《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)》ch6 樣本及抽樣分布

1、StopStop 數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)際上是概率論的具體應(yīng)用。它數(shù)理統(tǒng)計(jì)實(shí)際上是概率論的具體應(yīng)用。它的研究范圍分成兩個(gè)方面，一個(gè)是的研究范圍分成兩個(gè)方面，一個(gè)是統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷，另一個(gè)是另一個(gè)是抽樣理論抽樣理論與與試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)。本課程僅研究。本課程僅研究第一個(gè)方面的內(nèi)容。統(tǒng)計(jì)推斷主要研究第一個(gè)方面的內(nèi)容。統(tǒng)計(jì)推斷主要研究抽樣分抽樣分布布、參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)等。等。Stop 基本概念基本概念研究對象的全體。研究對象的全體。通常指研究對象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)，通常指研究對象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)，組成總體的單元。組成總體的單元。通常也指與通常也指與總體總體對應(yīng)的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)對應(yīng)的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)來自總體的

2、部分個(gè)體。來自總體的部分個(gè)體。n稱為樣本容量稱為樣本容量StopX f (x)X1， ，Xnn稱為樣本容量稱為樣本容量又稱其是又稱其是“簡單隨機(jī)樣本簡單隨機(jī)樣本”或簡稱為或簡稱為“隨隨機(jī)樣本機(jī)樣本”或或“樣本樣本”。滿足以下兩個(gè)條件：滿足以下兩個(gè)條件：（1）獨(dú)立性獨(dú)立性： X1， ，Xn 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立；（2）同分布性同分布性：X1， ，Xn與總體與總體 X 同分布。同分布。來自總體來自總體 X 的隨機(jī)樣本的隨機(jī)樣本 X1， ，Xn可記為可記為)(,11xfXXXXXiidniidn或或其中其中 f (x)是是 X 的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。Stop 對樣本對樣本 X1， ，Xn進(jìn)行觀測，進(jìn)

3、行觀測，即可得一組觀測值即可得一組觀測值 x1， ，xn 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 樣本樣本 X1， ，Xn的函數(shù)的函數(shù) g(X1， ，Xn )稱稱為是總體為是總體 X 的一個(gè)的一個(gè)，若，若g(X1， ，Xn )與任何未知參數(shù)無關(guān)。與任何未知參數(shù)無關(guān)。統(tǒng)計(jì)量的觀測值統(tǒng)計(jì)量的觀測值 若樣本若樣本 X1， ，Xn的觀測值為的觀測值為x1， ，xn，則則g(x1， ，xn)稱為統(tǒng)計(jì)量稱為統(tǒng)計(jì)量g(X1， ，Xn )的觀測的觀測值。值。Stop 常用常用統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 niiXnX111. 樣本均值（樣本平均數(shù)）樣本均值（樣本平均數(shù)）其觀測值為其觀測值為 niixnx112. 樣本方差樣本方差 niiXXnS122

4、)(11其觀測值為其觀測值為 niixxns122)(11樣本均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）樣本均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）其觀測值為其觀測值為2SS 2ss Stop nikikXnA113. k 階樣本矩階樣本矩k 階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩觀測值為觀測值為 nikikxna11 nikikXXnB1)(1k 階中心矩階中心矩觀測值為觀測值為 niikxxnb12)(1Stop4. 極大、極小統(tǒng)計(jì)量極大、極小統(tǒng)計(jì)量極大統(tǒng)計(jì)量極大統(tǒng)計(jì)量 X(n)=maxX1， ，Xn，其觀測值其觀測值x(n)=maxx1, ，xn極小統(tǒng)計(jì)量極小統(tǒng)計(jì)量 X(1)=minX1， ，Xn，其觀測值其觀測值x(1)=minx1， ，xnStop 抽樣

5、分布抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中主要研究如下四個(gè)分布：數(shù)理統(tǒng)計(jì)中主要研究如下四個(gè)分布：U分布、分布、 2分布、分布、 t 分布和分布和F分布。分布。 2分布分布.)().(),1 , 0(,222121分布分布的的稱為自由度為稱為自由度為則則設(shè)設(shè) nnnXNXXniiiidn構(gòu)造構(gòu)造Stop其密度為其密度為 0, 00,)(212)2/(212/yyeyyfynnn f ( y) 2(n)0,)(01 tdxextxt!)(nn Stop則則 1 + 2 2(n1+n2 )。再生性再生性若若 1 2(n1)， 2 2(n2 )， 1， 2獨(dú)立，獨(dú)立，期望

