武漢工程大學(xué)自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)三

1、自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)三一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、 掌握利用MATLAB精確繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的方法；2、 了解系統(tǒng)參數(shù)或零極點(diǎn)位置變化對(duì)系統(tǒng)根軌跡的影響；二、實(shí)驗(yàn)設(shè)備1、硬件：個(gè)人計(jì)算機(jī)2、軟件：MATLAB仿真軟件（版本6.5或以上）3、 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容和步驟1 根軌跡的繪制利用Matlab繪制跟軌跡的步驟如下：1） 將系統(tǒng)特征方程改成為如下形式：1 + KG( s) = 1 + K=0，其中，K為我們所關(guān)心的參數(shù)。2） 調(diào)用函數(shù) rlocus 生成根軌跡。關(guān)于函數(shù) rlocus 的說(shuō)明見(jiàn)圖 3.1。 不使用左邊的選項(xiàng)也能畫(huà)出根軌跡，使用左邊的選項(xiàng)時(shí)，能 返回分別以矩陣和向量形式表征的特征根的值及與之對(duì)應(yīng)的增益

2、值。圖3.1 函數(shù)rlocus的調(diào)用例如，圖 3.2 所示系統(tǒng)特征根的根軌跡及其繪制程序見(jiàn)圖 3.3。圖3.2 閉環(huán)系統(tǒng)一 圖 3.3 閉環(huán)系統(tǒng)一的根軌跡及其繪制程序圖 3.4 函數(shù) rlocfind 的使用方法注意：在這里，構(gòu)成系統(tǒng) sys 時(shí)，K 不包括在其中，且要使分子和分母中 s 最高次冪項(xiàng)的系數(shù)為1。當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳達(dá)函數(shù)為零、極點(diǎn)形式時(shí)，可調(diào)用函數(shù) zpk 構(gòu)成系統(tǒng) sys:sys = zpk(zero,pole,1);當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳達(dá)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)時(shí)，zero寫(xiě)成空集。對(duì)于圖 3.2 所示系統(tǒng)，G(s)H(s)=*=.可如下式調(diào)用函數(shù) zpk 構(gòu)成系統(tǒng) sys:sys=zpk(-1,0 -

3、2 -3,1)若想得到根軌跡上某個(gè)特征根及其對(duì)應(yīng)的 K 的值，一種方法是在調(diào)用了函數(shù) rlocus 并得到了根 軌跡后調(diào)用函數(shù) rlocfind。然后，將鼠標(biāo)移至根軌跡圖上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)可移動(dòng)的大十字。將該十字的 中心移至根軌跡上某點(diǎn)，再點(diǎn)擊鼠標(biāo)左鍵，就可在命令窗口看到該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的根值和 K 值了。另外一種 較為方便的做法是在調(diào)用了函數(shù) rlocus并得到了根軌跡后直接將鼠標(biāo)移至根軌跡圖中根軌跡上某點(diǎn) 并點(diǎn)擊鼠標(biāo)左鍵，這時(shí)圖上會(huì)出現(xiàn)一個(gè)關(guān)于該點(diǎn)的信息框，其中包括該系統(tǒng)在此點(diǎn)的特征根的值及其 對(duì)應(yīng)的 K 值、超調(diào)量和阻尼比等值。圖 3.4 給出了函數(shù) rlocfind 的用法。2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容圖3.5 閉環(huán)

4、系統(tǒng)二 1）對(duì)于圖 3.5 所示系統(tǒng)，編寫(xiě)程序分別繪制當(dāng)（1） G(s)=,（2） G(s)=,（3） G(s)=,（4） G(s)=,（5） G(s)=,（6） G(s)=,（7） G(s)=時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，并就結(jié)果進(jìn)行分析。解析：Lab3_1_1.m程序：sys=zpk(,0 -2,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：分析: 系統(tǒng)有限開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=2：=(0,0) =(-2,0) ，開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m=0，m<n 故根軌跡分支數(shù)為2；根軌跡的漸近線有n-m=2條, 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：= -1。P(s)= K=-s(s+2) , 求導(dǎo)令 dK/ds=

