 4】 有些數(shù)既能表示成3個連續(xù)自然數(shù)的和，又能表示成4個連續(xù)自然數(shù)的和；還能表示成5個連續(xù)自然數(shù)的和請你找出700至1000之間，所有滿足上述要求的數(shù)，并簡述理由.【考點(diǎn)】利用整除的性質(zhì)分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答【解析】 3個連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被3整除；4個連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被2整除，且除以2所得的商是奇數(shù)，也就是說它不能被4整除，除以4所得余數(shù)為2；5個連續(xù)自然數(shù)的和，一定能夠被5整除3、2、5的最小公倍數(shù)是30，所以滿足上述三個條件的最小的數(shù)是303、4、5的最小公倍數(shù)是60，所以60的整數(shù)倍加上30就可以滿足條件，所以第一個符合題意的數(shù)是，最大的一個數(shù)是，共計(jì)個數(shù)

8、，分別為750、810、870、930、990【答案】750、810、870、930、990模塊二、利用整式拆分進(jìn)行分類枚舉【例 5】 在小于5000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)，共有多少個. 【考點(diǎn)】利用整式拆分進(jìn)行分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答【解析】 兩位數(shù)字中能被11整除的數(shù)字是11、22、99這些數(shù)字中顯然沒有這樣的數(shù).三位數(shù)，設(shè)這個三位數(shù)為，有和，顯然有，所以就有，814，715，616，517，418，319這7個.四位數(shù)，設(shè)這個四位數(shù)為， 有和()()中，若，則或4有2種組合，b和d有2種.因此有4種； 有和()()，則只能，和有7種組合.綜上所述，這樣

9、的數(shù)有個.觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠(yuǎn)的原則，有目的、有計(jì)劃的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)行觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點(diǎn)觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波

10、浪。有的孩子說“烏云跑得飛快?！蔽壹右钥隙ㄕf“這是烏云滾滾?！碑?dāng)幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃?！苯又變郝牭嚼茁曮@叫起來，我抓住時機(jī)說：“這就是雷聲隆隆?！币粫合缕鹆舜笥?，我問：“雨下得怎樣?”幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨”這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗誦自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑?！边@樣抓住特征見景生情，幼兒不僅印象深刻，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會應(yīng)用。我還在觀察的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來，在發(fā)展想象力中發(fā)展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，

11、尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒能夠生動形象地描述觀察對象?！敬鸢浮?8個【例 6】 “教書先生”恐怕是市井百姓最為熟悉的一種稱呼，從最初的門館、私塾到晚清的學(xué)堂，“教書先生”那一行當(dāng)怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生”概念并非源于教書，最初出現(xiàn)的“先生”一詞也并非有傳授知識那般的含義。孟子中的“先生何為出此言也？”；論語中的“有酒食，先生饌”；國策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”為父兄或有學(xué)問、有德行的長輩。其實(shí)國策中本身就有“先生長者，有德之稱”的說法?？梢姟跋壬敝夥钦嬲摹敖處煛敝?，倒是與當(dāng)今“先生”的稱呼

12、更接近。看來，“先生”之本源含義在于禮貌和尊稱，并非具學(xué)問者的專稱。稱“老師”為“先生”的記載，首見于禮記?曲禮，有“從于先生，不越禮而與人言”，其中之“先生”意為“年長、資深之傳授知識者”，與教師、老師之意基本一致。在1、2、3、42019這2019個數(shù)中有多少個自然數(shù)a能使2019+a能被2019-a整除?！究键c(diǎn)】利用整式拆分進(jìn)行分類枚舉 【難度】4星 【題型】解答【解析】 我國古代的讀書人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識記幾千個漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起

13、作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就尖銳地提出:“中小學(xué)語文教學(xué)效果差,中學(xué)語文畢業(yè)生語文水平低,十幾年上課總時數(shù)是9160課時,語文是2749課時,恰好是30%,十年的時間,二千七百多課時,用來學(xué)本國語文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!”尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中水平以上的學(xué)生都知道議論文的“三要素”是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的基本結(jié)構(gòu):提出問題分析問題解決問題,但真正動起筆來就犯難了。知道“是這樣”,就是講不出“為什么”。根本原因還是無“米”下“鍋”。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就很難寫出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的通病。要解決這個問題,不能單在布局謀篇等寫作技方面下功夫,必須認(rèn)識到“死記硬背”的重要性,讓學(xué)生積累足夠的“米”。本題考察代數(shù)知識的綜合技巧，是一道