第2講：填空題解法探討

1、 戴氏教育集團(tuán)蜀西路總校http:/www.daishi-【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第2講：填空題解法探討填空題與選擇題一樣，也是一種客觀性試題，它們有許多共同特點(diǎn)：其形態(tài)短小精悍、跨度大、知識覆蓋面廣、考查目標(biāo)集中，形式靈活，答案簡短、明確、具體，評分客觀、公正、準(zhǔn)確等。是高考數(shù)學(xué)中的一種重要題型。與選擇題比較，它沒有選項(xiàng)作為參考；與解答題比較，它不要求寫出推理及運(yùn)算過程，只要求給出準(zhǔn)確結(jié)果即可。在全國各地高考數(shù)學(xué)試卷中，填空題約占總分的1015，因此掌握填空題的解法，快速、準(zhǔn)確地解答好填空題是奪取高分的關(guān)鍵之一。筆者將填空題的解法歸納為直接推演法、特殊元素法、圖象解析法、待定系數(shù)法、

2、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、分類討論法、探索規(guī)律法七種，下面通過2012年全國各地高考的實(shí)例探討這七種方法。一、直接推演法：直接推演法，又稱綜合法，由因?qū)Ч?，是解填空題的一種常用方法，也是一種基本方法。它的解題方法是根據(jù)填空題的題設(shè)條件，通過應(yīng)用定義、公理、定理、公式等經(jīng)過計(jì)算、變形、推理或判斷，得出正確的結(jié)論。直接推演法解題自然，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，通過綜合法，直接得出正確答案。使用直接法解填空題，要善于通過現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地、有意識地采取靈活、簡捷的解法。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1：（2012年上海市理4分）若是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】。

3、【考點(diǎn)】直線的方向向量，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，反三角函數(shù)的表示角?！窘馕觥吭O(shè)直線的傾斜角為，則。例2：（2012年上海市理4分）計(jì)算： （為虛數(shù)單位）.【答案】?！究键c(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算。【解析】將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母實(shí)數(shù)化即可：。例3：（2012年四川省理4分）設(shè)全集，集合，則 ?！敬鸢浮俊究键c(diǎn)】集合的運(yùn)算?！窘馕觥?，集合，。例4：（2012年北京市理5分）已知，若同時滿足條件：，則m的取值范圍是 【答案】?！景鏅?quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】【考點(diǎn)】簡易邏輯，函數(shù)的性質(zhì)。【解析】由得。 條件，當(dāng)時，。 當(dāng)時，不能做到在時，所以舍去。 作為二次函數(shù)開口只能向下，且此時兩個根為。

4、 為保證條件成立，必須。 又由條件的限制，可分析得出時，恒負(fù)。 就需要在這個范圍內(nèi)有得正數(shù)的可能，即4應(yīng)該比兩根中小的那個大。 由得， 當(dāng)時，解得交集為空集，舍去。 當(dāng)時，兩根同為24，舍去。當(dāng)時，。綜上所述，。例5：（2012年上海市理4分）已知是奇函數(shù)，且，若，則 .【答案】【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性?！窘馕觥亢瘮?shù)為奇函數(shù)，即又，。例6：（2012年遼寧省理5分）已知P，Q為拋物線上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為 ?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，直線的方程、兩條直線的交點(diǎn)的求法。【解析】點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，2，

5、代人拋物線方程得P，Q的縱坐標(biāo)分別為8，2。由得，。過點(diǎn)P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，2。過點(diǎn)P，Q的拋物線的切線方程分別為。聯(lián)立方程組解得。點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4。例7：（2012年江蘇省5分）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】。【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域，二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，解對數(shù)不等式?！窘馕觥扛鶕?jù)二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，得。例8：（2012年江蘇省5分）已知函數(shù)的值域?yàn)椋絷P(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為 【答案】9?！究键c(diǎn)】函數(shù)的值域，不等式的解集。【解析】由值域?yàn)?，?dāng)時有，即， 。 解得，。不等式的解集為，解得。例9：（2012年遼寧省理5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，