5、-2s-2=0，則s=-1，會(huì)合點(diǎn)為（-1,0）此時(shí)K=1。當(dāng)0K時(shí)，系統(tǒng)根軌跡從極點(diǎn)=(0,0) =(-2,0)處出發(fā),所有根軌跡都位于實(shí)軸上；當(dāng)K=1時(shí)，根軌跡在(-1,0)處會(huì)合，在(-1,0)處分別以，方向直線延伸，K時(shí) 根軌跡沿漸近線趨近無(wú)窮遠(yuǎn)處， 由分析可知，程序運(yùn)行結(jié)果與分析結(jié)果一致。Lab3_1_2.m程序：sys=zpk(,0 -2 -4,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：分析: 系統(tǒng)有限開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=3：=(0,0) =(-2,0)=(-4，0)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m=0，m<n 故根軌跡分支數(shù)為3；根軌跡的漸近線有n-m=3條, 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱漸近線與實(shí)軸交角漸近

6、線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=-2 。將s=j代入特征方程s(s+2)(s+4)+K=0,令實(shí)部方程為零得K-=0令虛部方程為零得8-=0解得w=2。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為2，0）由于實(shí)軸上的根軌跡總是位于實(shí)軸上奇數(shù)個(gè)零極點(diǎn)的左面,故實(shí)軸上-2,0，（-，-4上必定為根軌跡 ; -2,0之間的根軌跡：當(dāng)0K時(shí)，根軌跡分別從=(0,0) =(-2,0)出發(fā)，在實(shí)軸上會(huì)合，分離后分別沿漸近線趨于無(wú)窮，K時(shí) 根軌跡沿漸近線趨近無(wú)窮遠(yuǎn)處；（-，-4）之間的根軌跡：K=0時(shí)，從-4出發(fā)，沿負(fù)實(shí)軸趨于無(wú)窮，K時(shí) 根軌跡沿漸近線趨近無(wú)窮遠(yuǎn)處由分析可知，程序運(yùn)行結(jié)果與分析結(jié)果一致。Lab3_1_3.m程序：sys=zp

7、k(,0 -2 -4 -6,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：分析: 系統(tǒng)有限開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=4：=(0,0) =(-2,0) =(-4,0) =(-6,0)，開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m=0，m<n 故根軌跡分支數(shù)為4；根軌跡的漸近線有n-m=4條, 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=-2求分離點(diǎn)：K=-s(s+2)(s+4)(s+6)=+12 求導(dǎo)令 dK/ds= =0，解得：=-0.763 =-3 =-5.263由于帶入特征方程時(shí)，k<0,故舍去。根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：將s=jw,代入特征方程+12，令實(shí)部等于零得-令虛部等于零，得-12 解得w=2

8、, k=160。由于實(shí)軸上的根軌跡總是位于實(shí)軸上奇數(shù)個(gè)零極點(diǎn)的左面,故實(shí)軸上-2,0,-6,-4上必定為根軌跡 ;-2,0之間的根軌跡：當(dāng)0K時(shí)時(shí)，分別從=(0,0) =(-2,0)出發(fā)，在實(shí)軸上會(huì)合，再分別沿45 -45漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，K時(shí) 根軌跡沿漸近線趨近無(wú)窮遠(yuǎn)處；-6,-4之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，分別從=(-4,0) =(-6,0)出發(fā)，在實(shí)軸上會(huì)合，再分別沿135 -135漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，K時(shí) 根軌跡沿漸近線趨近無(wú)窮遠(yuǎn)處根據(jù)分析可知，程序運(yùn)行結(jié)果與理分析結(jié)果一致。Lab3_1_4.m程序：sys=zpk(,0 -2 -4-2j -4+2j,1);rlocus(sys)仿真結(jié)

9、果：理論分析: 系統(tǒng)有限開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=5：=(0,0) =(-2,0)=(-4，0)=(-4 -j2,) =(-4 +j2) 開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m=0，m<n 故根軌跡分支數(shù)為5；根軌跡的漸近線有n-m=5條, 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=-2.8根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：將s=jw代入特征方程令實(shí)部等于零得 14-令虛部等于零，得 解得=2.15=2.1573.85將=2.1573.85時(shí)，K。故=2.15由于實(shí)軸上的根軌跡總是位于實(shí)軸上奇數(shù)個(gè)零極點(diǎn)的左面,故實(shí)軸上-2,0,（-，-4上必定為根軌跡 ;-2,0之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，分別從=(0,0) =(-2,0

