初中常見定理證明

1、初中常見定理的證明一、三角形 三角的相等去證明定理:有兩個形用1、運(yùn)你所學(xué)過的三角全等的知識明，證明、求證，并證已圖腰三角 形.（用形中的符號表達(dá)知等角形是依據(jù)）各步驟要注明對已知；如圄，在自中，求證：Af 二AC .證明：過A點(diǎn)作AD1EC于D，工/ADB=4DC=Q ,在和 RlAACD 中，ZQ3二 4QCAb-Zc ，ADADIA AABD ABAC （AAS）B=AC （全等三角形的對應(yīng)邊相等）、求知、寫出已形相等.（畫出圖底形理2、證明定：等腰三角的兩個角證并證茶：已知：AAEC中，Ab二AJ求證：ZB-ZC .證明:如圖，過口作EC，AD，垂足為點(diǎn)DVAB-AC » A

2、D=ADARt AABDRtAACD （HL ）zb=zc.明）出、畫求證，.要求寫出定理、已知角形3、敘述并證明三內(nèi)角和定理定理：三角形的內(nèi)用和是；已知；且BC的三個內(nèi)/分別為/A，2CJ求證：ZA+ZB+ZC=180& -證目打 過點(diǎn)A作直線HN，使MN方EC.二/B二/MAB* NC=CNA匚（柄直線平行*內(nèi)錯角相等）'/ ZOEi-hZNAC + ZBAC=180Q C 平角定義），2B+2：C + BAC=180° （等量代摭）并圖形，寫出證明過程即/A十上E+4=180” 1三的求將三角形是角內(nèi)和定理的一種思路力明三知 4、我們道，證角形結(jié)得到角 用平定義

3、來而鄰的一化到同個頂點(diǎn)三個相的角，從利轉(zhuǎn)內(nèi)個角.流交互相可問方法一；已知；求證：，證明：運(yùn)點(diǎn)A作EF1BC，EF 嚴(yán) BC，二,乙1二上B，-J'.'Z 1 + Z2+ZBAC=1BOS ，-' BAC+ZB+ZC=1SO 0 .學(xué)之同？呢法方的同不種少多出想能你，論即知三篇杉內(nèi)屆和等于1初二.方法二：證明：心DEF由且EF折疊而得，同理EM2R，ZFDC=C.V ZBDE+ZEDF-f2FDC=180 ，ZB+Z A4-ZC=1 80" i.二三角形內(nèi)角和等于18。°理.悉的們非常熟定定理5、三角形中位線，是我請你在下面的橫線上，完整地敘述出這個定

4、理：根據(jù)這個定理畫出圖形，寫出已知和求證，并對該定理給出證明.解：（1）三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.<2 >已知；DE是在即的中位瓏單求證:- DE二3J證明:暹長DE到F，使EF = DE，14接CF.VAE=CE - ZJO-ZCEF *，aade acef .AAD=CF - ZADE=2：CFE ., AD # CF .&D=fiD，； BD=CF .四邊形EEFD是平行四邊形.,DEBC，DE=-0C.2曲答案為三所形的中位線平行于第三他目等于第三邊的一半.6、定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是，這個命題正確嗎？若正確，由.理

5、明說請確正不若，題命個這明證你請解：座晶題是“三角形一邊上的中縷是這邊的一半的話，那么這個三角形是直角三角形” 這個命題是正確的.已知：AABC中，D是AC的中點(diǎn)t BD=AD » £D=OC.求證：由BC是直角三角形.證明JBD h AU，1,2二孫/0D=DC p., /C=/DEC，/ ZA+ZC+ABD+ZDBC=iaO ，1 2 ( ZA+ZC) =180* ，解母，&+，C=9。，1,* ZABC=9D° .即AABC是宜甬三角形.7、用所學(xué)定理、定義證明命題證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一 已知；如圖，在AEC中，0是斜邊好的中皮.求

6、證；CQ=JIB證明；暹長C。至D使CO=D。，14接AD、3D1Q是此的市直，- AO = fiO，VCO=DO四邊形ACED是平行四邊形，ZACB=90°- '四邊形AGED是拒舲，- AB-CD，- -CO = BO，- CO = -CD，2ACO=i-AB .、/ :8、同學(xué)們，這學(xué)期我們學(xué)過不少定理，你還記得“在直角三角形中，如果一個 銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半”，請你寫出它的逆命題, 并證明它的真假.解：原命題的逆命題為:在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半,那么這條直角邊30° .是的角所對.已知；aABC中，EC=jAB

7、 1 ZACB=90° -求證：Z0AC=3Oq證明：延長EC至R,使CD=BC.V ZACB=5D°，二 /MD=9(T .AC=AC在 AACD和AABC中一ACDACB -DC = SCAACD AA3C-AD=AB .VAB=2BD i BC=DC * AB=DB，二色ADB為等邊三房形Zfi=60 .V AC-LDBpCAB=300 .9、利用圖（1）或圖（2）兩個圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一國門）圄U)個十分著名的定理，這個定理稱為，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式是解：用圖(2)較閻單，如圖正方形的面租=Ca+b) A用三角形的面觀與邊長為c的正方形的面