6、則該幾何體的表面積為 ?！敬鸢浮?8?！究键c(diǎn)】由幾何體的三視圖求面積?！窘馕觥坑扇晥D可知該幾何體為一個長方體在中間挖去了一個等高的圓柱，其中長方體的長、寬、高分別為4、3、1，圓柱的底面直徑為2，所以該幾何體的表面積為長方體的表面積加圓柱的側(cè)面積再減去圓柱的底面積，即為。例10：（2012年全國大綱卷理5分）若的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為 ?！敬鸢浮?6?！究键c(diǎn)】二項(xiàng)式定理中通項(xiàng)公式的運(yùn)用?！窘馕觥坷枚?xiàng)式系數(shù)相等，確定的值，然后進(jìn)一步借助于通項(xiàng)公式，分析項(xiàng)的系數(shù)。根據(jù)已知條件可知。的展開式的通項(xiàng)為，令，。系數(shù)為。例11：（2012年全國課標(biāo)卷理5分）某個

7、部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從正態(tài)分布，且各個元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為 【答案】?！究键c(diǎn)】正態(tài)分布，概率?！窘馕觥咳齻€電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布，三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為。超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率。 該部件的使用壽命超過1000小時的概率為。例12：（2012年天津市理5分）某地區(qū)有小學(xué)150所，中學(xué)75所，大學(xué)25所. 現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取30所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)査，應(yīng)從小學(xué)中抽

8、取 所學(xué)校，中學(xué)中抽取 所學(xué)校.【答案】18，9?！究键c(diǎn)】分層抽樣的概念以及樣本獲取的方法與計(jì)算?！痉治觥糠謱映闃右步邪幢壤闃?，由題知學(xué)?？倲?shù)為250所，應(yīng)從小學(xué)中抽取，中學(xué)中抽取。例13：（2012年江蘇省5分）現(xiàn)有10個數(shù)，它們能構(gòu)成一個以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，則它小于8的概率是 【答案】?！究键c(diǎn)】等比數(shù)列，概率?！窘馕觥恳?為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列的10個數(shù)為1，3，9，-27，···其中有5個負(fù)數(shù)，1個正數(shù)1計(jì)6個數(shù)小于8， 從這10個數(shù)中隨機(jī)抽取一個數(shù)，它小于8的概率是。二、特殊元素法：特殊元素法的解題方法是在有些

9、填空題所涉及的數(shù)學(xué)命題與字母的取值范圍有關(guān)，在解決這類解答題，可以考慮從取值范圍內(nèi)選取某一個特殊的值，代入原命題進(jìn)行驗(yàn)證，從而確定答案。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1：（2012年四川省理4分）記為不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當(dāng)時，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；對數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時總有；當(dāng)時，；對某個正整數(shù)，若，則。其中的真命題有 _。（寫出所有真命題的編號）【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】【答案】?！究键c(diǎn)】真命題的判定，對高斯函數(shù)的理解，數(shù)列的性質(zhì)，特殊值法的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥繉τ冢?，根據(jù) 當(dāng)n=1時，x2=3,

10、同理x3=。 故正確。對于，可以采用特殊值列舉法：當(dāng)a=3時，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1,此時數(shù)列從第二項(xiàng)開始為2，1，2，1，不成立。故錯誤。對于，由的定義知，而為正整數(shù)，故，且是整數(shù)。對于兩個正整數(shù)、，當(dāng)為偶數(shù)時；當(dāng)為奇數(shù)時，不論是偶數(shù)還是奇數(shù)，有。和都是整數(shù)，。又當(dāng)時，成立。當(dāng)時，。故正確。對于，當(dāng)時， ，即。，即，解得。由，。故正確。綜上所述，真命題有 。例2：（2012年浙江省理4分）設(shè)，若時均有，則 【答案】?！究键c(diǎn)】特殊元素法，偶次冪的非負(fù)數(shù)性質(zhì)。【解析】時均有，應(yīng)用特殊元素法，取，得。例3：（2012年浙江省理4分）若將函數(shù)表示為，

