衛(wèi)星軌道和位置

1、水星的軌道和位置摘要本文主要在已知水星的遠(yuǎn)日點(diǎn)和繞日運(yùn)行的線速度的條件下，通過建立微分方程模型，使用解析法和數(shù)值方法求解水星的軌道方程與位置。解析法的求解的過程中，結(jié)合了開普勒三大定律，準(zhǔn)確的給出了微分方程的精確解，求得水星到太陽的最近距離，水星繞太陽運(yùn)行的周期約為88天。數(shù)值計(jì)算求解水星自遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)行50天后的位置時(shí)，本文分別采用了Simpson求積法，基于壓縮映射的求根方法以及經(jīng)典的四階龍格庫塔法，使用matlab數(shù)學(xué)軟件編程，得到了較為合理的行星運(yùn)行模型的近似解，三種方法所得結(jié)果對應(yīng)分，及，。關(guān)鍵詞 行星軌道 微分方程 Simpson法 四階龍格庫塔法 matlab一 問題重述水星到太陽的

2、最遠(yuǎn)距離為m，此時(shí)水星繞太陽運(yùn)行的線速度為ms。試求問題一 水星到太陽的最近距離問題二 水星繞太陽運(yùn)行的周期問題三 從遠(yuǎn)日點(diǎn)開始的第50天（地球天）結(jié)束時(shí)水星的位置并畫出軌道曲線二 問題分析求水星到太陽的最近距離以及水星繞太陽運(yùn)行的周期等，需要先將水星軌道方程求出，因此可以根據(jù)Newton第二定律及萬有引力定律，建立微分方程模型，將原問題轉(zhuǎn)化為求解帶有初值條件的微分方程問題，進(jìn)而采用解析法或數(shù)值方法求解遠(yuǎn)日點(diǎn)和周期。三 模型假設(shè)1水星運(yùn)行的軌道是以太陽為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓2從太陽指向水星的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等3水星運(yùn)行周期的平方與其運(yùn)行軌道橢圓長軸的立方之比為常量四 符號系統(tǒng)1 水星在遠(yuǎn)

3、日點(diǎn)的線速度2. 太陽的質(zhì)量3. 水星的質(zhì)量4. 水星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離5. 周期五 建立模型與求解模型一 水星的軌跡方程設(shè)太陽中心所在的位置為復(fù)平面的原點(diǎn)O，在時(shí)刻t，水星位于 所表示的點(diǎn)P。這里均為t的函數(shù)，分別表示的模和輻角。于是水星的速度為，加速度為（1.1），而太陽對行星的引力依萬有引力定律，大小為，方向由行星位置P指向太陽的中心O,故為，其中為太陽的質(zhì)量，m為水星的質(zhì)量，為萬有引力常數(shù)。依Newton定律，我們得到 (1.2)，將（1.1）代入(1.2)，然后比較實(shí)部與虛部，就有這是兩個(gè)未知函數(shù)的二階微分方程組。在確定某一行星軌道時(shí)，需要加上定解條件。假設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，行星正處于遠(yuǎn)日點(diǎn)，

4、而遠(yuǎn)日點(diǎn)位于正實(shí)軸上，距原點(diǎn)O為，行星的速度為。那么就有初值條件：因此問題轉(zhuǎn)化為求解帶初值問題的微分方程組又將兩邊同乘以r ，即得，從而（1.3）,其中，這樣有向線段在時(shí)間內(nèi)掃過的面積等于，這個(gè)正是Kepler的第二定律，從太陽指向水星的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。將（1.3）代入得，于是我們可以得到水星運(yùn)行的較為簡單形式的數(shù)學(xué)模型：為了求得行星的軌跡方程，要消去變量t，令，那么可以改寫為從而將上式代入，化簡后為 (1.4)，其中，引進(jìn)，立即可以求出，這里A和是待定的常數(shù)。記，上式可以寫為這個(gè)就是水星的軌道方程，是一條平面二次曲線。由于水星繞太陽運(yùn)行，故必有。由于r在t=0時(shí)取道最大值（遠(yuǎn)

5、日點(diǎn)），這個(gè)就意味著此時(shí)函數(shù)取道最大值1.于是就有 ，從而軌跡方程為 。對于水星而言，又水星的近日點(diǎn)到太陽的距離。依據(jù)已知數(shù)據(jù)，可知，從而計(jì)算水星到太陽的最近距離為模型二 水星的運(yùn)行周期設(shè)水星的周期為T，那么利用Kepler第二定律，我們有 （1.4）上式左端為水星軌跡橢圓所圍的面積，記為S，由于橢圓的半長軸，半短軸，從而有將上式代入式（1.4）,解得 （1.5）將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，易得 模型三 水星的位置由于水星的運(yùn)行滿足Kepler第二定律，則該式可改寫為，從而可得如果我們要求時(shí)相應(yīng)的和，則意味著首先要解方程 ， ，其中在求出了時(shí)的后，立即可以由得到相應(yīng)的r。下面用數(shù)值方法求解水星的位置1.

