三次函數零點存在性探討(共4頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上三次函數零點存在性探討利用導數解決函數的單調性，最值，極值等問題是高考的一個難點同時也是熱點，尤其是對于含參的未知函數的性質討論更是每年各省高考必然涉及的問題。而三次函數的考查能夠將導數的相關知識和二次函數的考點巧妙結合在一起，具有較強的綜合性，在高考中頗受青睞，所以研究三次函數的圖象和一些簡單性質，讓它們服務于高考解題勢在必行。本文從三次函數的圖象入手，討論三次函數的零點存在性條件，在此基礎上節(jié)選近兩年高考中涉及的三次函數的零點問題進行分析，并滲透等價轉化與化歸、數形結合等思想方法，旨在幫助學生站在一個高度審視三次函數的一些性質。一.知識準備三次函數的導函數，記，設

2、的兩根為，則可以得出下面結論：（一） 圖像研究的圖象的圖象（二） 零點研究結合三次函數的圖象，我們可以得出以下結論：性質 若三次曲線與x軸有三個交點，則且；若三次曲線與x軸有兩個交點，則且；若三次曲線與x軸有一個交點，則且或。二鏈接高考題一（2014年高考課標1理科卷第11題）已知函數若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（ ） 分析 該題的核心條件是“在唯一的零點，且”，作以下分析：第一步 時顯然不符合題意；第二步 時，求導，令，解得。由性質我們可以得出該三次函數有一個零點，即為且 ，即。結合該三次函數圖象以及特殊點（0,1）分析可得；第三步 解不等式組可得，選C?？偨Y 本題的切入點即為三次函

3、數有唯一零點，在具體的解題過程中，應該充分把握函數的特殊點，并結合函數的圖像加以分析，可以取得事半功倍的效果。無獨有偶，在2015年的江蘇卷中，再次出現了三次函數的零點存在性問題，許多考生在解題時束手無策，關鍵還是對三次函數的圖象以及零點存在的條件把握不到位。題二（2015高考題江蘇卷第19題）已知函數.（1） 試討論的單調性；（2） 若（實數是與無關的常數），當函數有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值.分析 第（1）題是常規(guī)題，著重考慮求導以后對參數a的討論。第（2）題許多學生會感覺參數混亂，事實上把握住三次函數有三個零點的等價條件，并將其轉化成關于的四次不等式問題，結合多項式不等式

4、的解集與對應方程的解的關系，整個題目就迎刃而解了。簡解（1）當時， 在上單調遞增；當時， 在，上單調遞增，在上單調遞減；當時， 在，上單調遞增，在上單調遞減（2）第一步 函數有三個不同的零點等價于，即不等式，由題可得該四次不等式的解集為；第二步 令，討論該函數的圖象。的導函數為，其中恒成立，即有兩解；第三步 依次分析的圖象,由圖象可得，即可求得總結 本題的第一問是討論含參的三次函數的單調性，對其導函數二次函數的根的情況作為最終研究對象加以分析可得；第二問利用三次函數三個零點的等價關系，巧妙的引入一個新的函數進行討論，突出了轉化的思想，同時再次體現了三次函數作為導函數出現對該題的重大意義，導函數的工具性作用亦是發(fā)揮得淋漓盡致。利用上述性質討論三次函數的零點存在性問題十分便捷，但是在研究中結合三次函數的圖象必不可少，因此熟練掌握三次函數的圖象走勢十分重要，尤其研究三次函數在定區(qū)間上的零點問題時，更應該兼顧極值點處的函數值以及定區(qū)間上的圖象分布，以下題目作為練習可供大家深入研究。題三 （2015新課標全國卷高考題第21題）已知函數，.(1) 當為何值時，軸為曲線的切線；(2) 用表示中的最小值，設函數，討論零點的個數。三次函數的導函數的特殊性決定了它在高考中的重要地位，回顧三次函數在高考中的考點，可以說是涉及了三次函數圖象，切線，極值，最值，單調性，零點等