11、其中，為實(shí)數(shù)，則 【答案】10?！究键c(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，二項(xiàng)式定理?！窘馕觥繉Φ仁剑簝蛇呥B續(xù)對x求導(dǎo)三次得：，再運(yùn)用特殊元素法，令得：，即。或用二項(xiàng)式定理，由等式兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得。例4：（2012年全國大綱卷理5分）三棱柱中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，則異面直線與所成角的余弦值為 。【答案】?！究键c(diǎn)】斜棱柱中異面直線的角的求解?！窘馕觥坑每臻g向量進(jìn)行求解即可：設(shè)該三棱柱的邊長為1，依題意有， 則， ，而。 。例5：（2012年浙江省理4分）在中，是的中點(diǎn)，則 【答案】。【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算。【解析】此題最適合的方法是特殊元素法：如圖，假設(shè)ABC是以ABAC的等腰三角形，AM3，BC10，

12、由勾股定理得ABAC。則cosBAC，。例6：（2012年湖南省文5分）如圖，在平行四邊形ABCD中 ，APBD，垂足為P，且 ，則= .【答案】18【考點(diǎn)】平面向量加法的幾何運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算?！窘馕觥看祟}最適合的方法是特殊元素法：假設(shè)平行四邊形ABCD是特殊的平行四邊形菱形，則與共線，。=3×6=18。三、圖象解析法：圖象解析法的解題方法是解填空題的一種常用方法，它是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的原理，先畫出示意圖，再觀察圖象的特征作出選擇的方法。對于一些具有幾何背景的數(shù)學(xué)題，如能構(gòu)造出與之相應(yīng)的圖形進(jìn)行分析，則能在數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)中獲得形象直觀的解法。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室

13、，不得轉(zhuǎn)載】例1：（2012年全國大綱卷理5分）若滿足約束條件，則的最小值為 ?！敬鸢浮俊！究键c(diǎn)】線性規(guī)劃?！窘馕觥坷貌坏仁浇M，作出可行域，可知區(qū)域表示的為三角形，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)（3，0）時，目標(biāo)函數(shù)最大，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)（0，1）時最小。例2：（2012年上海市理4分）已知函數(shù)的圖象是折線段，其中、，函數(shù)（）的圖象與軸圍成的圖形的面積為 .【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的解析式的求解方法?！窘馕觥扛鶕?jù)題意得到，得到。的圖象如圖1，（）的圖象如圖2。易知，（）的分段解析式中的兩部分拋物線形狀完全相同，只是開口方向及頂點(diǎn)位置不同，封閉圖形與全等，面積相等，故所求面積即為矩形的面積。若用

14、定積分求解，則。例3：（2012年天津市理5分）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，利用函數(shù)圖像確定兩函數(shù)的交點(diǎn)。【分析】函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上函數(shù)。作出函數(shù)的圖象，要使函數(shù)與有兩個不同的交點(diǎn)，則直線必須在藍(lán)色或黃色區(qū)域內(nèi)，如圖，此時當(dāng)直線經(jīng)過黃色區(qū)域時，滿足，當(dāng)經(jīng)過藍(lán)色區(qū)域時，滿足，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是。例4：（2012年福建省理4分）對于實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“*”：a*b設(shè)，且關(guān)于x的方程恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是 【答案】?！究键c(diǎn)】新定義，分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論和數(shù)形結(jié)合思想

15、的應(yīng)用。【解析】根據(jù)新運(yùn)算符號得到函數(shù)為， 化簡得：。如圖，作出函數(shù)和的圖象，如果有三個不同的實(shí)數(shù)解，即直線與函數(shù)f(x)的圖象有三個交點(diǎn)，如圖，（1）當(dāng)直線過拋物線的頂點(diǎn)或時，有兩個交點(diǎn)；（2）當(dāng)直線中時，有一個交點(diǎn)；（3）當(dāng)直線中時，有三個交點(diǎn)?！景鏅?quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】設(shè)三個交點(diǎn)分別為：x1，x2，x3，且依次是從小到大的順序排列，所以x1即為方程2x2x小于0的解，解得x1，此時x2x3，所以x1·x2·x3××。與函數(shù)f(x)有2個交點(diǎn)的最低位置是當(dāng)ym與x軸重合時，此時x1·x2·x30。所以當(dāng)方程有三個不等實(shí)根時