6、Simpson法由被積函數(shù)的恒正性可知單調(diào)，從而方程的根必存在且唯一。取，記。若，那么位于與之間，在h適當(dāng)小時(shí)，可取。計(jì)算可采用不同的數(shù)值積分法，本文采用Simpson法，取步長h=0.001，具體求解過程見附錄一，最后結(jié)果為，2. 基于壓縮映像的求根方法我們引入水星軌道橢圓的參數(shù)方程，由于橢圓的半長軸，半短軸，從而中心到焦點(diǎn)的距離為。因左焦點(diǎn)為原點(diǎn)，故橢圓中心位于（ae，0），于是得到參數(shù)方程它們與的關(guān)系為此式可改寫成 當(dāng)時(shí)解方程記，那么上式即，就是說要去求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，求解方程不動(dòng)點(diǎn)可以采用簡單迭代法，對于水星，我們已計(jì)算出，由于e很小，因此迭代收斂理論上可以很快，當(dāng)時(shí)間從遠(yuǎn)日點(diǎn)開始的第5

7、0天結(jié)束時(shí)，意味著,從而不妨取，于是故由式，可以計(jì)算出相應(yīng)的，即由得 0.64891，而 此時(shí)的距離為 （m）3. 經(jīng)典四階Runge-Kutte法由我們將由最初的微分方程組求解水星的位置，方程組見下令，那么我們可以得到一階微分方程組： 若記這個(gè)微分方程組中方程的右端依次為，則相應(yīng)的四階Runge-Kutte迭代格式法為這里對于，有初值為，則對于給定的步長值h，類似可以逐步計(jì)算一系列的，由于行星繞著太陽運(yùn)行，只需取，而取得行星軌道上一系列點(diǎn)的近似坐標(biāo)（），再通過極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，繼而可以繪出軌道曲線。通過matlab編程求解得，軌道曲線如下 程序見附錄二。六 模型推廣本文建立的微分方程模

8、型對于求解行星繞日運(yùn)行軌道具有廣泛的應(yīng)用空間，只需給出行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)和在遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)行線速度即可計(jì)算出軌道方程，用數(shù)學(xué)軟件繪出近似的軌道曲線，對于研究天體運(yùn)行有所幫助。此外，本文采用的求解微分方程的數(shù)值方法，具有較為快速且準(zhǔn)確的收斂效果，可以用來求解其他類似的微分方程模型。 七 參考文獻(xiàn)【1】 樂經(jīng)良，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，北京，高等教育出版社，1999年10月【2】 周品 ，matlab數(shù)值分析，北京，機(jī)械工業(yè)出版社，2009年1月八 附錄附錄一 function q1=y2(x)q1=(1-0.2055*cos(x).-2;h=0.001;k=1;x=h*k;f=quad('y2',0,x

9、)while f(k)<3.8091 k=k+1; x=k*h; f(k)=quad('y2',0,x);endx 附錄二format longc1=2.7132e15;M=1.989e30;G=6.672e-11;R=inline('q');S=inline('2.7132e15/(r2)');q=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;while theta<=2*pi K1=Q(r);L1=R(q);N1=S(r); K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r

10、+h/2*L1); K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2); K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3); t=t+h; q=q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); r=r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4); theta=theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4); rr(k)=r; ee(k)=theta; xx(k)=rr(k)*cos(ee(k);%水星任意位置的橫坐標(biāo) yy(k)=rr(k)*sin(ee(k);%水星任意位置的縱坐標(biāo) k=k+1;end;plot(xx,

11、yy)%畫出水星的軌道曲線text(0,0,'太陽')text(0.6982e11,0,'遠(yuǎn)日點(diǎn)')text(-4.6078e+010,0,'近日點(diǎn)')hold on;plot(0,0,'r.','MarkerSize',20);hold offhold on;plot(0.6982e11,0,'r.','MarkerSize',20);hold offhold on;plot(-4.6078e+010,0,'r.','MarkerSize',20);

12、hold offtitle('水星繞太陽運(yùn)行的軌道曲線')clcq=0;r=0.6982e11;theta=0;t=0;k=1;h=0.001e7;while t<=50*24*3600%求水星自遠(yuǎn)日點(diǎn)開始第50天的位置 K1=Q(r);L1=R(q);N1=S(r); K2=Q(r+h/2*L1);L2=R(q+h/2*K1);N2=S(r+h/2*L1); K3=Q(r+h/2*L2);L3=R(q+h/2*K2);N3=S(r+h/2*L2); K4=Q(r+h*L3);L4=R(q+h*K3);N4=S(r+h*L3); t=t+h; q=q+h/6*(K1+2*K2+2*K3+K4); r=r+h/6*(L1+2*L2+2*L3+L4); theta=theta+h/6*(N1+2*N2+2*N3+N4); rr(k)=r; ee(k)=theta; xx(k)=rr(k)*