8、積表示為4，即(a+b ) *二4其；3匕十匚2化筒律小+"二cd這個定理稱為 勾股定理.故箸案為：勾股定理、/他2:.系都能證明數(shù)學(xué)中等量關(guān)一個十分著名的有10、利用圖中圖形關(guān)面積的的定理，此證明方法就是美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德最先完成的，人們?yōu)榱思o(jì)念他，把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法.這個定理稱為，該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達(dá)式18 ：如圖，* /EEB=EDC，ZAEB+ZDEC=90°，,弋1 2* snAED=y，* -' sABE = sADEC=|ab5又；5 梯形 ABCD=4 (a+b)(a2 + 2ab+b2).Saae十Saabe+9&decfS

9、 梯形 ABCC). Lol119ty* c +-ab4-ab=- ("+Z 總 b+b") >22 22且整理得r小十tF二d表述理定、11.容；出勾股定理內(nèi)圖請你根據(jù)1中的直角三角形，寫明試證嘗高a+b為底b為，以角中的直三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、以圖1 理.證勾股定）梯形（如圖2,請你利用圖2,驗(yàn)直的角方和等于方.斜邊的平定理表述：直角三角形中，兩直角邊的平2cab +S=S及二 S四邊胎ABC口=3（6一厘）（仃*也）二位 ，( a+b ) =2ab+c »J 9 +2ab+b=2ab+c，S+S證明：2CDE=ABEAEDABCD 四邊形22

10、- J請BD=CD ACLBC. CAD 如圖，ABC, AB=AC / BADW 12、定理.線合角形的“個作為結(jié)論，證明等腰擇你選其中的兩個作為條件，另兩解：已知：®AB=AC .求證；BD=CD，AD±BC.證明！在ZVAED與fMD中， （AB=AC2LBAD 2LCAD，AD-ADJ ASD AACD ( SAS ).”性質(zhì)/ BD = CD j AD±BC .如（命的真題公除了理外，其他稱認(rèn)的指 13、課本出：公真命題理為公，）的正 確性都需要通等過推理的方法證實(shí). 理、推論定；AAS推論的中法方定判的全 等形角三述敘）1論AAS （2）證明推，證明達(dá)

11、；用圖形中的符號表已知、求證，并達(dá)求要：敘述推論用文字表據(jù).注證明對各步驟要明依解士 （1）三角形至尊的判定方法中的推論AAS指的是：柄房及其中一鬲的對邊對應(yīng)用等的兩個三角形全等.2 ）已知：在 AAEC 與 ADEF 申，Za=2D , 2cBC=EF .求證：AABCADHF.證明：如圖，在AEC與ADEF中，2a=ZI）I ZC=2f巳知，,N4十/C二2D +上F f等量代橫）.y., ZA+Z&+ZC= 1301s，ZD+ZE + Zy=l 8O"（三角形內(nèi)甬和定理），' ZBZE.丁在ZUBC與nDEF 中，2c= /F& BC-EF ，/h 二

12、Ne/. AAEC ADEF （ASA ）.:案”上的一個作業(yè)題”，、14在數(shù)學(xué)課外活動中某學(xué)習(xí)小組在討論導(dǎo)學(xué)/1 =Z2.圖，OA平分/BAC：已知如AO± BC求證： 線；說：要作輔助同學(xué)甲： 來質(zhì)定理解決角乙說：要應(yīng)用平分線性同學(xué) 決.來解的”性質(zhì)定理線角用說同 學(xué)內(nèi)：要應(yīng)等腰三形“三合一如果你是這個學(xué)習(xí)小組的成員，請你結(jié)合同學(xué)們的 討論寫出證明過程.證明：如圖過Q點(diǎn)作于D，以。點(diǎn)作QE _LAC于E .VOD 1AB - OE-LAC7 AO 平分 fBAC，.'.OD = OE .- -, / l±/2 ,.'OB = OC .rjRtAEDO和R

13、t ACE口中,(OD=OEOS = OC ','.ADOEAEOC (HL)，: ZDBO=ZECO ,- *. ZABC=ZACB，"-AB=AC- AO ±EC .、證明：勾股定理逆定理 15 22 + b若c =a中，已知：在A ABCAB=c,AC=b,BC=a 求證：/ C= 90度 DE=b,EF=a A/, DEF 使/ E=RTffi明：作 RT2 2 22 + EF = aDEF A 中，DF+b = ED在 RT22 =a+ b 因?yàn)?cDF =c所以 EF=BC DF=A所以，DE=AC, ABC (SSS) RT A A DF草所以

