初三培優(yōu)易錯難題圓的綜合輔導專題訓練及答案解析

1、初三培優(yōu)易錯難題圓的綜合輔導專題訓練及答案解析一、圓的綜合1 .如圖，四邊形 ABCD內接于。O,對角線AC為。的直徑，過點 C作AC的垂線交AD 的延長線于點 E,點F為CE的中點，連接 DB, DF.(1)求證：DF是。的切線；(2)若 DB平分 ZADC, AB=5應，AD : DE=4 ： 1 ,求 DE 的長.【答案】 見解析；(2) .,5【解析】分析：(1)直接利用直角三角形的性質得出DF=CF=EF,再求出Z FDO=Z FCO=90°,得出答案即可；(2)首先得出AB=BC即可得出它們的長，再利用 4ADC4ACE得出AC2=AD?AE,進 而得出答案.詳解：(1)

2、連接OD.OD=CD, . . / ODO/OCD. AC為。O 的直徑， / ADO/ EDC=90 °.點 F 為 CE的中點，DF=CF=EF, . . / FDO/FCD, . / FDO=/FCO.又AC，CE,ZFDO=Z FCO=90°, . DF是。的切線.(2) AC 為。的直徑，Z ADC=ZABC=90°. DB 平分/ADC,Z ADB=Z CDB, ，Ab = ?C， 1- BC=AB=5 72 -在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=100.又AC，CE,ZACE=90°,AC AE ADC ACE = ,AC2=AD?

3、AE.AD AC設 DE為 x,由 AD: DE=4: 1,，AD=4x, AE=5x,.-100=4x?5x, x= 75 ,，DE=石.點睛：本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質，正確得出ac2=ad?ae是解題的關鍵.2.如圖，AB是。的直徑，PA是。O的切線，點 C在。O上，CB/ PO. （1）判斷PC與。O的位置關系，并說明理由； 若AB=6, CB=4,求PC的長.【答案】（1） PC是。的切線，理由見解析；（2） 3J52【解析】試題分析：（1）要證PC是。的切線，只要連接 OC,再證Z PCO=90即可.（2）可以連接AC,根據已知先證明ACB-4PCQ再根據勾

4、股定理和相似三角形的性質 求出PC的長.試題解析：（1）結論：PC是。的切線.證明：連接OC. CB/ PO，/POA=/ B, /POC=/ OCB-.OC=OB/ OCB=Z BZ POA=Z POC又. OA=OC, OP=OP.,.APOACPO/ OAP=Z OCP.PA是。O的切線/ OAP=90 °/ OCP=90 °2 .PC是。的切線.(2)連接AC.AB是。的直徑/ ACB=90 °(6 分)由(1)知/ PCO=90 , / B=Z OCB=Z POC3 / ACB=Z PCO.ACBAPCO,EC AC -."必皿圮士更還一啞三？

5、 一邁. BC _4_4_ 2點睛：本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可.同時考查了勾股定理和相似三角形的性質.3.如圖，OM與菱形ABCD在平面直角坐標系中，點 M的坐標為(3, - 1),點A的坐 標為(-2, J3),點B的坐標為(-3, 0),點C在x軸上，且點 D在點A的左側.(1)求菱形ABCD的周長；(2)若。M沿x軸向右以每秒2個單位長度的速度平移，同時菱形ABCD沿x軸向右以每秒3個單位長度的速度平移，設菱形移動的時間為t (秒)，當。M與BC相切，且切點為BC的中點時，連接BD,求:t的值； ZMBD的度數；

6、1時，求t的值.(3)在(2)的條件下，當點 M與BD所在的直線的距離為【答案】(1)8； ( 2)7 ;1050 ; ( 3)t=6 32 或 6+ 3- 3【解析】分析：(1)根據勾股定理求菱形的邊長為2,(2)如圖2,先根據坐標求 EF的長，由 的值；所以可得周長為 8;EEFE=EF=7,歹U式得：3t -2t=7,可得 t 先求/EBA=60°,則/FBA=120°,再得ZMBF=45 °,相加可得：/ MBD = Z MBF+Z FBD=45 +60 =105 ;BD(3)分兩種情況討論：作出距離MN和ME,第一種情況：如圖 5由距離為1可知：為。M的