6、與方差期望與方差若若 2(n)，則，則E( )= n，D( )=2n。;)()(,)(, 0)(2222分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的上上側(cè)側(cè)為為則則稱稱滿滿足足 nnnPn分位點(diǎn)分位點(diǎn)設(shè)設(shè) 2(n)，若對于，若對于 ：0 45)，近似地有，近似地有其中其中z 為為N(0，1)的上側(cè)的上側(cè) 分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。.)12(21)(22 nznStop t分布分布若若 N(0, 1), 2(n), 與與 獨(dú)立，則獨(dú)立，則).(/ntnT tntnnntfn,)1()2()21()(212構(gòu)造構(gòu)造其密度為其密度為t (n)稱為自由度為稱為自由度為n的的t分布分布Stop密度函數(shù)密度函數(shù) f (t )的圖形與的圖形與N

7、(0, 1)的密度函數(shù)的圖的密度函數(shù)的圖形很象形很象，只是，只是 t (n)的圖的圖形兩端尾巴厚一些。形兩端尾巴厚一些?；拘再|(zhì)基本性質(zhì)(1) f (t )關(guān)于關(guān)于t =0(縱軸縱軸)對稱。對稱。 事實(shí)上，事實(shí)上，f ( t )= f (t )。(2) f (t )的極限為的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即的密度函數(shù)，即 xettftn,21)()(lim22Stop分位點(diǎn)分位點(diǎn) 設(shè)設(shè)T t(n)，若對，若對 ：0 0， 滿足滿足PT t (n)= ，則稱，則稱t (n)為為t(n)的的上側(cè)分位點(diǎn)上側(cè)分位點(diǎn)t (n)()(1ntnt Stopt /2(n) t /2(n)存在存在t /2(n)

8、0， 滿足滿足 P|T| t /2(n)= ，則稱，則稱t /2(n)為為t(n)的的雙側(cè)雙側(cè) 分位點(diǎn)分位點(diǎn).Stop F分布分布若若 1 2(n1)， 2 2(n2)， 1， 2獨(dú)立，則獨(dú)立，則構(gòu)造構(gòu)造).,(/212211nnFnnF F(n1, n2)稱為第一自由度為稱為第一自由度為n1 ，第二自由，第二自由度為度為n2的的F分布分布。).,(1),(1221nnFFnnFF則則若若定理定理StopF分布的分位點(diǎn)分布的分位點(diǎn) 對于對于 ：0 0，滿，滿足足PF F (n1, n2)= ， 則稱則稱 F (n1, n2)為為F(n1, n2)的上側(cè)的上側(cè) 分位點(diǎn)；分位點(diǎn)； 類似地，類似地，

9、稱稱 F1 (n1,n2)為為F(n1, n2)的下側(cè)的下側(cè) 分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。可以證明：可以證明：),(1),(12211nnFnnF Stop 正態(tài)總體的抽樣分布正態(tài)總體的抽樣分布,),(,221的樣本的樣本的容量為的容量為為取自為取自若若nNXXXn 則有則有.)(11,11221 niiniiXXnSXnX),()1(2nNX );1 , 0( NnX 即即);1()1()2(222 nSn;)3(2相互獨(dú)立相互獨(dú)立與與SX).1()4( ntnSXStop,),(,211211 NXXXiidn若若;)(11,1111212111 niiniiXXnSXnX,),(,222212 NY

10、YYiidn且兩樣本獨(dú)立且兩樣本獨(dú)立則則有有;)(11,1221222212 niiniiYYnSYnY22212121)()()1(nnYX )1 , 0( NStop);1, 1(/)2(2122222121 nnFSSF.2)1()1().2(11)()(,)3(2122221122121212221稱為混合樣本方差稱為混合樣本方差其中其中就有就有假定假定進(jìn)一步地進(jìn)一步地 nnSnSnSnntnnSYXTwwStop?,5 . 0,1 . 0%7 .99),(22應(yīng)應(yīng)取取多多大大樣樣本本容容量量時(shí)時(shí)試試問問在在概概率率保保證證偏偏差差的的如如果果要要以以設(shè)設(shè)總總體體nXNX .,)()(;)1, 0(),(226542321621并并指指出出其