16、，x1·x2·x3。例5：（2012年江蘇省5分）已知正數(shù)滿足：則的取值范圍是 【答案】。【考點(diǎn)】可行域?！窘馕觥織l件可化為：。 設(shè)，則題目轉(zhuǎn)化為：已知滿足，求的取值范圍。 作出（）所在平面區(qū)域（如圖）。求出的切線的斜率，設(shè)過切點(diǎn)的切線為， 則，要使它最小，須。 的最小值在處，為。此時，點(diǎn)在上之間。 當(dāng)（）對應(yīng)點(diǎn)時， ， 的最大值在處，為7。 的取值范圍為，即的取值范圍是。四、待定系數(shù)法：待定系數(shù)法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，對于某些數(shù)學(xué)問題，如果已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則可引進(jìn)一些尚待確定的系數(shù)來表示這種結(jié)果，通過已知條件建立起給定的算式和結(jié)果之間的恒等式，得到以待定系

17、數(shù)為元的方程（組）或不等式（組），解之即得待定的系數(shù)。對于待定系數(shù)法方法的使用，筆者將另文詳細(xì)解析。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1：（2012年北京市理5分）已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和。若，則= ； 【答案】1；?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和已知，得 。 。例2：（2012年廣東省理5分）.已知遞增的等差數(shù)列滿足，則?！敬鸢浮俊！究键c(diǎn)】等差數(shù)列。【解析】設(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為（），由得， 解得，舍去負(fù)值，。例3：（2012年浙江省理4分）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為若，則 【答案】?！究键c(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)，待定系數(shù)法?！窘馕觥坑么ㄏ?/p>

18、數(shù)法將，兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子：，兩式作差得：，即：，解之得：或 (舍去)。例4：（2012年遼寧省理5分）已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an = ?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式?！窘馕觥吭O(shè)等比數(shù)列an的公比為。，。，。又，。解得或。又等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，舍去。例5：（2012年福建省理4分）已知ABC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為 【答案】。【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用?！窘馕觥緼BC的三邊長成公比為的等比數(shù)列，設(shè)三角形的三邊分別是：a、a、a。 最大角所對的邊是a， 根據(jù)三角形中大邊對大角的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理得：。

19、最大角的余弦值為。例6：（2012年天津市理5分）如圖，已知和是圓的兩條弦。過點(diǎn)作圓的切線與的延長線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線與圓相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，則線段的長為 .【答案】?！究键c(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系，相交弦定理，切割線定理，相似三角形的概念、判定與性質(zhì)。【分析】，由相交弦定理得，。又，=。設(shè)，則，再由切割線定理得，即，解得，故。例7：（2012年重慶市理5分）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則= .【答案】?！究键c(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用?！痉治觥吭O(shè)直線的方程為（由題意知直線的斜率存在且不為0），代入拋物線方程，整理得。設(shè)，則。又，。，解得。代入得。，。

20、例8：（2012年陜西省理5分）下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米.【答案】。【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用。【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，當(dāng)水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，拋物線過點(diǎn)（2，2，）.代入得，即。拋物線方程為。當(dāng)時，水位下降1米后，水面寬米。五、等價(jià)轉(zhuǎn)化法：通過“化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果。總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準(zhǔn)確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1：（2012年江西省理5分）設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列，若

21、，則 ?！敬鸢浮?5?！究键c(diǎn)】等差中項(xiàng)的性質(zhì)，整體代換的數(shù)學(xué)思想?！窘馕觥繑?shù)列都是等差數(shù)列，數(shù)列也是等差數(shù)列。由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，得，即，解得。例2：（2012年全國大綱卷理5分）當(dāng)函數(shù)取得最大值時， 。【答案】。【考點(diǎn)】三角函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用。【解析】求解值域的問題，首先化為單一三角函數(shù)，然后利用定義域求解角的范圍，從而結(jié)合三角函數(shù)圖像得到最值點(diǎn)。，。，當(dāng)且僅當(dāng)即時，函數(shù)取得最大值。例3：（2012年湖北省理5分）設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別是a，b，c.若，則角C= ?！敬鸢浮?。【考點(diǎn)】余弦定理的運(yùn)用【解析】由 得，根據(jù)余弦定理得。例4：（2012年重慶市理5分）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，