7、切線，由BC是。M的切線，得/MBE=30°,列式為31+73=21+6,解出即可； 第二種情況：如圖 6,同理可得t的值.詳解：(1)如圖1 ,過A作AE± BC于E.點 A 的坐標為(-2, 而)，點、B 的坐標為(-3, 0) , ，AE=J3, BE=3-2=1,AB= Tae"_be7 = & V3)2 12 =2 -四邊形 ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD=2,菱形 ABCD的周長=2 X 4=8 (2) 如圖2, OM與x軸的切點為F, BC的中點為E. , M (3, T) , F (3, 0). . BC=2,且 E為 BC的中點

8、，E ( -4, 0) , . EF=7,即 EEFE=EF, .-.3t-2t=7, t=7;由(1)可知：BE=1, AE=J3,AE . 3tanZ EBA=73 ,，/ EBA=60 ,如圖 4, . / FBA=120 .BE 11 ,1 , 四邊形 ABCD是菱形，/ FBD=- / FBA=- 120 =60 .22BC是 O M 的切線，MF ± BC. F是BC的中點，.-.BF=MF=1,4BFM是等腰直角三角形，/ MBF=45 ；/ MBD=Z MBF+Z FBD=45 +60 = 105 ；°(3)連接BM,過M作MN± BD,垂足為N,

9、作MEXBCT E,分兩種情況: 第一種情況：如圖5.四邊形 ABCD 是菱形， ZABC=120 °, ，/CBD=60°,，/NBE=60°. 點M與BD所在的直線白距離為 1,MN=1,BD為。M的切線.BC是 O M 的切線，/ MBE=30 °.ME=1, EB=7s ,3t+73 =2t+6, t=6一第二種情況：如圖 6.四邊形 ABCD 是菱形， ZABC=120 °, ，/DBC=60：/ NBE=120 點M與BD所在的直線白距離為 1,MN=1,BD為。M的切線. BC是 O M 的切線，/ MBE=60 °.

10、ME=MN=1 . .BEM 中 tan60 =ME , EB=-1-=, ''BE tan60 3.-3t=2t+6+ , t=6+3;綜上所述：當點 M與BD所在的直線的距離為 1時，t=6 - J3或6+ 3點睛：本題是四邊形和圓的綜合題，考查了菱形的性質、圓的切線的性質和判定、特殊的三角函數值、等腰直角三角形的性質、動點運動問題，此類問題比較復雜，弄清動點運動 方向、速度、時間和路程的關系，并與方程相結合，找等量關系，求出時間 t的值.4.如圖，AB, BC分別是。的直徑和弦，點 D為Be上一點，弦DE交OO于點E,交AB于點F,交BC于點G,過點C的切線交ED的延長線

11、于 H,且HC=HG連接BH,交。O 于點M,連接MD, ME.求證：(1) DE± AB;(2) / HMD=/MHE+/MEH.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】分析：(1)連接0C,根據等邊對等角和切線的性質，證明 / BFG“ OCH=90即可；(2)連接BE,根據垂徑定理和圓內接四邊形的性質，得出 ZHMD=ZBME,再根據三角形 的外角的性質證明 ZHMD=Z DEB=ZEMB即可.詳解：證明：(1)連接0C-HC=HG,Z HCG=Z HGC；.HC切。0于C點，Z OCB+Z HCG=90 ；-.OB=OC,Z OCB=Z OBC, Z HGC=Z B

12、GF,Z OBC+Z BGF=90 ,Z BFG=90 ,即 DEX AB;(2)連接BE,由(1)知 DHAB,.AB是。O的直徑，Z BED=Z BME;.四邊形BMDE內接于OO,Z HMD=Z BED,Z HMD=Z BME;V Z BME是HEM的外角，Z BME=ZMHE+Z MEH,Z HMD=Z MHE+Z MEH.點睛：此題綜合性較強，主要考查了切線的性質、三角形的內角和外角的性質、等腰三角 形的性質、內接四邊形的性質.5.如圖，A是以BC為直徑的。上一點，ADLBC于點D,過點B作。的切線，與CA 的延長線相交于點 E, G是AD的中點，連結 CG并延長與BE相交于點F,延

