2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版必修1學(xué)案：3.2.2　函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例 Word版含解析

1、3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例目標(biāo) 1.會(huì)用分段函數(shù)模型或自建函數(shù)模型解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；2.會(huì)根據(jù)所給數(shù)據(jù)選擇合適的函數(shù)模型進(jìn)行擬合重點(diǎn) 根據(jù)給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題難點(diǎn) 建立數(shù)學(xué)模型解答實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一解函數(shù)模型應(yīng)用題的一般步驟填一填1函數(shù)模型應(yīng)用的兩個(gè)方面(1)利用已知函數(shù)模型解決問(wèn)題；(2)建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對(duì)某些發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)2解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)理關(guān)系(2)建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論(4)還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)

2、際問(wèn)題答一答1常見(jiàn)的函數(shù)模型有哪些？提示：(1)正比例函數(shù)模型：f(x)kx(k為常數(shù)，k0)；(2)反比例函數(shù)模型：f(x)(k為常數(shù)，k0)；(3)一次函數(shù)模型：f(x)kxb(k，b為常數(shù)，k0)；(4)二次函數(shù)模型：f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)；(5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)abxc(a，b，c為常數(shù)，a0，b>0，b1)；(6)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)mlogaxn(m，n，a為常數(shù)，m0，a>0，a1)；(7)冪函數(shù)模型：f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n1)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟填一填(1)收集數(shù)據(jù)；(2)畫散點(diǎn)圖；(3)選擇函數(shù)模型

3、；(4)求函數(shù)模型；(5)檢驗(yàn)若符合實(shí)際情況，則用函數(shù)模型解釋實(shí)際問(wèn)題；若不符合實(shí)際情況則從(3)重新開(kāi)始答一答2如何根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)解決實(shí)際問(wèn)題？提示：通過(guò)收集數(shù)據(jù)直接去解決問(wèn)題的一般過(guò)程如下：第一步：收集數(shù)據(jù)；第二步：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出散點(diǎn)圖；第三步：根據(jù)點(diǎn)的分布特征，選擇一個(gè)能刻畫散點(diǎn)圖特征的函數(shù)模型；第四步：選擇其中的幾組數(shù)據(jù)求出函數(shù)模型；第五步：將已知數(shù)據(jù)代入所求出的函數(shù)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否符合實(shí)際若不符合實(shí)際，則重復(fù)第三、四、五步若符合實(shí)際，則進(jìn)入下一步；第六步：用求得的函數(shù)模型去解釋實(shí)際問(wèn)題以上過(guò)程可用程序框圖表示如下：3數(shù)據(jù)擬合時(shí)，得到的函數(shù)為什么需要檢驗(yàn)

4、？提示：因?yàn)楦鶕?jù)已給的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，一般是以比較熟悉的、最簡(jiǎn)單的函數(shù)作模擬，但所估計(jì)的函數(shù)有時(shí)可能誤差較大或不切合客觀實(shí)際，此時(shí)要重新調(diào)整數(shù)據(jù)或選用其他函數(shù)模型類型一建立函數(shù)模型的應(yīng)用題例1某汽車城銷售某種型號(hào)的汽車，進(jìn)貨單價(jià)為25萬(wàn)元市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)銷售單價(jià)為29萬(wàn)元時(shí)，平均每周能售出8輛，而當(dāng)銷售單價(jià)每降低0.5萬(wàn)元時(shí)，平均每周能多售出4輛設(shè)每輛汽車降價(jià)x萬(wàn)元，每輛汽車的銷售利潤(rùn)為y萬(wàn)元(每輛車的銷售利潤(rùn)銷售單價(jià)進(jìn)貨單價(jià))(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并在保證商家不虧本的前提下，寫出x的取值范圍；(2)假設(shè)這種汽車平均每周的銷售利潤(rùn)為z萬(wàn)元，試寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每輛汽

5、車的銷售單價(jià)為多少萬(wàn)元時(shí)，平均每周的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？分析解決本題需弄清楚：每輛車的銷售利潤(rùn)銷售單價(jià)進(jìn)貨單價(jià)；先求出每輛車的銷售利潤(rùn)，再乘以售出輛數(shù)可得每周銷售利潤(rùn)通過(guò)二次函數(shù)求最值，可得汽車合適的銷售單價(jià)解(1)因?yàn)閥2925x，所以yx4(0x4)(2)z(8×4)y(8x8)(x4)8x224x32(0x4)(3)由(2)知，z8x224x328(x1.5)250(0x4)故當(dāng)x1.5時(shí)，zmax50.所以當(dāng)銷售單價(jià)為291.527.5萬(wàn)元時(shí)，每周的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為50萬(wàn)元在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位，因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式后，可利用配方