14、 /E = RT 所以/ C=二、四邊形 (一)梯形等線相角對條兩的形梯等腰“：明證理定、證明：在梯形就CD中，A3DC 7；，AEC二 QS .RVBC=CB，AABC = ADC0 .AC=DE .梯的角相等個同一底上的兩理形證兩 2、用種方法明等腰梯判定定：在形是等腰 梯形（要求：畫出圖形，寫出已知、求證、證已知二梯的 ABCD 中，2D-ZC ）取證士梯形且B3是等櫻禪膨明）.證明：證法一：如圖，分別過點(diǎn)A、B作AE_LDC于點(diǎn)E，EFLDC于點(diǎn)F，*1, AE±DC 1 BF1DC jAED=ZSFC = 90°，QE/EF，AB/ DC,，四邊服AEFE是指形，

15、*'« AE=EF.v ZD=ZC »，AADEaABCF.二AD=EC.二梯形必匚D是等目要梯形.詼法二：過點(diǎn)B作BE%D，&E 4 DC，f E 皿J四邊照AEED是平行四邊股.，4口二BE.vBEV AB，-'. ZD=BEC .;/D二人?ZBEC= ZC .-EE=BC.二RC=AD，梯形AES是等腰梯形,中點(diǎn)是AB CD的別所梯形ABCDK如圖示，AD/ BC,點(diǎn)E、F分3、在線位 三角形的中EF線.觀察的位置，聯(lián)想位做 EF連接，EF叫梯形的中猜你的關(guān)量 系并證明置BCEF爾，請猜想：與AD有怎樣的位和數(shù)理定猜想二 EF AD/ EC

16、- EF=! CAD+PC ) .證明二連接AF，并期長交EC延長線于點(diǎn)G，AD Ji 8C-ZADF=CCF在AAFD與AGCF中，；&DF=G匚F/AFD= <GFC DF二匚F二ADFMaGCFA AD=CG AF=GFEF是AABG的中位線,EF#BG又BG 用 AD,.EF# ADA BCEF=(EG=1 (BC+CG) =? (AD+EC).想.222中圖EFNM(形梯ABCDT疊成一個矩形圖4、采用如所示的方法，可以把，請問 分別重合于一點(diǎn).D得FNEF, EM為折痕)，使點(diǎn)A與B、C與公或出能看哪些定 理種置如何確定；通過這圖形變化，你位線段EF的.所有結(jié)論你(式

17、至少三個)？證明的.定理等性質(zhì)理、面積公式、平行線的中位可以解：看出梯形的線定(1)樣形中位封定理的證明：己如；1WADCD - E，F(xiàn)分別.AD、CD的U點(diǎn).求證：EF，UD+BC ? ( £D#EN# 13 c.證明；如圖兀怪矽&RS折血出一個但服EFHN £屆中EF，仙，EN為折痕1，使得點(diǎn)A與H、C與D為別正合于一點(diǎn), AEF=Iit. Rl: FF=NT=日匚-fElf+Id1 =BC- <FF-AB .、EF = L ( A&+BC 1v四他超EFNM是矩形，二 EFEJVADBCi"DFEF#fC ,(2)面租公式；5梯形AC二

18、”矩形EFNM二2EF'EW=,(AD+BC) *2Elb;梯能的高等于ZENm二梯肥的面租為:上底加下底靠以.高再除以2.(3 'J/EBC'/EBM=18Q" + /B=/EBM，工A=2EBC，J, 4一4=18口。i二柄直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，(二)平行四邊形.形邊四行平是形四邊的等相且行平邊組對一：明證理定、證明:連接R。*AE 17 cD,ZAED-ZCDB，在/USD和ACDB中，BD=DS乙i5D=/8E，4B=CD,，ABD ACDB CSA5 ，J, 4DB=£HD 1.'.AD" BC，又AB/ CD,，四邊形

19、AbCD是平行四邊博.形邊四行平形是邊四的分平相互角線對：證求理定、2.已知；如圉四邊形ABCD，對角線RC、肛相交于點(diǎn)且。R=OC* OE=OD求證：四邊形嵋CD是平行四邊形證明：在MD和28E中，OA = OC1 /Laod-cob，OD-OB ACOM 匚05 CSAS，AD=CB - Z 1 = Z2AD 徒 CB四邊形AMD是平行四邊形問之判定定理現(xiàn)發(fā)，很多圖形的性質(zhì)定理與在 3、我們幾何的學(xué)習(xí)中能和”相垂 直理定“菱形的對角線互.例有著一定的聯(lián)系如：菱形的性質(zhì)但樣.形是菱形” 就是這邊互的菱形判定定理“對角線相垂直的平行四沒卻一組對角”平性外一個 質(zhì)”菱形的對角線分另對是課本中菱形的 個問題.一所示圖形研究下這用，判 出有給類似的定定理請你利如圖，沒有.證求并證明如果、出請理定的類果：要 求如有似判定，寫已知請舉出反皆；有判定定理.已知:求證：證明:四邊做ABCD是平行四邊形,在平行四邊形端CD中，對角線AC平分NDAE和2DCE 四邊R"RCD是受根., AD 0Ci ，ZDAC- ZACfi*/ ZAC&= ZACDi，ZDAC= 43,' AD=DC，二四邊形ABCD是菱形,D3（二）圓證明：一條弧所對圓周角等于它所對