13、長AF與CB的 延長線相交于點P.(1)求證：BF=EF:(2)求證：PA是。的切線；(3)若FG=BF,且。的半徑長為3J2,求BD的長度.【解析】3) 2 2分析：(1)利用平行線截三角形得相似三角形，得BFgDGC且FEgGAC,得到對應線段成比例，再結合已知條件可得BF=EF；(2)利用直角三角形斜邊上的中線的性質和等邊對等角，得到/FA8/EBO結合BE是圓的切線，得到 PA! OA,從而得到PA是圓。的切線；(3)點F作FHI± AD于點H,根據前兩問的結論，利用三角形的相似性質即可以求出BD的長度.詳解：證明：(1).BC是圓。的直徑，BE是圓。的切線,EBXBC；又

14、; AD± BC, .AD/ BE .BFCDGC AFECAGAC,BF CFEF CF,=DG CG AG CGBF EF-=，DG AG.G是AD的中點，DG=AG,- BF=EF；(2)連接 AO, AB. BC是圓。的直徑，/ BAC=90 ；由(1)得：在RtBAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點,1 .AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,又. OA=OB,/ ABO=Z BAO,.BE是圓O的切線，/ EBO=90 ；3 / FBA+ZABO=90 ；4 / FABZ BAO=90 ;即 / FAO=90°,5 PAX OA,6 .PA是圓O的切線；(3)過點

15、F作FH,AD于點H,7 . BDXAD, FHXAD,8 .FH/ BC,由(2),知 / FBA=Z BAF, BF=AF.9 BF=FG,10 .AF=FG,.AFG是等腰三角形.FHXAD,.AH=GH,DG=AG, DG=2HG.DG 2. FH/BD, BF/ AD, Z FBD=90 ；四邊形BDHF是矩形,.BD=FH,1. FH/ BC.HFGADCQFHHG1CDDG 2BD 1即-,CD 2,2 32.15, 3O的半徑長為3J2，BC=6 72 ,.結合已 .BD=：BC =2應.點睛：本題考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質知條件準確對圖形進

16、行分析并應用相應的圖形性質是解題的關鍵6.已知 A (2,0) , B (6,0) , CB±x 軸于點 B,連接 AC畫圖操作：(1)在y正半軸上求作點 P,使得/APB=/ ACB (尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)理解應用：(2)在(1)的條件下， 若tan / APB 1,求點P的坐標2當點P的坐標為 時，/APB最大拓展延伸：(3)若在直線y x+4上存在點 巳 使得/APB最大，求點P的坐標3【答案】（1）圖形見解析（2） （0,2) , (0, 4) (0, 273) (3)(述 3,55【解析】試題分析：（1）以AC為直徑畫圓交y軸于P,連接PA PB, /PAB即為所求；（

17、2） 由題意AC的中點K （4, 4）,以K為圓心AK為半徑畫圓，交 y軸于P和P',易知 P (0, 2) , P'(0, 6)； 當。K與y軸相切時，/APB的值最大，（3）如圖3中，當經過AB的園與直線相切 時，/APB最大.想辦法求出點 P坐標即可解決問題；試題解析：解：（1） /APB如圖所示；(2)如圖 2 中， Z APB=Z ACB, . tan / ACB=tan / APB=1 =幽.A (2, 0) , B2 BC(6, 0) , .-.AB=4, BC=8, .C (6, 8) , ，AC的中點 K (4, 4),以 K為圓心 AK為半徑畫圓，交y軸于P

18、和P',易知P (0, 2) , P' (0, 6). 當。K與y軸相切時，/APB的值最大，此時 AK=PK=4, AC=8,.BC= Jac2_AB2 =473 , -C (6, 473) , -K (4, 2 衣)，P (0, 2 73).故答案為:(0, 2 -.3) .(3)如圖3中，當經過AB的園與直線相切時，/APB最大.直線y=“ x+4交x軸于M3(3, 0)，交 y 軸于 N (0, 4) . MP 是切線，MP2=MA?MB, . MP=3 J5 ,作PKiL OA 于 K. ON/ PKON OMPK - MKNM 43512 5, = =-產,PK=

19、RMP PK MK 3. 55MK=K5,OK=95 - 3, P (95-3, 型5)5555點睛：本題考查了一次函數綜合題、直線與圓的位置關系、平行線的性質、切線的判定和 性質、勾股定理、銳角三角函數等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線解決問題，學 會構造輔助圓解決最大角問題，屬于中考壓軸題.7.如圖，4ABC是。的內接三角形，點D,E在。上，連接AE,DE,CD,BE,CE,/EAC+/ BAE=180 , 如Cd (1)判斷BE與CE之間的數量關系，并說明理由；(2)求證：ABEDCE；(3)若/EAC=60, BC=8,求。的半徑.【答案】(1) BE=CE理由見解析；(2)證明見