6、法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等來(lái)求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最大、最小等問(wèn)題. 變式訓(xùn)練1據(jù)市場(chǎng)分析，煙臺(tái)某海鮮加工公司當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時(shí)，月生產(chǎn)總成本y(萬(wàn)元)可以看成月產(chǎn)量x(噸)的二次函數(shù)；當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí)，月總成本為20萬(wàn)元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí)，月總成本最低為17.5萬(wàn)元，且為二次函數(shù)的頂點(diǎn)(1)寫出月總成本y(萬(wàn)元)關(guān)于月產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該產(chǎn)品銷售價(jià)為每噸1.6萬(wàn)元，那么月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲最大利潤(rùn)？解：(1)設(shè)ya(x15)217.5，將x10，y20代入上式，得2025a17.5.解得a.所以y(x15)217.5(10x25)(2)設(shè)最

7、大利潤(rùn)為q(x)，則q(x)1.6xy1.6x(x23)212.9(10x25)因?yàn)閤2310,25，所以月產(chǎn)量為23噸時(shí)，可獲最大利潤(rùn)12.9萬(wàn)元類型二已知函數(shù)模型的應(yīng)用題 例2已知某產(chǎn)品市場(chǎng)價(jià)格與市場(chǎng)供應(yīng)量p的關(guān)系近似滿足p(x)2(1kt)(xb)2(其中t為關(guān)稅的稅率，且t0，)，x為市場(chǎng)價(jià)格，b，k為正常數(shù))，當(dāng)t時(shí)的市場(chǎng)供應(yīng)量曲線如圖所示(1)根據(jù)圖象求b，k的值；(2)記市場(chǎng)需求量為q，它近似滿足q(x)211，當(dāng)pq時(shí)的價(jià)格稱為市場(chǎng)平衡價(jià)格，為使市場(chǎng)平衡價(jià)格不低于9元，求稅率的最小值解(1)由圖象知：(2)當(dāng)pq時(shí)，有2(16t)(x5)2211，即(16t)(x5)2112(

8、16t).令m，則2(16t)17m2m.x9，m(0，當(dāng)m時(shí)，2(16t)取最大值，故t，即稅率的最小值為.(1)本題利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，首先利用給出的函數(shù)圖象，通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)關(guān)系式求最值，求最值時(shí)注意自變量的取值范圍.(2)對(duì)于題中已給出數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，只要解數(shù)學(xué)模型即可，較常用的方法是待定系數(shù)法解模型，然后利用相應(yīng)的解析式及對(duì)應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.變式訓(xùn)練2灌滿開(kāi)水的熱水瓶放在室內(nèi)，如果瓶?jī)?nèi)開(kāi)水原來(lái)的溫度是1度，室內(nèi)氣溫是0度，t分鐘后，開(kāi)水的溫度可由公式0(10)ekt求得，這里，k是一個(gè)與熱水瓶類型有關(guān)的正的常量現(xiàn)有一只某種類型的熱水瓶，測(cè)得瓶?jī)?nèi)

9、水溫為100，過(guò)1小時(shí)后又測(cè)得瓶?jī)?nèi)水溫變?yōu)?8.已知某種奶粉必須用不低于85的開(kāi)水沖調(diào)，現(xiàn)用這種類型的熱水瓶在早上六點(diǎn)灌滿100的開(kāi)水，問(wèn)：能否在這一天的中午十二點(diǎn)用這瓶開(kāi)水來(lái)沖調(diào)上述奶粉？(假定該地白天室溫為20)解：根據(jù)題意，有9820(10020)e60k，整理得e60k.利用計(jì)算器，解得k0.000 422 2.故2080e0.000 422 2t.從早上六點(diǎn)至中午十二點(diǎn)共過(guò)去6小時(shí)，即360分鐘當(dāng)t360時(shí)，2080e0.000 422 2×3602080e0.152，由計(jì)算器算得88>85，即能夠在這一天的中午十二點(diǎn)用這瓶開(kāi)水來(lái)沖調(diào)奶粉類型三擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題例3

10、某個(gè)體經(jīng)營(yíng)者把開(kāi)始六個(gè)月試銷a，b兩種商品的逐月投資與所獲純利潤(rùn)列成下表：該經(jīng)營(yíng)者準(zhǔn)備下月投入12萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種產(chǎn)品，但不知投入a，b兩種商品各多少萬(wàn)元才合算請(qǐng)你幫助制定一個(gè)資金投入方案，使得該經(jīng)營(yíng)者能獲得最大利潤(rùn)，并按你的方案求出該經(jīng)營(yíng)者下月可獲得的最大純利潤(rùn)(結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字)分析只給出數(shù)據(jù)，沒(méi)明確函數(shù)關(guān)系，這樣就需要準(zhǔn)確的畫出散點(diǎn)圖然后根據(jù)圖形選擇合適的函數(shù)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題解以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤(rùn)為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖，如圖所示觀察散點(diǎn)圖可以看出，a種商品的所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬，如圖所示取(4,2)為最高點(diǎn)，則ya(x4)