10、)出發(fā)，在s=-0.64在會(huì)合點(diǎn)處會(huì)合后分離，然后沿36 -36的漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，無(wú)窮遠(yuǎn)處，K；（-，-4之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，從=(-4，0)出發(fā)，沿180 漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，K時(shí) 根軌跡沿漸近線趨近無(wú)窮遠(yuǎn)處，同時(shí)，當(dāng)K=0時(shí)，系統(tǒng)根軌跡分別從=(-4 -j2,) =(-4 +j2)出發(fā)，沿108-108漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，K時(shí) 根軌跡沿漸近線趨近無(wú)窮遠(yuǎn)處根據(jù)分析可知，程序運(yùn)行結(jié)果與分析結(jié)果一致Lab3_1_5.m程序：sys=zpk(-4,0 -2,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：理論分析: 系統(tǒng)有限開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=2：=(0,0)=(-2,0) ，開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m=1，=(

11、-4,0)m<n 故根軌跡分支數(shù)為2；根軌跡的漸近線有n-m=1條, 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸交角求分離點(diǎn)：求分離點(diǎn)：K= 求導(dǎo)令 dK/ds =0，得：s=-42 。根軌跡是一個(gè)以（-4，0）為圓心，2為半徑的圓，根軌跡分別從=(0,0)=(-2,0)出發(fā)，在s=-4+2處會(huì)合，然后分開(kāi)，順著圓的軌跡在s=-4-2處會(huì)合，一條終止于s=-4處，另一條沿180趨近s-處。根據(jù)分析可知，程序運(yùn)行結(jié)果與分析結(jié)果一致。Lab3_1_6.m程序：sys=zpk(-6,0 -2 -4,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：分析: 系統(tǒng)有限開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=3：=(0,0)=(-2

12、,0) =(-4,0)，開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m=1，=(-6,0)m<n 故根軌跡分支數(shù)為3；根軌跡的漸近線有n-m=2條, 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)： =0根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：將s=jw,代入特征方程s(s+2)(s+4)+K(s+6)=0，令實(shí)部等于零得-令虛部等于零，得j 解得w=1，將w=1時(shí)，K。所以根軌跡與虛軸沒(méi)有交點(diǎn)由于實(shí)軸上的根軌跡總是位于實(shí)軸上奇數(shù)個(gè)零極點(diǎn)的左面,故實(shí)軸上-2,0,-6,-4上必定為根軌跡 ; -2,0之間的漸近線：當(dāng)0K時(shí)，根軌跡分別從=(0,0)=(-2,0)出發(fā)，然后在實(shí)軸上會(huì)合，分離后再分別沿著90 -90的

13、漸近線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處，K時(shí) 根軌跡沿漸近線趨近無(wú)窮遠(yuǎn)處。-6,-4之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，從=(-4,0)出發(fā)，當(dāng)K時(shí)，根軌跡終止于零點(diǎn)-6根據(jù)分析可知，程序運(yùn)行結(jié)果與分析結(jié)果一致。Lab3_1_7.m程序：sys=zpk(-4-2j -4+2j,0 -2 -4,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：分析: 系統(tǒng)有限開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)n=3：=(0,0) =(-2,0) =(-4,0)，開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m=2，=(-4-j2)=(-4+j2)m<n 故根軌跡分支數(shù)為3；根軌跡的漸近線有n-m=1條, 根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸交角漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：=2將s=jw,代入特征方程