20、解析；(3) 蜓.3【解析】分析：(1)由A、B、C、E四點共圓的性質得：/BCE+Z BAE=180,貝U/BCE玄EAC,所以？E= CE ,則弦相等；(2)根據SSS證明AB®4DCE；(3)作BC和BE兩弦的弦心距，證明 RtA GB8 RtAHBO (HL),則/ OBH=3 0 ,設OH=x,則OB=2x,根據勾股定理列方程求出x的值，可得半徑的長.本題解析：(1)解：BE=CE理由：/EAC+Z BAE=180, / BCE+Z BAE=180, / BCE玄 EAC,?E= Ce，.BE=CE(2)證明： aB CD ， ，AB=CD:？e=Ce, Ae Ed，ae=

21、ed由(1)得：BE=CE在 ABE和ADCE中，AE DE. AB CDBE CE2 .ABEADCE (SS§ ；(3)解：如圖，二.過。作 OG，BE 于 G, OHBC 于 H,BH= - BC=- X 8=4 BG=-BE, 2223 BE=CE / EBC=Z EAC=60 BEC 是等邊三角形,BE=BC BH=BG,.OB=OB,RtAGBO RtAHBO (HL),/ OBH=Z GBO=-/ EBC=30,°2設 OH=x,貝U OB=2x,由勾股定理得：(2x) 2=x2+42, x=W8.3OB=2x=點睛：本題是圓的綜合題，考查了四點共圓的性質、三

22、角形全等的性質和判定、勾股定理、直角三角形30。的性質，難度適中，第一問還可以利用三角形全等得出對應邊相等的結論；第三問作輔助線，利用勾股定理列方程是關鍵8.已知：BD為。的直徑，O為圓心，點A為圓上一點，過點 B作。的切線交DA的延 長線于點F,點C為。上一點，且 AB= AC,連接BC交AD于點E,連接AC.(1)如圖 1,求證：/ABF=/ABC;(2)如圖2,點H為。O內部一點，連接 OH, CH若/ OHC=/HCA= 90°時，求證：CH=1DA;2在（2）的條件下，若 OH=6,。的半徑為10,求CE的長.圄I圖？21【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） 21.5

23、1由BD為e O的直徑，得到 D ABD 90°,根據切線的性質得到FBA ABD 90°,根據等腰三角形的性質得到 結論；2如圖2,連接OC,根據平行線的判定和性質得到 的性質得到OBC OCB , ABC CBO的性質即可得到結論；C ABC ,等量代換即可得到ACOCOH ,根據等腰三角形ACBOCB ,根據相似三角形3根據相似三角形的性質得到公旦型2,根據勾股定理得到OH OCAD JBD2 AB2 16,根據全等三角形的性質得到 BF BE, AFAE ,根據射影122 -定理得到AF 9 ,根據相交弦定理即可得到結論.161 Q BD為e O的直徑，BAD 90

24、°,D ABD 90°,Q FB是e O的切線，F(xiàn)BD 90°,FBA ABD 90°,FBA D ,Q AB AC ,C ABC ,Q C D , ABF ABC；2如圖2,連接OC,Q OHC HCA 900,AC/OH ,ACO COH ,QOB OC ,OBC OCB,ABC CBO ACB OCB, 即 ABD ACO,ABC COH , Q H BAD 900,VABD sVHOC ,AD BD2,CH OC-1CH - DA ； 23 由 2 知，VABCs VHOC ,AB BD 一 一 2,OH OCQOH 6, e O的半徑為10,A

25、B 2OH 12, BD 20,AD -BD2 AB2 16, 在VABF與VABE中，ABF ABEAB AB , BAF BAE 90oVABF VABE , BF BE , AF AE ,Q FBD BAD 900,AB2 AF AD ，AF1221615,AE AF 9, de 7, be Jab2 AE2Q AD , BC交于 E,AE DE BE CE ,“ AE DE 9 7 21CE BE 155本題考查了切線的性質，圓周角定理，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性 質，平行線的性質，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正確的識別圖形是解題的關鍵.9.如圖1,已知AB是。的