22、且則 【答案】?！究键c(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的三角公式，正弦定理的應(yīng)用?！痉治觥?，。，。 。 由正弦定理得，。例5：（2012年上海市理4分）在平行四邊形中，邊、的長分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是 .【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量的基本運(yùn)算。【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，向量所在直線為軸，過垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。平行四邊形中，。設(shè)，則。由得，。的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為。函數(shù)在有最大值，在時，函數(shù)單調(diào)增加。在時有最小值2；在時有最大值5。的取值范圍是。版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例6：（2012年遼寧省理5分）已知正三棱錐ABC，點(diǎn)P，A，B，C

23、都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為 。【答案】。【考點(diǎn)】組合體的線線，線面，面面位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用?！窘馕觥吭谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑EP，球心為正方體對角線的中點(diǎn)O，且EP平面ABC，EP與平面ABC上的高相交于點(diǎn)F。球O到截面ABC的距離OF為球的半徑OP減去正三棱錐ABC在面ABC上的高FP。球的半徑為，設(shè)正方體的棱長為，則由勾股定理得。解得正方體的棱長=2，每個面的對角線長。截面ABC的高為， 。在RtBFP中，由

24、勾股定理得，正三棱錐ABC在面ABC上的高。所以球心到截面ABC的距離為。六、分類討論法：在解答某些問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）；再對所分類逐步進(jìn)行討

25、論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納，綜合得出結(jié)論。對于分類討論法方法的使用，筆者將另文詳細(xì)解析。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1：（2012年廣東省理5分）不等式的解集為?！敬鸢浮?。【考點(diǎn)】分類討論的思想，解絕對值不等式?！窘馕觥糠诸愑懻摚河刹坏仁降?，當(dāng)時，不等式為，即恒成立；當(dāng)時，不等式為，解得，；當(dāng)時，不等式為，即不成立。綜上所述，不等式的解集為。另解：用圖象法求解：作出圖象，由折點(diǎn)參考點(diǎn)連線；運(yùn)用相似三角形性質(zhì)可得。例2：（2012年江西省理5分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式的解集為 ?！敬鸢浮俊！究键c(diǎn)】絕對值不等式的解法，轉(zhuǎn)化與劃歸、分類討論的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用?！窘馕觥吭?/p>

26、不等式可化為或或，由得；由得；由得。原不等式的解集為。例3：（2012年福建省文4分）某地區(qū)規(guī)劃道路建設(shè)，考慮道路鋪設(shè)方案，方案設(shè)計(jì)圖中，點(diǎn)表示城市，兩點(diǎn)之間連線表示兩城市間可鋪設(shè)道路，連線上數(shù)據(jù)表示兩城市間鋪設(shè)道路的費(fèi)用要求從任一城市都能到達(dá)其余各城市，并且鋪設(shè)道路的總費(fèi)用最小，例如：在三個城市道路設(shè)計(jì)中，若城市間可鋪設(shè)道路的線路圖如圖，則最優(yōu)設(shè)計(jì)方案如圖，此時鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為10.現(xiàn)給出該地區(qū)可鋪設(shè)道路的線路圖如圖，則鋪設(shè)道路的最小總費(fèi)用為 【答案】16?！究键c(diǎn)】最優(yōu)設(shè)計(jì)方案?！窘馕觥扛鶕?jù)題意先選擇中間最優(yōu)線路，中間有三條，分別是AFGD，EFB，EGC，費(fèi)用最低的是AFGD為312

27、6；再選擇AFGD線路到點(diǎn)E的最低費(fèi)用線路是：AE費(fèi)用為2；再選擇AFGD到CB的最低費(fèi)用，則選擇：GCB，費(fèi)用最低為358，所以鋪設(shè)道路的最小費(fèi)用為：62816。例4：（2012年山東省文4分）若函數(shù)在1，2上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a . 【答案】?！究键c(diǎn)】函數(shù)的增減性?！窘馕觥?，。當(dāng)時，函數(shù)是增函數(shù)，在1，2上的最大值為，最小值為。此時，它在上是減函數(shù)，與題設(shè)不符。當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)，在1，2上的最大值為，最小值為。此時，它在上是增函數(shù)，符合題意。綜上所述，滿足條件的。例5：（2012年上海市文4分）已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，若，則的值是 【答案】?！究键c(diǎn)】數(shù)