14、s(s+2)(s+4)+K(s+4+j2)(s+4-j2)=0，令實(shí)部等于零得令虛部等于零，得- 解得w=-10j2將w=-10j2時(shí)，K。所以根軌跡與虛軸沒(méi)有交點(diǎn)由于實(shí)軸上的根軌跡總是位于實(shí)軸上奇數(shù)個(gè)零極點(diǎn)的左面,故實(shí)軸上-2,0,(- -4上必定為根軌跡 ; -2,0之間的根軌跡：當(dāng)0K時(shí)，根軌跡分別從=(0,0) =(-2,0)出發(fā)；在實(shí)軸上會(huì)合點(diǎn)處會(huì)合；在K時(shí)，終止于零點(diǎn)=(-4-j2)=(-4+j2) 。(- -4之間的根軌跡：當(dāng)K=0時(shí)，根軌跡從=(-4,0)出發(fā)，在K時(shí)，終止于負(fù)實(shí)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處根據(jù)分析可知，程序運(yùn)行結(jié)果與分析結(jié)果一致。2）對(duì)于圖3.5 所示系統(tǒng)，編寫(xiě)程序分別繪制當(dāng)

15、G(s)=，a = 10，9，8，3 和1 時(shí)根軌跡，并就結(jié)果進(jìn)行分析。Lab3_2_1.ma=10時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -10,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：圖1Lab3_2_2.ma=9時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -9,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果： 圖2Lab3_2_3.ma=8時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -8,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果： 圖3Lab3_2_4.ma=3時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -3,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：圖4Lab3_2_5.ma=1時(shí)程序：sys=zpk(-1,0 0 -1,1

16、);rlocus(sys)仿真結(jié)果：圖5理論分析:系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)數(shù)n=3=(0,0)=(0,-a)，開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)數(shù)m=1，=(0,-1) ,當(dāng)a的值從 10，9，8，3 變到1 時(shí) ，極點(diǎn)=(0,-a)越來(lái)越接近零點(diǎn)=(0,-1)，從根軌跡的變化可以看出，當(dāng)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)與極點(diǎn)靠的很近時(shí),他們之間的作用會(huì)相互抵消，對(duì)系統(tǒng)影響也越來(lái)越大。 3）對(duì)于圖3.5 所示系統(tǒng)，編寫(xiě)程序分別繪制當(dāng)G(s)=，a = 1，1.12，1.185 和3時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，并就結(jié)果進(jìn)行分析。 四個(gè)框圖如下:Lab3_3_1.ma=1時(shí)程序：sys=zpk(-2,0 -1 -1,1);rlocus(sys)仿真結(jié)果：Lab3

17、_3_2.ma=1.12時(shí)程序：p=1 2;q=1 2 1.12 0;sys=tf(p,q);rlocus(sys)仿真結(jié)果：Lab3_3_3.ma=1.185時(shí)程序：p=1 2;q=1 2 1.185 0;sys=tf(p,q);rlocus(sys)仿真結(jié)果：Lab3_3_4.ma=3時(shí)程序：p=1 2;q=1 2 3 0;sys=tf(p,q);rlocus(sys)仿真結(jié)果：分析: G(s)= 故系統(tǒng)特征方程為： s( +a)+k(s+2)=0,化簡(jiǎn)得K= - ，令 =0，得+a=0 當(dāng)a=1 ，1.12，1.185 和3 時(shí)可見(jiàn)隨著共軛極點(diǎn)的虛部絕對(duì)值的增加，根軌跡在實(shí)軸上的兩個(gè)分離點(diǎn)從兩邊向中間靠攏，后變?yōu)橐粋€(gè)分離點(diǎn)最后變?yōu)闆](méi)有。但系統(tǒng)根軌跡一直在虛軸左側(cè)，并沒(méi)有影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定。四、實(shí)驗(yàn)預(yù)習(xí)根據(jù)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，結(jié)合講義和教材，作出理論分析和計(jì)算。五、（1）將實(shí)驗(yàn)曲線和結(jié)果按實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行歸納、整理，分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)的影響，并與理論結(jié)果進(jìn)行比較，如有矛盾處請(qǐng)分析原因。（2）可自行增加或設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)情形，借以充分說(shuō)明你的結(jié)論。（3）附上所有程序段。六、思考題（1）實(shí)驗(yàn)內(nèi)容3)中共軛復(fù)極點(diǎn)虛部絕對(duì)值由小變大時(shí)根軌跡發(fā)生了怎樣的變化？為什么？ 解： 共軛復(fù)極點(diǎn)虛部絕對(duì)值由小變大時(shí)，從圖像中可以看出:有兩條根軌跡在實(shí)軸上無(wú)分離點(diǎn)，因?yàn)楣曹棌?fù)極點(diǎn)