26、直徑，AC是。的弦，過。點作OF，AB交。于點D,交AC于點E,交BC的延長線于點 F,點G是EF的中點，連接 CG判斷CG與。的位置關系，并說明理由；(2)求證：2OB2=BC?BF;(3)如圖 2,當/DC三 2ZF CE 3, DG= 2.5 時，求 DE 的長.圖1圖2【答案】(1) CG與。相切，理由見解析；(2)見解析；(3) DE= 2【解析】【分析】(1)連接CE由AB是直徑知4ECF是直角三角形，結合 G為EF中點知/ AEO= / GEC=/GCE 再由 OA= OC知/OCA=/OAC,根據 OF，AB 可得 / OCA+/GC990；即OCX GC,據此即可得證；BC(

27、2)證ABJFBO得BOAB 一 八，結合AB=2BO即可得;BF(3)證ECDEGC得型 ED ,根據 C曰3, DG= 2.5知3 匹，解之可EG ECDE 2.53得.解：（1） CG與。O相切，理由如下: 如圖1,連接CE,圉1 .AB是。的直徑，/ ACB= / AC已 90 °, 點G是EF的中點，.GF= GE= GC,/ AEO= ZGEC= / GCE .OA=OC,/ OCA= / OAC, .OFXAB, / OAG/AEO= 90 °, / OCA+Z GCE= 90 :即 OCX GC, CG與。O相切；(2) Z AOE= Z FCE= 90&#

28、176;, ZAEO= Z FEC/ OAE= / F,又 : / B= / B, .ABCAFBO,BC AB 目口 f ,即 BO?AB= BC?BF,BO BF .AB=2BO, .-.2OB2 = BC?BF;(3)由(1)知 GC= GE= GF,/ F= / GCF/ EGC= 2/F,又 / DCE= 2/ F,/ EGC= / DCE, / DEC= / CEG .ECtDAEGC：.EC ED EG EC ',. CE= 3, DG= 2.5,3 DE , DE 2.53整理，得：DE2+2.5DE 9=0,解得：DE= 2 或 DE= - 4.5 (舍)，故 DE=

29、2.【點睛】本題是圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握圓周角定理、切線的判定、相似三角形的判定與 性質及直角三角形的性質等知識點.10.如圖1,在RABC中，ZABC=90°, BA=BC,直線 MN是過點 A的直線 CD± MN于點 D,連接BD.(1)觀察猜想張老師在課堂上提出問題：線段DC, AD, BD之間有什么數量關系.經過觀察思考，小明出一種思路：如圖1,過點B作BEX BD,交MN于點E,進而彳#出：DC+AD=BD.(2)探究證明將直線MN繞點A順時針旋轉到圖2的位置寫出此時線段 DC, AD, BD之間的數量關系， 并證明(3)拓展延伸在直線MN繞點A旋轉的過程

30、中，當 ABD面積取得最大值時，若 CD長為1 ,請直接寫 BD的長.【答案】(1) 拒；(2) AD- DC=72 BD; (3) BD=AD=72+1.【解析】【分析】(1)根據全等三角形的性質求出 DC, AD, BD之間的數量關系(2)過點B作BEX BD,交MN于點E. AD交BC于O,證明 CDB0 AEB ,得到 CD AE , EB BD ,根據 BED為等腰直角三角形，得到 DE J2BD ,再根據DE AD AE AD CD ,即可解出答案.(3)根據A、B、C、D四點共圓，得到當點 D在線段AB的垂直平分線上且在 AB的右側 時，4ABD的面積最大.在DA上截取一點H,使

31、得CD=DH=1,則易證CH AH J2, 由BD AD即可得出答案.【詳解】解：（1）如圖1中，由題意： BAE0 BCD ,，AE=CD, BE=BD，CD+AD=AD+AE=DE BDE是等腰直角三角形,.DE= .2 BD, .DC+AD= J2 BD,故答案為V2 AD DC V2BD -證明：如圖，過點 B作BEX BD,交MN于點E. AD交BC于O.ABC DBE 90 ,ABE EBC CBDABE CBD .EBC,BAE AOB 90 ,BAE BCD ,BCD COD 90 , AOBABE DBC ,又 AB CB ,CDB0 AEB,CD AE , EB BD ,B