28、列的概念、組成和性質(zhì)，函數(shù)的概念?！窘馕觥扛鶕?jù)題意，并且，得到。 當(dāng)為奇數(shù)時，。 當(dāng)為偶數(shù)時，由，得到，解得（負(fù)值舍去）。 由得，解得。 當(dāng)為偶數(shù)時，。 。七、探索規(guī)律法：探索規(guī)律法的解題方法是直接通過對填空題的條件，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而得出正確的結(jié)果。當(dāng)遇到尋找規(guī)律的命題時，常用此法。典型例題：【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】例1：（2012年湖南省理5分）設(shè)N=2n（nN*，n2），將N個數(shù)x1,x2,，xN依次放入編號為1,2，N的N個位置，得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個位置，得到排列P1=x1x3xN-

29、1x2x4xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到；當(dāng)2in-2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當(dāng)N=16時，x7位于P2中的第 個位置；（2）當(dāng)N=2n（n8）時，x173位于P4中的第 個位置.【答案】（1）6；（2）?！究键c(diǎn)】演繹推理的基本方法，進(jìn)行簡單的演繹推理。【解析】（1）當(dāng)N=16時, ,可設(shè)為,即為,即, x7位于P2中的第6個位置。（2）考察C變換的定義及（1）計(jì)算可發(fā)現(xiàn)：第一次C變換后，所有的數(shù)分為兩段，每段的序號組

30、成公差為2的等差數(shù)列，且第一段序號以1為首項(xiàng)，第二段序號以2為首項(xiàng)；第二次C變換后，所有的數(shù)據(jù)分為四段，每段的數(shù)字序號組成以為4公差的等差數(shù)列，且第一段的序號以1為首項(xiàng)，第二段序號以3為首項(xiàng)，第三段序號以2為首項(xiàng)，第四段序號以4為首項(xiàng)；依此類推可得出P4中所有的數(shù)字分為16段，每段的數(shù)字序號組成以16為公差的等差數(shù)列，且一到十六段的首項(xiàng)的序號分別為1，9，5，13，由于173=16×10+13，故x173位于以13為首項(xiàng)的那一段的第11個數(shù)，由于N=2n（n8）故每段的數(shù)字有2n-4個，以13為首項(xiàng)的是第四段，故x173位于第個位置。例2：（2012年福建省理4分）數(shù)列an的通項(xiàng)公式

31、，前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012 .【答案】3018?！究键c(diǎn)】規(guī)律探索題?！窘馕觥繉ふ乙?guī)律：a11cos11，a22cos11，a33cos11，a44cos215；a55cos11，a66cos315，a77cos11，a88cos19；······該數(shù)列每四項(xiàng)的和。2012÷4=503，S2 0126×5033018。例3：（2012年陜西省理5分） 觀察下列不等式【版權(quán)歸錦元數(shù)學(xué)工作室，不得轉(zhuǎn)載】，照此規(guī)律，第五個不等式為 .【答案】?！究键c(diǎn)】歸納規(guī)律?！窘馕觥坑深}設(shè)中所給的三個不等式歸納出它們的共性：左邊式子是連續(xù)正整數(shù)平方的倒數(shù)和，最后一個數(shù)的分母是不等式序號n+1的平方；右邊分式中的分子與不等式序號n的關(guān)系是2n+1，分母是不等式的序號n+1，得出第n個不等式，即可得到通式：。令n=5，即可得出第五個不等式，即。例4：（2012年江蘇省5分）下圖是一個算法流程圖，則輸出的k的值是 【答案】5?！究键c(diǎn)】程序框圖。【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，程序的運(yùn)行過程中變量值變化如下表：是否繼續(xù)循環(huán)k循環(huán)前00第一圈是10第二圈是22第三圈是32第四圈是40第五圈是54第六圈否輸出5 最終輸出結(jié)果k=5。例5：（2012年湖北省理5分）閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行