11、22，再把點(diǎn)(1,0.65)代入，得0.65a(14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.b種商品所獲純利潤(rùn)y與投資額x之間的變化規(guī)律是線性的，可以用一次函數(shù)模型進(jìn)行模擬，如圖所示設(shè)ykxb，取點(diǎn)(1,0.25)和(4,1)代入，得解得所以y0.25x.即前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資a種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y0.15(x4)22；前六個(gè)月所獲純利潤(rùn)y關(guān)于月投資b種商品的金額x的函數(shù)關(guān)系式是y0.25x.設(shè)下月投入a，b兩種商品的資金分別為xa，xb(萬(wàn)元)，總利潤(rùn)為w(萬(wàn)元)，那么所以w0.15(xa)20.15×()22.6.當(dāng)xa3.2(萬(wàn)元)時(shí)，w取最大值

12、，約為4.1萬(wàn)元，此時(shí)xb8.8(萬(wàn)元)即該經(jīng)營(yíng)者下月把12萬(wàn)元中的3.2萬(wàn)元投資a種商品，8.8萬(wàn)元投資b種商品，可獲得最大利潤(rùn)約為4.1萬(wàn)元擬合數(shù)據(jù)，建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟：根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，然后根據(jù)散點(diǎn)圖的形狀，選用比較接近的可能的函數(shù)模型來(lái)描述所涉及的數(shù)量之間的關(guān)系，然后利用待定系數(shù)法確定出具體的函數(shù)解析式，若符合實(shí)際，可用此函數(shù)模型解釋問(wèn)題，若不符合實(shí)際，則繼續(xù)選擇模型，重復(fù)操作過(guò)程.變式訓(xùn)練3我國(guó)2014年至2017年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬(wàn)億元)如下表所示：年份2014201520162017x0123生產(chǎn)總值y8.206 78.944 29.593 310.

13、239 8(1)畫出函數(shù)圖象，猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系，近似地寫出一個(gè)函數(shù)關(guān)系式；(2)利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實(shí)際生產(chǎn)總值比較解：(1)畫出函數(shù)圖象，如圖所示，從函數(shù)的圖象可以看出，畫出的點(diǎn)近似地落在一條直線上，設(shè)所求的一次函數(shù)為ykxb(k0)把點(diǎn)(0,8.206 7)和(3,10.239 8)的坐標(biāo)代入上式，解方程組，得因此所求的函數(shù)關(guān)系式為y0.677 7x8.206 7.(2)由得到的關(guān)系式計(jì)算出2015年和2016年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值分別為0.677 7×18.206 78.884 4(萬(wàn)億元)，0677 7×28.206 79.562 1(萬(wàn)億元)與實(shí)際的

14、生產(chǎn)總值相比，誤差不超過(guò)0.1萬(wàn)億元1一根蠟燭長(zhǎng)20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為圖中的(b)解析：由題意h205t,0t4.結(jié)合圖象知應(yīng)選b.2“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝？”如圖給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系用下列哪個(gè)函數(shù)模型擬合最好(c)ayt3bylog2tcy2t dy2t2解析：符合指數(shù)函數(shù)模型3將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按10元/個(gè)銷售時(shí)，每天可賣出100個(gè)，若此商品的銷售單價(jià)漲1元，日銷售量就減少10個(gè)，為了獲取最大利潤(rùn)，此商品的銷售單價(jià)應(yīng)定為14元解析：設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)漲

15、x元，則實(shí)際銷售單價(jià)為(10x)元，此時(shí)日銷售量為(10010x)個(gè)，每個(gè)商品的利潤(rùn)為(10x)82x(元)，總利潤(rùn)y(2x)(10010x)10x280x20010(x4)2360(0<x<10，且xn*)當(dāng)x4時(shí)y有最大值，此時(shí)單價(jià)為14元4在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量m千克、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m千克的函數(shù)關(guān)系式是v2 000·ln(1)當(dāng)燃燒質(zhì)量是火箭質(zhì)量的e61倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒解析：當(dāng)v12 000時(shí)，2 000·ln(1)12 000，ln(1)6，e61.5某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買一批電腦，在購(gòu)買前進(jìn)行的市場(chǎng)調(diào)查顯示：在相同品牌、質(zhì)量與售后服務(wù)的條件下，甲、乙兩公司的報(bào)價(jià)都是每臺(tái)6 000元甲公司的優(yōu)惠條件是購(gòu)買10臺(tái)以上的，從第11臺(tái)開(kāi)始按報(bào)價(jià)的七折計(jì)算，乙公司的優(yōu)惠條件是均按八五折計(jì)算(1)分別寫出在兩公司購(gòu)買電腦的總費(fèi)用y甲，y乙與購(gòu)買臺(tái)數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)根據(jù)購(gòu)買的臺(tái)數(shù)，你認(rèn)為學(xué)校應(yīng)選擇哪家公司更合算？解：(1)y甲y乙5 100x(xn)，(2)當(dāng)x10時(shí)，顯然y甲>y乙；當(dāng)x>10時(shí)，令y甲>y乙，即4 200x18 000>5 100x，解得x<2