32、D為等腰直角三角形，DE J2BD .DE AD AE AD CD ,AD DC 2BBD (3)如圖3中，易知A、B、C、D四點共圓，當點 D在線段AB的垂直平分線上且在 AB 的右側時，4ABD的面積最大.圖3此時DG，AB, DB=DA,在DA上截取一點 H,使得CD=DH=1,則易證 ch AH J2，BD AD 2 1-【點睛】本題主要考查全等三角形的性質，等腰直角三角形的性質以及圖形的應用，正確作輔助線和熟悉圖形特性是解題的關鍵 .11.如圖，DABCD勺邊AD是4ABC外接圓。的切線，切點為 A,連接AO并延長交BC 于點E,交。于點F,過點C作直線CP交AO的延長線于點 P,且

33、/BCP=/ACD.(1)求證：PC是。的切線；(2)若/B= 67.5 °, BC= 2,求線段PC, PF與弧CF所圍成的陰影部分的面積 S.P C【答案】(1)見解析；(2) 1 4【解析】【分析】(1)過C點作直徑CM,連接MB,根據CM為直徑，可得ZM+ZBCM=90°, 再根據AB/ DC可得/ ACD= / BAC,由圓周角定理可得 / BAC= / M, / BC之ZACD,從 而可推導得出/ PCM=90°,根據切線的判定即可得；(2)連接OB,由AD是。的切線，可得 /PAD= 90°,再由BC/ AD,可得API BC,從而得BE=

34、 CE= 1 BC= 1 ,繼而可得到/ABC=/ACB= 67.5 ；從而得到Z BAC= 45°,由圓周2角定理可得Z BOC=90,從而可得Z BOE= Z COE= Z OCE= 45 °,根據已知條件可推導得出 oe= ce= 1, pc= oc= Joe2 ce2 J2,根據三角形面積以及扇形面積即可求得陰影 部分的面積.【詳解】(1)過C點作直徑CM,連接MB, .CM為直徑，/ MBC= 90 °,即 / M+ / BCM= 90 °, 四邊形ABCD是平行四邊形， .AB/DC, AD/ BC,/ ACD= / BAC, / BAC=

35、ZM, / BCF / ACD,. . / M = / BCF, / BCP叱 BCM= 90 ；即/ PCM= 90 °,CMXFC,.FC與。O相切；(2)連接OB,.AD是。的切線，切點為 A, OAXAD,即 / FAD= 90 :_ _1八1.BC/ AD, /AEB=/PAD= 90 , /.AFI BC. . BE= CE= - BC= 1,2AB= AC,/ ABC= / ACB= 67.5 ,°/ BAC= 180 ABC- / ACB= 45 °,/ BOC= 2/ BAC= 90 °,-. OB= OC, AFXBC,/ BOE=

36、/ COE= / OCE= 45 ,f / FCM= 90 ；/ CFO= / COE= / OCE= 45 ；45 兀 2 2360OE=CE= 1, FC= OC= Joe2 ce2 亞,S= Sa foc S 扇形OFC= 12 .萬2【點睛】本題考查了切線的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、扇形面積等，綜合性較 強，準確添加輔助線是解題的關鍵12.如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且 / PDA=/ FBD.延長FD 交圓的切線BE于點E(1)判斷直線PD是否為。的切線，并說明理由;(2)如果 / BED=60°, PD=73,求 PA的長； (3)將線

37、段PD以直線AD為對稱軸作對稱線段 DF,點F正好在圓O上，如圖2,求證：四邊形DFBE為菱形.E【答案】(1)證明見解析；(2) 1； (3)證明見解析.【解析】【分析】(1)連接OD,由AB是圓O的直徑可得/ADB=90,進而求得Z ADO+Z PDA=90 ,即可得 出直線PD為。的切線；(2)根據BE是。的切線，則/EBA=90,即可求得/ P=30° ,再由PD為。的切線，得 /PDO=90 ；根據三角函數的定義求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA；(3)根據題意可證得 /ADF=/ PDA=/ PBD=/ ABF,由AB是圓O的直徑，得/ ADB=90 , 設/ PB

38、D我，則可表示出 /DAF=/ PAD=90 +x°, Z DBF=2x ,由圓內接四邊形的性質得出 x 的值，可得出4BDE是等邊三角形.進而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為。的切線，理由如下：如圖1,連接OD,.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ,° / ADO+Z BDO=90 ；又 DO=BO,/ BDO=Z PBD, / PDA=/ PBD,/ BDO=Z PDA, / ADO+Z PDA=90 ；即 PD± OD, 點D在。O上， 直線PD為。O的切線；(2) BE是。的切線，/ EBA=90 , / BED=60 ,/ P=30

39、；.PD為。的切線，/ PDO=90 ；在 RtA PDO 中,/ P=30°, PD=3 ,tan300 °D ,解得 OD=1, PDPO . PD2 OD2=2,PA=PO- AO=2- 1=1;(3)如圖2,依題意得：/ ADF=Z PDA, / PAD=/ DAF, / PDA=Z PBDZ ADF=Z ABF, / ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF.AB是圓O的直徑，/ ADB=90 ,°設 / PBD=X ,貝U / DAF=Z PAD=90 +x°, / DBF=2X , 四邊形AFBD內接于OO, / DAF+Z DBF=18

40、0 ,°即 90°+x+2x=180°,解得 x=30°,/ ADF=Z PDA=Z PBD=Z ABF=30 ,°.BE、ED是。的切線， . DE=BE / EBA=90 :/ DBE=60 ,° 4BDE是等邊三角形, .BD=DE=BE又 / FDB=Z ADB- / ADF=90 30 =60 / DBF=2x =60°, .BDF是等邊三角形, .BD=DF=BF，DE=BE=DF=BF【點睛】本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質，圓周角定理和菱形的性質，是中檔 題，難度較大.13.如圖，已知 AB為。

41、的直徑，AB=8,點C和點D是。O上關于直線 AB對稱的兩個點，連接OC AC,且/BOC< 90。，直線BC和直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點 F,與直線 AD相交于點G,且/ GAF= / GCE（1）求證：直線CG為。的切線；（2）若點H為線段OB上一點，連接 CH,滿足CB= CH,CBHkOBC求OH+HC的最大值【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；5.【解析】分析：（1）由題意可知：/CAB=/ GAF,由圓的性質可知：/CAB=/ OCA,所以/OCA=/ GCE，從而可證明直線 CG是。O的切線；（2） 由于CB=CH所以/CBH=/

42、 CHB,易證/ CBH=/ OCB,從而可證明 CBHAOBC;BC HB 一 BC2 由CBHOBC可知： -=,所以HB=,由于BC=HC 所以BC2OH+HC=4-B +BC,利用二次函數的性質即可求出OH+HC的最大值.4詳解：（1）由題意可知： /CAB=/ GAF,.AB是。的直徑，/ ACB=90 ° .OA=OC,Z CAB=Z OCA, / OCA+Z OCB=90 ； / GAF=Z GCE / GCE吆 OCB=Z OCA+Z OCB=90 ；OC是。的半徑，直線CG是。的切線；(2)CB=CFi/ CBH=Z CHB,.OB=OC,/ CBH=/ OCB,.

43、,.CBHAOBC-BC HB由CBHOBC可知：=OC BC .AB=8, BC2=HB?OC=4HBHB=BCBC.OH=OB-HB=44 .CB=CH)BC2.OH+HC=4-+BC,當 / BOC=90 ,此時BC=4. 2 / BOC< 90 ； .0< BCv 472 ,2X令 BC=x貝U CH=x, BH=41 2OH HC x x 44當x=2時，.OH+HC可取得最大值，最大值為5點睛：本題考查圓的綜合問題，涉及二次函數的性質，相似三角形的性質與判定，切線的 判定等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所知識.14.如圖，等邊4ABC內接于OO, P是弧AB上任一

44、點（點P不與A、B重合），連 AP,BP,過C作CM / BP交PA的延長線于點 M ,（1）求證：4PCM為等邊三角形；（2）若PA= 1, PB= 2,求梯形PBCM的面積.【答案】（1）見解析；（2） 15:34【解析】【分析】(1)利用同弧所對的圓周角相等即可求得題目中的未知角，進而判定4PCM為等邊三角形；(2)利用上題中得到的相等的角和等邊三角形中相等的線段證得兩三角形全等，進而利用 PCM為等邊三角形，進而求得PH的長，利用梯形的面積公式計算梯形的面積即可.【詳解】(1)證明：作PHL CM于H,.ABC是等邊三角形，/ APC=Z ABC=60 ,°/ BAC=Z BPC=60 ,°. CM / BP, / BPC玄 PCM=60 ;.PCM為等邊三角形；(2)解：.ABC是等邊三角形， 4PCM為等邊三角形， / PCA+/ ACM=Z BCP+/ PCA, / BCP玄 ACM,